Chơng 1. Quan hệ Bi tập cho 1.1 1. Có bao nhiêu quan hệ khác nhau từ tập có m phần tử đến tập có n phần tử? Quan hệ bù của quan hệ R,kýhiệul R,l tập các cặp đợc sắp {(a, b)|(a, b) / R}.TìmR 1 v R trong các trờng hợp sau: 2. R l quan hệ < trên Z. 3. R l quan hệ chia hết trên N + 4. R l quan hệ hm , nghĩa l R = {(a, f(a))|f(a) l ảnh của a qua ánh xạ f}. 5. Liệt kê 16 quan hệ khác nhau trên tập {0, 1} 6. Trongsố16quanhệkhácnhautrêntập{0, 1}, những quan hệ nol a. Phản xạ b. Đối xứng. c. Phản xứng. d. Bắc cầu. 7. Có bao nhiêu quan hệ trên tập gồm n phần tử l a. Phản xạ b. Đối xứng. c. Phản xứng. 8. Cho R l quan hệ có tính phản xạ trên tập A. Chứng minh rằng R n cũng cótínhphảnxạvớimọisốnguyêndơng n. 9. Cho R l quan hệ có tính đối xứng trên tập A. Chứng minh rằng R n cũng có tính đối xứng với mọi số nguyên dơng n. 10. Chỉ ra một ví dụ về một quan hệ bắc cầu R sao cho R 2 = R Bi tập cho 1.2 1. Cho tập A = {1, 2, 3, 4}. BiểudiễncácquanhệR, S trên A bằng ma trận với thứ tự của các phần tử của A đợc liệt kê tăng dần v R, S cho sau đây: a. R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (4, 2)}. 1 b. S = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), 3, 2), (4, 1)} 2. Cho tập A = {a, b, c, d} v các quan hệ P, Q trên tập A đợc biểu diễn bởi ma trận sau (tơng ứng với thứ tự đã đợc liệt kê của phần tử của A): a. M P = 1010 0101 1100 0011 ;b.M Q = 1001 0110 1010 0011 .Hãy liệt kê các cặp thuộc mỗi quan hệ P, Q. 3. Các quan hệ đã cho trong các bitập1v 2 có những tính chất gì trong các tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu. 4. Tìm các ma trận biểu diễn của các quan hệ P 1 , P,P 2 với P l quan hệ tìm đợc trong bitập2. 5. Tìm các ma trận biểu diễn của các quan hệ P Q, P Q, P Q, QP, P 2 ,P 3 ,P 4 với P v Q l cácquanhệcómatrậnbiểudiễnM P ,M Q cho trong bi tập 2. 6. Vẽ các đồ thị biểu diễn các quan hệ R, S cho trong bitập1v các đồ thịbiểudiễncácquanhệP, Q tìm đợc trong bitập2. 7.ChứngminhrằngnếuM R l ma trận biểu diễn quan hệ R thì M [k] R l ma trận biểu diễn quan hệ R k ,vớik =1, 2, 3, 8. Biểu diễn quan hệ bằng danh sách liên kết. 9. Biểu diễn quan hệ bằng mảng các bản ghi Bi tập cho 1.3. 1. Cho R l quan hệ {(a, b)|a = b} trên tập hợp các số nguyên Z. Tìm bao đóng phản xạ của R. 2. Cho R l quan hệ {(a, b)|a lớc của b} trên tập hợp các số tự nhiên N. Tìm bao đóng đối xứng của R. 3. Chứng minh rằng: Bao đóng phản xạ của quan hệ R l S = R I. Bao đóng đối xứng của quan hệ R l S = R R 1 . 4. ChứngminhrằngnếuR l quan hệ trên tập hữu hạn A đợc biểu diễn bởi ma trận M R , thì: 2 a. Ma trận biểu diễn bao đóng phản xạ của R l M R I n . b. Ma trận biểu diễn bao đóng đối xứng của R l M R M t R trong đó M t l ma trận chuyển vị của M. 5. Dùng các thuật toán 1 v 2 để tìm bao đóng bắc cầu của các quan hệ sau đây: a. R = {(1, 0)} trên tập A = {0, 1} b. R = {(a, b), (a, c)} trên tập A = {a, b, c}. c. R = {(a, a), (a, b), (b, c), (b, d), (c, a), (d, a), (d, b)} trên tập A = {a, b, c, d}. 6. Viết một chơng trình thực hiện các công việc sau đây: a. Nhập số phần tử n của tập A v cácphầntửcủaA l các chữ cái b. Nhập các cặp chữ cái thuộc một quan hệ R trên A. c.XácđịnhmatrậnbiểudiễnquanhệR v in ra mnhìnhmatrậnđó. d. Tìm v in ra mnhìnhmatrậnbiểudiễnquanhệbaođóngbắccầu của R. e. In ra mn hình tất cả các cặp phần tử của bao đóng bắc cầu của R. Bi tập cho 1.4. 1.Chứngtỏrằngmỗiquanhệtơng đơng đều có thể biểu diễn bởi ma trận khối dạng M R = A 11 A 12 ããã A 1k A 21 A 22 ããã A 2k . . . . . . ããã ããã A k1 A k2 ããã A kk trong đó A ij = ma trận có mọi phần tử bằng 1 nếu i = j ma trận không (có mọi phần tử bằng 0) nếu i = j 2. Cóthểcóbaonhiêuquanhệtơng đơng trên một tập có n phần tử? 3 . diễn các quan hệ R, S cho trong bitập1v các đồ thịbiểudiễncácquanhệP, Q tìm đợc trong bitập2. 7.ChứngminhrằngnếuM R l ma trận biểu diễn quan hệ R thì M [k] R l ma trận biểu diễn quan hệ R k ,vớik. chữ cái b. Nhập các cặp chữ cái thuộc một quan hệ R trên A. c.XácđịnhmatrậnbiểudiễnquanhệR v in ra mnhìnhmatrậnđó. d. Tìm v in ra mnhìnhmatrậnbiểudiễnquanhệbaođóngbắccầu của R. e. In ra mn hình. quan hệ P 1 , P,P 2 với P l quan hệ tìm đợc trong bitập2. 5. Tìm các ma trận biểu diễn của các quan hệ P Q, P Q, P Q, QP, P 2 ,P 3 ,P 4 với P v Q l cácquanhệcómatrậnbiểudiễnM P ,M Q cho trong