Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT?. Câu 5: 4 điểm Cho hình vuông ABCD.. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM = CN.. Gọi E là t
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HOÀI ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
(ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút, không tính thời gian giao đề )
Câu 1: (3 điểm) Cho a > 0, b > 0 Rút gọn biểu thức:
a
2
b a
+ + b
2
b a
+
2
ab
+ +
2
ab
+
Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = x − + 2 4 − x
và áp dụng để giải phương trình: x − + 2 4 − x = x2 – 6x + 11
Câu 3: (3 điểm)
Cho hàm số: y = mx +m + 1 (d) (m là tham số)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (d) cắt đường thẳng y = -2 tại điểm có hoành độ bằng 1 ?
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đồ thị hàm số (d) bằng
(đơn vị đo trên các trục toạ độ là centimet)
Câu 4: (3 điểm)
Hai trường A và B của một phường có tổng cộng 480 học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT, đạt tỷ
lệ trúng tuyển 96% Tính riêng thì trường A đỗ 94%, trường B đỗ 99% Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT?
Câu 5: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho
AM = CN Gọi E là trung điểm của MN Tia DE cắt tia BC tại F Qua M vẽ đường thẳng song song với
AD cắt DF tại H Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MFNH là hình thoi
b) ND2 = NB.NF
c) Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB
Câu 6: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b, đường phân giác trong AD=d Gọi E, F thứ tự
là hình chiếu của D trên AB và AC
a) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF ?
b) Chứng minh: 2
d =
1
b+
1
c
c) Chứng minh:
1 sin 2
A +
1 sin 2
B +
1 sin 2
C > 6
HẾT
-( Cán bộ coi thi không giải thích bất cứ điều gì )
-1 -1
Trang 2PHÒNG GD&ĐT HOÀI ĐỨC ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
Câu 1: (3 điểm)
Có: a
2
b a
+ + b
2
b a
+
= a 2b a
a + b + b.
2a b
a + b
= 2 ab a 2 ab b )
+
+
= 2 ( ab a b )
+
Có:
2
b a
+ +
2
b a
+
= 2
ab
a a + b +
2
ab
1
b a + b ]
= 2ab
+
Vậy Kết quả là 2ab : 2 ab = ab
0,5đ 0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
0,5đ 0,5đ
Câu 2: (3 điểm)
áp dụng bất đẳng thức: 2 (a2 +b2) ≥ (a+ b)2
⇒ 2 (x - 2 +4 - x) ≥ ( x − 2 + 4 x − )2
⇔ 4 ≥ ( x − 2+ 4 x − )2 ⇒ y ≤ 2
Kết luận: Giá trị lớn nhất của y là 2
Mặt khác : x2 - 6x +11 = (x - 3)2 + 2 ≥ 2 ∀x
Do đó: x − 2+ 4 x − = x2 - 6x + 11
x − 2+ 4 x − = 2
⇔
x2 - 6x + 11 = 2
⇔ x = 3
Kết luận
0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
Câu 3: (3 điểm)
a) Đồ thị HS (d) cắt đt y = -2 tại điểm có hoành độ = 1
Ta có x = 1 thì y = -2
Thay vào tính được m = - 1,5
Kết luận
b) Chia m = 0 thì K/c = 1 ≠ 2
m = -1 thì K/c = 0 ≠ 2
Vậy có m ≠ 0; m ≠ 1
ĐTHS (d) cắt Oy tại A (O; m+ 1) nên OA = ﺍm+1ﺍ
cắt Ox tại B ( ( m 1)
m
− +
; 0) nên OB = ( m 1)
m
− +
Gọi h là k/c từ gốc O đến ĐT (d) có 12
1
1
OB
Thay h = 2, tính được m = 1
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu 4: (3 điểm)
Số học sinh dự thi của 2 trường là 480 : 96
100= 500 (học sinh) Gọi số học sinh dự thi của trường A là x (x nguyên; 0<x<500)
0,25đ 0,25đ
Trang 3Phương trình: 94
100 x +
99
100 (500 – x) = 480 ⇒ x = 300 (thoả mãn điều kiện)
Vậy số học sinh dự thi của trường A là 300 học sinh
số học sinh dự thi của trường B là: 200 (học sinh)
Số học sinh thi đỗ của trường A là: 300 94
100= 282 (học sinh)
Số học sinh thi đỗ của trường B là: 480 - 282 = 198 (học sinh)
0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
Câu 5: (4 điểm) Vẽ hình đúng
a) ΔAMD = ΔCND (c.g.c) ⇒ DM = DN và D1 = D2
⇒ MDN = 90o Và ΔDMN vuông cân
ΔEMH = ΔENF (g.c.g) ⇒ EH = EF
⇒ MFNH là hình thoi (đpcm)
b) ΔFDN và ΔDBN có FDN = DBN = 45o; N chung
⇒ ΔFDN ΔDBN (g.g) ⇒ ND2 = NB.NF (đpcm)
c) Chu vi ΔBMF = BM +BF + MF = BM +BF + FN
= BM +BF +FC +CN
= (BM +AM) + (BF +FC) = 2AB (không đổi) (đpcm)
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ
Câu 6: (4 điểm)
Vẽ hình đúng
a) Chứng minh AEDF là hình vuông
Tính được mỗi cạnh = 2
2 d Tính chu vi = 2d 2
2 ; S =
1
2d
2
b) SΔABD = 2
4 cd; SΔACD =
2
4 bd; SΔABC =
2
4 bc
⇒ 2bd + 2dc = 2bc
b +
1
c=
2
d (chia 2 vế cho 2dbc) (đpcm)
c) Kẻ BH và CK vuông góc với AD có:
sin
2
a
=BH
AB =
CK
AC =
BH CK
AB AC
+
BC
AB AC + ⇒
1 sin 2
BC
+
Tương tự có
1 sin
2
B ≥ AB BC
AC
+
;
1 sin 2
C ≥ AC CB
AB
+
Chú ý không đồng thời xẩy ra dấu " = " vì ΔABC không đều
Cộng từng vế chỉ ra được đpcm
0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ