THI TH TUYN SINH I HC V CAO NG 2010 Mụn : TON Thi gian lm bi 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7 im) Cõu I ( 2 im) Cho hm s : 2 1 x y x = (C) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (C). 2. Chng minh rng: vi mi giỏ tr ca m, ng thng d : y x m = + luụn ct th (C) ti hai im A,B phõn bit. Tỡm giỏ tr nh nht ca di on thng AB. Cõu II ( 2 im) 1. Gii phng trỡnh: 2 17 sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( ) 2 2 12 x x x x + + = + + 2. Gii bt phng trỡnh: ( ) 2 3 1 1 3 3 1 log 5 6 log 2 log 3 2 x x x x + + > + Cõu III ( 2 im) 1. Tớnh din tớch ca min phng gii hn bi cỏc ng 2 | 4 |y x x= v 2y x= . 2. Cho mt hỡnh tr trũn xoay v hỡnh vuụng ABCD cnh a cú hai nh liờn tip A, B nm trờn ng trũn ỏy th nht ca hỡnh tr, hai nh cũn li nm trờn ng trũn ỏy th hai ca hỡnh tr. Mt phng (ABCD) to vi ỏy hỡnh tr gúc 45 0 . Tớnh din tớch xung quanh v th tớch ca hỡnh tr. Cõu IV ( 1 im) Cho a, b, c là ba số thực dơng thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 32 1 32 1 32 1 222222 ++ + ++ + ++ = accbba P II. PHN RIấNG ( 3 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B) A.Theo chng trỡnh Chun Cõu V.a (2 im) 1. Trong mp(Oxy) cho elip (E): 2 2 1 9 4 x y + = . Vit phng trỡnh ng thng i qua I(1;1) ct (E) ti 2 im A v B sao cho I l trung im ca AB. 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hai ng thng 1 : 1 1 2 x y z d = = vaứ 2 1 2 : 1 x t d y t z t = = = + Xột v trớ tng i ca d 1 v d 2 . Vit phng trỡnh ng thng qua O, ct d 2 v vuụng gúc vi d 1 Cõu VI.a (1 im) Cho hai ng thng song song d 1 v d 2 . Trờn ng thng d 1 cú 10 im phõn bit,trờn ng thng d 2 cú n im phõn bit ( n 2 ). Bit rng cú 2800 tam giỏc cú nh l cỏc im ó cho. Tỡm n. B.Theo chng trỡnh Nõng cao. Cõu V.b (2 im) 1. Trong mt phng to Oxy. Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú chu vi bng 16, A,B thuc ng thng d: 2 2 2 2 0x y = v B, C thuc trc Ox . Xỏc nh to trng tõm ca tam giỏc ABC. 2. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz. Cho tam giỏc ABC cú: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Vit phng trỡnh tham s ng cao tng ng vi nh A ca tam giỏc ABC. Cõu VI.b (1 im) Chng minh rng vi n l s nguyờn dng n 0 n 1 1 n 1 n 1 n n n n.2 C (n 1).2 C 2C 2n.3 + + + = Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: 2 đường thẳng chéo nhau đường thẳng ∆ cần tìm cắt d 2 tại A(-1-2t;t;1+t) OA ⇒ =(-1-2t;t;1+t) )0;1;1(10. 11 −⇒−=⇔=⇔⊥∆ AtuOAd Ptts = −= = ∆ 0z ty tx Theo ®Ò ra ta cã : 3 3 3 n 10 10 n C C C 2800 + − − = ( n 2≥ ) ( ) ( ) ( ) n 10 10! n! 2800 3! n 7 ! 3!7! 3! n 3 ! + ⇔ − − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 10 n 9 n 8 10.9.8 n n 1 n 2 2800.6⇔ + + + − − − − = ⇔ n 2 + 8n – 560 = 0 ⇔ n 20 2 n 28 = − < = b) (1 điểm) * Phương trình hoành độ giao điểm của d ( )C∩ là: 2 2 0x mx m− + − = (1) ; đ/k 1x ≠ Vì 2 4 8 0 (1) 1 0 m m f ∆ = − + > = − ≠ với m∀ ,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với m∀ .Suy ra d ( )C∩ tại hai điểm phân biệt với m ∀ *Gọi các giao điểm của d ( )C∩ là: A( ; A A x x m− + ) ; B( ; B B x x m− + );với A x ; B x là các nghiệm của p/t (1) [ [ [ 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 . 2 4( 2) 2 ( 2) 4 8 A B A B A B AB x x x x x x m m m = − = + − = − − = − + ≥ Vậy : AB min 2 2= , đạt được khi m = 2 Biến đổi phương trình đã cho tương đương với os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 6 c x x c x π − + + + = os(2 ) 5 os( ) 3 0 3 6 c x c x π π ⇔ + + + + = 2 2 os ( ) 5 os( ) 2 0 6 6 c x c x π π ⇔ + + + + = Giải được 1 os( ) 6 2 c x π + = − và os( ) 2 6 c x π + = − (loại) *Giải 1 os( ) 6 2 c x π + = − được nghiệm 2 2 x k π π = + và 5 2 6 x k π π = − + Câu V.b 1) * B = d ∩ Ox = (1;0) Gọi A = (t;2 2 t - 2 2 ) ∈ d H là hình chiếu của A trên Ox ⇒ H(t;0) H là trung điểm của BC. * Ta có: BH = |t - 1|; AB = 2 2 ( 1) (2 2 2 2)t t− + − = 3|t - 1| ∆ ABC cân tại A ⇒ chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| * ⇒ 16 = 8|t - 1| ⇔ t 3 t 1 = = − * Với t = 3 ⇔ A(3;4 2 ), B(1;0), C(5;0) ⇒ G( 3 ; 4 2 3 ) Với t = -1 ⇔ A(-1;-4 2 ), B(1;0), C(-3;0) ⇒ G( 1− ; 4 2 3 − ) 2) * Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ∆ ABC ⇒ d là giao tuyến của (ABC) với ( α ) qua A và vuông góc với BC. * Ta có: AB uuur = (1;3;-3), AC uuur = (-1;1;-5) , BC uuur = (-2;-2;-2) [ AB uuur , AC uuur ] = (18;8;2) mp(ABC) có vtpt n ur = 1 4 [ AB uuur , AC uuur ] = (-3;2;1). mp( α ) có vtpt n ur ' = - 1 2 BC uuur = (1;1;1) * Đường thẳng d có vtcp u ur =[ n ur , n ur ' ] = (1;4;-5). * Phương trình đường thẳng d: 1 2 4 3 5 x t y t z t = + = − + = − Điều kiện: 3x > Phương trình đã cho tương đương: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 3 3 1 1 1 log 5 6 log 2 log 3 2 2 2 x x x x − − − + + − > + ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 1 1 log 5 6 log 2 log 3 2 2 2 x x x x⇔ − + − − > − + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 log 2 3 log 2 log 3x x x x⇔ − − > − − + ( ) ( ) 3 3 2 log 2 3 log 3 x x x x − ⇔ − − > ÷ + ( ) ( ) 2 2 3 3 x x x x − ⇔ − − > + 2 10 9 1 10 x x x < − ⇔ − > ⇔ > Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là 10x > Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó OM AB⊥ và ' DO N C⊥ . Giả sử I là giao điểm của MN và OO’. Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó: OMI ∆ vuông cân tại O nên: 2 2 2 . 2 2 2 2 2 h a OM OI IM h a= = ⇒ = ⇒ = Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a 2 4 4 8 8 a a a a R OA AM MO = = + = + = + = ÷ ÷ ÷ 2 3 2 3a 2 3 2 R . . , 8 2 16 a a V h π π π ⇒ = = = và 2 a 3 2 3 2 Rh=2 . . . 2 2 2 2 xq a a S π π π = = Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: 2 | 4 | ( )y x x C= − và ( ) : 2d y x= Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 2 2 2 2 2 0 0 0 | 4 | 2 2 4 2 6 0 6 4 2 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ≥ ≥ = − = ⇔ ⇔ ⇔ = − = − = = − = − − = Suy ra diện tích cần tính: ( ) ( ) 2 6 2 2 0 2 4 2 4 2S x x x dx x x x dx= − − + − − ∫ ∫ Tính: ( ) 2 2 0 | 4 | 2I x x x dx= − − ∫ Vì [ ] 2 0;2 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ nên 2 2 | 4 | 4x x x x− = − + ⇒ ( ) 2 2 0 4 4 2 3 I x x x dx= − + − = ∫ Tính ( ) 6 2 2 | 4 | 2K x x x dx= − − ∫ Vì [ ] 2 2;4 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ và [ ] 2 4;6 , 4 0x x x∀ ∈ − ≥ nên ( ) ( ) 4 6 2 2 2 4 4 2 4 2 16K x x x dx x x x dx= − − + − − = − ∫ ∫ . Vậy 4 52 16 3 3 S = + = TH1: Đường thẳng qua M có PT: 1x = dễ dàng nhận xét không thoả mãn. TH2: Đường thẳng cần tìm có hệ số góc k thì PT là: ( 1) 1y k x= − + Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 2 2 (9 4) 18 ( 1) 9( 1) 36 0 (1) 1 9 4 ( 1) 1 ( 1) 1 x y k x k k x k y k x y k x + − − + − − = + = ⇔ = − + = − + (d) cắt (E) tại A,B nhận I là trung điểm AB thì 2 2 A B I x x x+ = = và: (1) 0∆ > Theo định lý viet ta có: 2 18 ( 1) 4 2 9 9 4 k k k k − = ⇔ = − + thoả mãn Vậy phương trình (d) là: 4 ( 1) 1 4 9 43 0 9 y x x y= − − + ⇔ + − = Ta cã a 2 +b 2 ≥ 2ab, b 2 + 1 ≥ 2b ⇒ 1bab 1 2 1 21bba 1 3b2a 1 22222 ++ ≤ ++++ = ++ T¬ng tù 1aca 1 2 1 3a2c 1 , 1cbc 1 2 1 3c2b 1 2222 ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ 2 1 bab1 b ab1b ab 1bab 1 2 1 1aca 1 1cbc 1 1bab 1 2 1 P = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ ≤ 2 1 P = khi a = b = c = 1. VËy P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 2 1 khi a = b = c = 1. 1. Ta có công thức khai triển 0 1 1 2 2 3 3 1 ( 1) n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x C x C − − − − + = + + + + + + (1) Đạo hàm hai vế của (1) Ta được 1 1 0 2 1 3 2 1 ( 1) ( 1) ( 2) n n n n n n n n n n x nx C n x C n x C C − − − − − + = + − + − + + (2) Nhân 2 vế của (2) cho x rồi thay x = 2 vào . Ta được n 0 n 1 1 n 2 2 n 1 n 1 n n n n n.2 C (n 1).2 C (n 2)2 C 2C 2n.3 − − − − + − + − + + = (đpcm) . THI TH TUYN SINH I HC V CAO NG 2010 Mụn : TON Thi gian lm bi 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7 im) Cõu. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7 im) Cõu I ( 2 im) Cho hm s : 2 1 x y x = (C) 1. Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s (C). 2. Chng minh rng: vi mi giỏ tr ca m, ng thng d : y x m = + luụn. n 1 n 1 n n n n.2 C (n 1).2 C 2C 2n.3 + + + = Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: 2 đường thẳng chéo nhau đường thẳng ∆