Đề chọn HS GIỎI 9 VÀ ĐÁP ÁN.

UBND HUYỆN ĐẠI LỘC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO Năm học : 2009-2010 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1(2đ) : Cho đa thức : x 4 - x 2 + 2x + 2 a/ Phân tích đa thức thành nhân tử. b/ Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức là số chính phương. Bài 2(3đ) : Cho biểu thức ( ) 2 2 1 2 1 1 x x x x x P x x x x − − + = − + + + − a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P c/ Cho Q = 2 x P . Tìm giá trị nguyên của Q. Bài 3(2đ) : Cho đường thẳng y = mx + m - 1 (1) a/ Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m b/ Tính giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2. Bài 4(1đ) : Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10 cm, đáy nhỏ bằng chiều cao và đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chiều cao của hình thang. Bài 5(2đ) : Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r ( R > r ). M và A là hai điểm trên đường tròn (O;r) với M cố định, A di động. Qua điểm M vẽ dây BC của đường tròn (O;R) vuông góc với AM. Chứng minh rằng : a/ Tổng MA 2 + MB 2 + MC 2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A. b/ Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm cố định. Họ và tên thí sinh : Số Báo danh : PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 ĐẠI LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài Câu Nội dung Điểm 1 (2đ) a (1đ) x 4 - x 2 + 2x + 2 = (x 4 - 2x 2 + 1)+(x 2 + 2x + 1) = (x 2 - 1) 2 + (x + 1) 2 = (x + 1) 2 (x - 1) 2 + (x + 1) 2 = (x + 1) 2 [(x - 1) 2 + 1] = (x + 1) 2 (x 2 - 2x + 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 b (1đ) Ta có x 4 - x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 [(x - 1) 2 + 1] (cmt) Là số chính phương thì : hoặc (x + 1) 2 = 0 và (x - 1) 2 + 1 tuỳ y hoặc (x + 1) 2 ≠ 0 và (x - 1) 2 + 1 là số chính phương. • Nếu (x + 1) 2 = 0 ; ta có x + 1 = 0 <=> x = - 1 • Nếu (x + 1) 2 ≠ 0 ; ta có (x - 1) 2 + 1 là số chính phương nên đặt (x - 1) 2 + 1 = y 2 (y ∈ N) Ta có : (y + | x - 1|)(y - | x - 1|) = 1 Mà y ∈ N , | x - 1| ∈ N nên chỉ xãy ra y + | x - 1| = 1 và y - | x - 1| = 1 Suy ra |x - 1| = 0 <=> x - 1 = 0 <=> x = 1 Vậy giá trị của đa thức là số chính phương khi x = ± 1 0.25 0.25 0.25 0.25 2 (3đ) a (1đ) ( ) 2 2 1 2 1 1 x x x x x P x x x x − − + = − + + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x − + + + − + − + + + − với x>0 x ≠ 1 = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1x x x x− − + + + = 2 1 2 2x x x x− − − + + = x - x + 1 0.5 0.25 0.25 b (1đ) P = x - x + 1 = 1 1 1 2 1 2 4 4 x x− + − + = 2 1 3 3 2 4 4 x   − + ≥  ÷   P đạt GTNN là 3 4 khi x - 1 2 = 0 <=> x = 1 4 0.25 0.25 0.5 c (1đ) 2 2 1 x x Q P x x = = − + = 2 2 1 1 M x x = + − ( 1 1M x x = + − ) Vì x > 0, x ≠ 1 nên 1 1M x x = + − > 1 (BĐT Côsi) Suy ra 0 < Q < 2 . Mà Q nguyên nên Q = 1 0.5 0.25 0.25 3 (2đ) a (1đ) Điều kiện để đường thẳng (1) đi qua 1 điểm cố định N(x 0 ;y 0 ) với mọi m là y 0 = mx 0 + m - 1 với mọi m <=> (x 0 + 1)m - (y 0 + 1) = 0 với mọi m <=> 0 0 1 0 1 0 x y + =   + =  <=> 0 0 1 1 x y = −   = −  Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố đinh N(-1 ;-1) 0.25 0.25 0.25 0.25 b (1đ) Gọi A là giáo điểm của đt (1) với Oy. Với x = 0, y = m - 1 .Ta có OA =|m - 1| Gọi B là giao điểm của đt (1) với Ox. Với y = 0, x = 1 m m − . Ta có OB = 1 m m − S (AOB) = 2 <=> . 2 2 OA OB = <=> OA.OB = 4 <=> ( ) 2 1 4 m m − = <=> 2 2 ( ) 2 1 4 ( ) 2 1 4 a m m m b m m m  − + =  − + = −  Giải pt (a) … m = 3± 2 2 Giải pt (b) … m = - 1 Có 3 đường thẳng đi qua N và tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 là : m = 3 + 2 2 : y = (3 + 2 2 )x + 2 + 2 2 m = 3 - 2 2 : y = ( 3 - 2 2 )x + 2 - 2 2 m = 1 : y = - x - 2 0.25 0.25 0.25 0.25 4 (1đ) (1đ) Tam giác DAC vuông tại A, ta có AH 2 = HD.HC 2 x = 10 10 . 2 2 x x− + = 2 100 4 x− 2 5x = cm. 0.25 0.25 0.25 0.25 Vẽ AH, BK cùng vg góc với CD. Đặt AB = AH = BK = x Cm: DH = CK = 10 2 x− Từ đó cm: HC = 10 2 x+ 5 (2đ) a (1đ) OMH∆ vuông tại H nên : HM 2 = OM 2 - OH 2 = r 2 - OH 2 (2) OBH∆ vuông tại H nên : HB 2 = OB 2 - OH 2 = R 2 - OH 2 (3) (1),(2),(3) : MA 2 + MB 2 + MC 2 = MA 2 + 2(HB 2 + HM 2 ) = 4 OH 2 + 2( r 2 -OH 2 + R 2 - OH 2 ) = 2(r 2 + R 2 ) Vậy tổng MA 2 + MB 2 + MC 2 không phụ thuộc vào vị trí điểm A 0.25 0.25 0.25 0.25 b (1đ) ABC∆ có AH là trung tuyến , G là trọng tâm (gt) => G ∈ AH và AG = 2 3 AH (*) AMN∆ có AH là trung tuyến (HM=HN) nên G cũng là trọng tâm của AMN∆ mà MO là trung tuyến của AMN∆ (AO=ON) nên MO đi qua G. Các điểm M,O cố định nên G cố định. 0.25 0.25 0.25 0.25 Học sinh giải cách khác nếu đúng đầy đủ vẫn được điểm tối đa. Điểm toàn bài không làm tròn số. Vẽ OH ⊥ BC => HM = HN Và HB = HC · 0 90AMN = nên AN là đg kính của đtròn (O;r) OH là đường Trg bình của AMN∆ => MA = 2 OH MA 2 = 4 OH 2 (1) MB 2 + MC 2 = (HB - HM) 2 + (HC+HM) 2 = (HB-HM) 2 + (HB+HM) 2 = 2(HB 2 +HM 2 ) . UBND HUYỆN ĐẠI LỘC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO Năm học : 20 09- 2010 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1(2đ) : Cho đa thức : x 4 . thuộc vào vị trí của điểm A. b/ Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm cố định. Họ và tên thí sinh : Số Báo danh : PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 ĐẠI LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài. đáy nhỏ bằng chiều cao và đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chiều cao của hình thang. Bài 5(2đ) : Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r ( R > r ). M và A là hai điểm trên