Một số bài thi TS lớp 10 chuyên Toán

Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.. Chứng minh rằng: a MB.BD MD.BC = b MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD..

Sở giáo dục và đào tạo

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x 3 là một số nguyên dơng và biết

Câu V (1.0 điểm):

Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí của các

điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.

-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

Chữ kí của giám thị 1 : Chữ kí của giám thị 2:

H ớng dẫn chấm

Đề thi chính thức

c©u II

2,5 ®iÓm

1) 1,5®iÓm

a m bc 0 − ≠

2 3

2

a m bc m

3 3 3

b a m b a m

⇒ = ⇒ = Nếu b ≠ 0 thì 3 b

m a

= là số hữu tỉ Trái với giả

thiết! ⇒ = a 0;b 0 = Từ đó ta tìm đợc c = 0 0.25 Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = 0 0.25

Ta có f(7) - f(1) = (7 3 - 1 3 )a + (7 2 - 1 2 )b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3 M 0.25 Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) là hợp số 0.252)

x 3 2 .Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn

0.25 Lại có ã BNM CPM = ã

A N

M

P

D

E

B C

A N

⇒ MEA MDA ã = ã ⇒ MEK MDC ã = ã 0.25Vì ã MEK MDK = ã ⇒ MDK MDC ã = ã ⇒ DM là phân giác của góc CDK, kết hợp

với AM là phân giác DAB ⇒ M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK

câu V

1 điểm

D'

B' A'

O

C A

B

D

Không mất tổng quát giả sử:AB ≤ AC Gọi B’ là điểm chính giữa cung

ẳ ABC ⇒ AB' CB' =

Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA ⇒ AB BC CA' + = 0.25

Ta có: ã B'BC B'AC B'CA (1) ; ã = ã = ã B'CA B'BA 180 (2) + ã = 0 ã + ã = 0

B'BC B'BA' 180 (3);Từ (1), (2), (3) ⇒ B'BA B'BA' ã = ã 0.25 Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau ⇒ A'B' B'A =

Ta có ⇒ B' A B'C B'A' B'C A 'C + = + ≥ = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’. 0.25Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ẳADC thì ta cũng

có AD’ + CD’ ≥ AD + CD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’.

⇒ Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các

Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.

Sở giáo dục và đào tạo

(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì p a − + p b − + p c − ≤ 3p

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB tại C Chứng minh rằng:

a) MB.BD MD.BC =

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các

- Với y 3 = ⇒ = x 2 (thoả mãn điều kiện)

- Với y = − ⇒ = − 3 x 2 (thoả mãn điều kiện)

Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

0,25 đ

b) Đặt 2 ( )2

x − 2x 1 y + = ⇔ x 1 − = ⇔ = ± y x 1 y (y 0) ≥ (*)

Phơng trình đã cho trở thành: ( )2 ( )

y 1 − − 3 y 1 − + = m 0 2

J I

C N

c) Kẻ đờng kính MN của (O) ⇒ NB ⊥ MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC ∆

( − ). =

0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180 O - 135 O = 45 O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.

-SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10

BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC

b.Tính độ dài AD theo a,b,c

Bài 5(1.5điểm)

1 2

ba

-3mn-3mp-2[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np

Ta cú f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)

(m-p) ạ 0

= >m,n,p khụng phải là nghiệm của pt(1)

Vậy PT đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt

Ta cú BADã =CAEã ( Do cung EB = cung EC)

Và ãAEC=DBAã ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung

AC) nờn ΔBAD ΔEAC

BA AE AB AC AE AD

AD AC

Ta cú ãADC=BDCã (Đối đỉnh) và CADã =DBEã

(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn ΔACD

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú

DC hay

vậy ( )

2 2

2 2

n

- + -

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

(Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Giải hệ phương trình:

1 1 9

2

1 5 2

x y

x y xy

x x

−

=

− + Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M lần lượt là trung

điểm của BD, AC Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng

qua M và vuông góc với BC tại Q Chứng minh:

a) KM // AB

b) QD = QC

Câu 5: (1,0 điểm).

Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3

đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1 Chứng minh rằng tất cả

những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho lớp chuyên Toán.

—————————

Câu 1 (3,0 điểm)

a) 1,75 điểm:

Nội dung trình bày Điể

m

Hệ đã cho 2

2[ ( ) ( )] 9 (1) 2( ) 5 2 0 (2)

xy xy

1

x y

2 2

1

x y

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm − ≤ ≤ 3 x 2

m+ Phát hiện và chứng minh

1 ( )( ) ( )( ) ( )( )

Suy ra ∆KIB= ∆KED⇒IK =KE 0,25

Chứng minh tương tự có: ∆MIA= ∆MRC 0,25

Trong tam giác IER có IK = KE và MI =

MR nên KM là đường trung bình ⇒

Nội dung trình bày Điể

Có: QK ⊥AD(gt), IE//AD (CM trên) ⇒QK ⊥IE Tương tự có QM ⊥IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK ⊥IE⇒QK là trung trực ứng với cạnh IE của ∆IER Tương

Hạ QH ⊥CD suy ra QH là trung trực thứ ba của ∆IER hay Q nằm trên trung trực

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các

đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác A B C' ' ' (hình vẽ) Khi đó

Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác A B C' ' ', chẳng hạn như trên

hình vẽ Khi đó d P AB( ; ) >d C AB( ; ) , suy ra S PAB >S CAB, mâu thuẫn với giả thiết tam

giác ABC có diện tích lớn nhất

Bài 1 : ( 1 điểm )

1 Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp

1 Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1

2 Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó mộtviên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏisau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ởtrên bảng về cùng một ô không

=> tứ giác BOPN nội tiếp

+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp

+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> ·AQO= ·AMO= 90 0

tứ giác BOPN nội tiếp => BPO BNO· = · = 90 0

=> ·AQB=·APB= 90 0 => tứ giác AQPB nội tiếp

b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA

~ ( )

MP OM OP MOP COB g g

a OC OB

NQ ON OM NOQ COA g g

b OC OC

PQ OP OM POQ BOA g g

vậy p/ trỡnh cú hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )

2.Ta tụ màu cỏc ụ vuụng của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua

Lỳc đầu tổng số sỏi ở cỏc ụ đen bằng 1005 2009 là một số lẻ

sau mối phộp thực hiện thao tỏc T tổng số sỏi ở cỏc ụ đen luụn là số lẻ

vậy khụng thể chuyển tất cả viờn sỏi trờn bẳng ụ vuụng về cựng một ụ sau một

số hữu hạn cỏc phộp thưc hiện thao tỏc T

Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên

Môn thi : toán(đề chuyên)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)

2) Giải hệ phơng trình:

1 7 12

x

x y x

4

abc= +a b c

Bài 4.(3,5 điểm)

Cho ∆ABC nhọn có C A.à < à Đờng tròn tâm I nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với

các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của

b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đờng tròn

c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET

d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C Khi 2 điểm A, B và tia

Bt cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đờng thẳng NE tơng ứng luôn đi qua một điểm cố

Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m

2)Từ giả thiết bài toán ta có:

a b

= + − và

a b+ ∈{4; 9; 49; 64}

⇒a+b ∈{2; 3; 7; 8}

+ Nếu a+b∈{2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k 1(k± ∈N) khi đó ( )2

4 a b+ − 1chiahết cho 3 mà (a+b) + 9a= 3k 1+9a không chia hết cho 3± ⇒ 10 (a b+ +) 9akhông M3⇒ c ∉N

Do IE=IN từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m

*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:

Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và ãABI = α không đổi (tia Bx là tia phân giác của ãABt)

Xét ∆ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cosα không đổi

Nh vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi

do đó K cố định ⇒đpcm

GIAÛI ẹEÀ CHUYEÂN TOAÙN THPT HUYỉNH MAÃN ẹAẽT – KIEÂN GIANG, NAấM 2009

– 2010

ẹeà, lụứi giaỷi Caựch khaực, nhaọn xeựt

Baứi 1: (1 ủieồm) Cho phửụng trỡnh ax 2 +

bx + c = 0 coự 2 nghieọm phaõn bieọt x 1 ,

x 2 ẹaởt S 2 = x 1 2 + x 2 2 ; S 1 = x 1 x 2 Chửựng

minh raống: a.S 2 + b.S 1 + 2c = 0

Theo Vi-eựt ta coự: x1+ x2 =−a b ; x1.x2 = c a

a/ Định m để phương trình có một

nghiệm bằng 9 và tìm tất cả nghiệm

còn lại của phương trình.

b/ Tìm tất cả các giá trị của m để

phương trình (1) có nghiệm.

a/ Phương trình có 1 nghiệm x = 9 thay

7 2 7 3

x x x x x

Chú ý: nếu thay x bởi x ta cóbài toán tương tự

Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

Nếu x, y, z đều là các số dương thì

x x

y y

x x

y y

hệ chỉ có 1 nghiệm

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa

độ cho parabol (P): y= x32 , điểm I(0 ;

3) và điểm M(m ; 0)

Với m là tham số khác 0.

a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi

qua hai điểm M, I

b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt

(P) tại hai điểm phân biệt A, B với AB

> 6

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b

Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:

Theo Vi-ét ta có: xA+ xB = m9 ; xA xB = -9

Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ;

R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R >

R’) Tiếp tuyến tại B của

(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến

tại B của (O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.

a/ Chứng minh rằng: AB 2 = AC.AD và

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A.

Chứng minh bốn điểm B, C, E, D thuộc

một đường tròn có tâm là K Xác định

tâm K của đường tròn

a/ Xét (O) ta có Cµ1 =B¶2 (chắn cung AnB)

Xét (O’) ta có D¶1 =Bµ1 (chắn cung AmB)

2

(1)

Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn

tâm K Với K là gaio điểm 3 đường trực

của ∆BCE hoặc ∆BDE

1

1

2 1 2

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình

3 x+ +2 3 7− =x 3b) Giải hệ phương trình

3 3

8

2 3

6 2

x y x

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộcAC) Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B) Đườngthẳng AM cắt BC tại K Chứng minh: AE.AN = AM.AK.

Bài 4: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dàicạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (Mkhác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoạitiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K Chứng minh tứ giácBOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành

Bài 5: (2.0 điểm)

a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tíchlớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnhcủa tam giác ABC

b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c+ + =3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

* Giám thị không giải thích gì thêm.

Së GD&§T NghÖ An

§Ò thi chÝnh thøc

K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt

chuyªn phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010

M«n thi: To¸n Híng dÉn chÊm thi

x x

x x

x x

Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI

đồng dạng với tam giác AOB

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC

Không mất tính tổng quát, giả sử A và Onằm về 2 phía của đờng thẳng BC 0,25đSuy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K

Kẻ AH vuông góc với BC tại H 0,25đ

0,25đ

Ta có: 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) 0,25đ

K

= a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2

mà a 3 + ab 2 ≥ 2a 2 b (áp dụng BĐT Côsi )

b 3 + bc 2≥ 2b 2 c

c 3 + ca 2≥ 2c 2 a Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

0,25đ

Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN LAM SƠN

MễN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyờn Toỏn)

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 thỏng 6 năm 2009 Cõu 1: (2,0 điểm)

1 Cho số x ( x R ; x > 0 ∈ ) thoả món điều kiện : x + 2 12 = 7

x Tớnh giỏ trị cỏc biểuthức : A = 3

x +

x và B =

5 5

1

x +

x .

Đề chớnh thức

2 Giải hệ phương trỡnh:

+ 2 - 2

y x

1 + 2 - 21

x y

1 Giải phương trỡnh: x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = 1(x + y + z)

2 Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p để 4p 2 + 1 và 6p 2 + 1 cũng là số nguyờn tố.

Cõu 4: (3,0 điểm)

1 Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại E Một đường thẳng đi

qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm của

cỏc đường thẳng EM và BN Chứng minh rằng: CK ⊥ BN.

2 Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ cỏc tiếp

tuyến AB, AC với đường trũn (O) (B, C là cỏc tiếp điểm) Một gúc xOy cú số đo

bằng 45 0 cú cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại

-Họ và tờn thớ sinh: ……… Số bỏo danh: ………

sở giáo dục - đào tạo

hà nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 - 2010

Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

1) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại

các điểm A , B và ∆AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau)

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho ∆ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung

điểm của HC Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại

diểm M và N

a) Chứng minh ∆ACB và ∆AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)

sở giáo dục đào tạo

hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 – 2010

hớng dẫn chấm thi môn toán : đề chung

Víi x= 2 1 − ⇒ =y 2( 2 1 + )( 2 1 1 − − =) 2 1 − 0,25K/l VËy hÖ cã nghiÖm: 2 1

2 1

x y

⇒  ÷Víi x = 0 ⇒ =y 2m+ ⇒ 3 B 0;2m+3( )

− (lo¹i)K/l: Gi¸ trÞ cÇn t×m m = 0; m = -2

0,25

Bµi 4(3,5 ®iÓm)

a) (1,5 ®iÓm)

E N

M

I

K H

C B

A

0,25

Cã AMN AHN· = · (cïng ch¾n cung AN)

⇒ ∆HAK: ∆HBI ⇒ HAK· = ·HBI

+ Cã HAK· =EHK· (ch¾n cung HE)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

NĂM HỌC 2009 – 2010Môn Toán – Vòng 1(Dùng cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

x + x = 4

Câu 3: (1,0 điểm)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở

về A Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d)

và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới

đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn,xác định tâm đường tròn đó

b) Chứng minh MA.MB = MN2

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều

d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

Câu 5: (1 điểm)

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5 23

x + ≥yTìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 8x 6 18y 7

c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn)

TỈNH PHÚ YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

THÔNG NĂM HỌC 2009-2010

Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

*****

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0, a là tham số

a) Giải phương trình với a = 1.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a 2 > 2.

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3 abc + xyz3 ≤3 (a + x)(b + y)(c + z)

b) Từ đó suy ra : 3 3 + 3 3 + 3 3 − 3 3 ≤ 2 3 3

Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh

AB, BC, CD, DA của hình vuông.

a) Chứng minh rằng SABCD AC

4

≤ (MN + NP + PQ + QM).

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính

thay đổi vuông góc với nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của

3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.

II- Đáp án và thang điểm:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: 2

Giải (3) ta được hai nghiệmt1 1 5

nghiệm

0,500,500,50

⇔ 

 ⇔ 2xy = (x + y) 2

⇔ x + y = 0 2 2 ⇔ x = y = 0 ⇒ z = 1

Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) =

(0 ;0; 1)

0,500,500,500,50

Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Với |y| = 1, từ (3) suy ra x ∈{ 0 ; 6}.

0,500,500,500,50

Câu 4a.

(2,0đ)

3 abc +3 xyz ≤ 3(a+x)(b+y)(c+z) (1)

Lập phương 2 vế của (1) ta được :