Lê Công Tố - Giáo viên Trường THCS Diễn Thịnh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi : TOÁN Thời gian: 120 phút Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A = − − − − + x 2 2 x 1 x 1 x 1 . 1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 3. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x-1). Câu II (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x 2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1). Câu III (1,5 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi). Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. 1. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. 3. Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C). Hết 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Lê Công Tố - Giáo viên Trường THCS Diễn Thịnh GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2010-2011 Câu 1(3đ) a) ĐKXĐ: 1;0 ≠≥ xx . Ta có: A = 1 2 1 2 1 − − + − − x xx x = )1)(1( 2 )1)(1( )1(2 )1)(1( )1( +− − −+ − − +− + xxxx x xx xx = )1)(1( 2)1(2)( +− −−−+ xx xxx = )1)(1( 222 +− −+−+ xx xxx = )1)(1( +− − xx xx = )1)(1( )1( +− − xx xx = 1+x x b) Thay x = 9 vào biểu thức rút gọn của A ta được: A = 4 3 13 3 19 9 = + = + Vậy khi x = 9 thì A = 4 3 c) Ta có: B = A. )1( −x )1( 1 − + = x x x )1( −= xx xx −= 4 1 2 1 2 1 2)( 2 2 − +−= xx −+−= 4 1 ) 2 1 ( 2 x Vì: 0) 2 1 ( 2 ≥−x Với mọi giá trị của x 0 ≥ và x 1≠ ⇒ −≥ −+− 4 1 4 1 ) 2 1 ( 2 x Với mọi giá trị của x 0 ≥ và x 1≠ . Dấu bằng xãy ra khi 4 1 0 2 1 0) 2 1 ( 2 =⇔=−⇔=− xxx Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là − 4 1 đạt được khi 4 1 =x . Câu 2. (2đ) a) Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành: x 2 – 3x + 2 = 0 (*) Vì phương trình (*) là một phương trình bậc hai có: a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0 Nên phương trình (*) có hai nghiệm là x 1 = 1 v à x 2 = 2. Vậy khi m = 2 thì phương trình (1) có hai nghiệm l à x 1 = 1 v à x 2 = 2. b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trình (1). Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta được: 022)2).(1()2( 2 =−+−+−− mm 2 Lê Công Tố - Giáo viên Trường THCS Diễn Thịnh 022224 =−+++⇔ mm 044 =+⇔ m 44 −=⇔ m 1−=⇔ m ./ Vậy với m = -1 thì phương trình(1) có một nghiệm là x = -2. Câu 3 (1,5đ) Đổi: 4 giờ 30 phút = 2 9 giờ. Gọi x(h) là thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công vi ệc (ĐK: x > 2 9 ) Gọi y(h) là thời gian để người thứ hai làm một mình xong công vi ệc (ĐK: y > 2 9 ) Khi đ ó: Mỗi giờ người thứ nhất làm được x 1 (công việc) Mỗi giờ người thứ hai làm được y 1 (công việc) Mỗi giờ cả hai người làm được 9 2 (công việc) Trong 4 giờ người thứ nhất làm được x 4 (công việc) Trong 3 giờ người thứ hai làm được y 3 (công việc) Theo bài ra ta có hệ phương trình: =+ =+ 4 334 9 211 yx yx (*) Đặt x 1 = a >0 và y 1 = b>0. Khi đó hệ phương trình (*) trở thành =+ =+ 4 3 34 9 2 ba ba = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ =+ =+ ⇔ 5 36 12 36 51 12 11 36 5 12 1 31216 299 y x y x b a ba ba )( )( TM TM Vậy: Người thứ nhất làm một mình xong công việc sau 12 giờ . Người thứ hai làm một mình xong công việc sau 5 36 giờ, hay 7 giờ 12 phút. Câu 4(3,5đ) 3 Lê Công Tố - Giáo viên Trường THCS Diễn Thịnh a) Ta có: CH ⊥ AB (gt) ⇒ 0 90=∠BHI (1) Lại có: 0 90=∠=∠ BDABDI (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) (2) T ừ (1) v à (2) ⇒ 0 180=∠+∠ BDIBHI ⇒ Tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. b) Ta có: DA 2 1 SđEDAEDI =∠=∠ (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Và: DA 2 1 SdABD =∠ (Góc nội tiếp của đường tròn (O)) ⇒ ABDEDI ∠=∠ (3) Lại có: ABDEID ∠=∠ ( vì tứ giác HBDI nội tiếp) (4) Từ (3) và (4) ⇒ EDIEID ∠=∠ ⇒ EID∆ cân tại E. c) Gọi K là giao điểm của BC với đường tròn (F) Ta có: KDSdKCDKID 2 1 =∠=∠ (5) Mà BD 2 1 SdBADBCDKCD =∠=∠=∠ (6) Từ (5) và (6) BADKID ∠=∠⇒ (7) Lại có: AIHCID ∠=∠ (đối đỉnh) (8) Từ (7) và (8) ⇒ 0 90=∠+∠=∠+∠ AIHBADCIDKID 0 90=∠⇒ CIK Mặt khác: CIK∠ là góc nội tiếp của đường tròn (F) ⇒ CK là đường kính của đường tròn (F) ⇒ F ∈ BC ⇒ ACSdABCABF 2 1 =∠=∠ Do A, H ,C cố định => sđ AC không đổi => ⇒ ABF∠ không đổi (đpcm) 4 • F . +− − xx xx = )1)(1( )1( +− − xx xx = 1+x x b) Thay x = 9 vào biểu thức rút gọn của A ta được: A = 4 3 13 3 19 9 = + = + Vậy khi x = 9 thì A = 4 3 c) Ta có: B = A. )1( −x )1( 1 − + = x x x . phút = 2 9 giờ. Gọi x(h) là thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công vi ệc (ĐK: x > 2 9 ) Gọi y(h) là thời gian để người thứ hai làm một mình xong công vi ệc (ĐK: y > 2 9 ) Khi. trở thành =+ =+ 4 3 34 9 2 ba ba = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ =+ =+ ⇔ 5 36 12 36 51 12 11 36 5 12 1 31216 299 y x y x b a ba ba )( )( TM TM Vậy: