Bộ đề Bồi Dưỡng HSG Toán 8

1 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a,(x 2 + 1) x(a 2 + 1) b, x 1 + x n + 3 x Câu 2: Thực hiện phép tính: 2 2 2 2 2 2 x y x y : y xy x xy x y xy + ữ ữ + Câu 3: Rút gọn biểu thức: x y A x y + = + Câu 4:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 2 x 3 M x 2 = có giá trị nguyên. Câu 5:Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF. a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân. b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng. 3 Câu 1: Giải phơng trình: (3x 1)(x + 1) = 2(9x 2 6x + 1) Câu 2: Giải bất phơng trình: x 1 x 4 3 2 2 + Câu 3: Tính giá trị của biểu thức: 2a b 5b a A 3a b 3a b = + + Biết 10a 2 3b 2 + 5ab = 0 và 9a 0. Câu 4: Cho biểu thức: 4 3 4 3 2 1 P 2 1 + + + = - + - + x x x x x x x a)Rút gọn P. b)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2. Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD. Biết BC = 12m, AD = 27m, Tính độ dài đờng chéo AC. Câu 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đ thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G. Chứng minh EF + EG = 2AM. 4 Câu 1:Rút gọn biểu thức: 4 12 9 A 2 6 + = 2 2 a a + a a Câu 2: Rút gọn biểu thức 0,5 2 8 2 B : 1 0,5 2 2 + + = + + + 2 3 a a a a a a( a) Câu 3:1) Giải bất phơng trình: (x 2)(x + 1) < 0. 2) Giải phơng trình: 2 2 2 0+ + = 2 x x x + 1 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N. Chứng minh a) AM DM CB AB DN CN = = ; b) ID 2 = IM.IN. 5 Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, Chứng minh rằng: a 2 b + b 2 c + c 2 a +ca 2 + bc 2 + ab 2 a 3 b 3 c 3 > 0. Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 2 3 A 2 + + = + 2 2 x x x Câu 3: Giải phơng trình: 1 2 3 4 + + = +x x x Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lợt vuông góc với cạnh AD và CD tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biết rằng 2MN = BD. 7 Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng: Nếu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3 thì : a 2 + b 2 chia hết cho 13. Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng: 10a 2 + 5b 2 + 12ab + 4a 6b + 13 Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh:1) AC = FH và AC vuông góc với FH. 2) Tam giác CEG vuông cân. Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x 4 + 2x 3 13x 2 14x + 24 (Với x nguyên) 1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử. 2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6. Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF và EG là hai đ cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng: 1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. 2)Chứng minh: FG//BC. Câu 6: 1)Chứng minh rằng phơng trình x 4 x 3 x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm. 2)Giải và biện luận phơng trình: m 2 x + 1 = x + m (m là tham số) 8 Câu 1: Cho phân thức: 4 2 3 x 2x 1 A x 3x 2 + = a.Rút gọn A. b.Tính x để A < 1. Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 2 3 E x 2x 4 = + Câu 3: Giải phơng trình: 1 1 x(x 1) 2 = Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đờng chéo AC > BD. Gọi E, F lần lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD; Gọi G là chân đờng vuông góc kẻ từ B đến AC, 1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF. 2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC 2 . Bài tập t ơng tự: 1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BH.BD + CH.CE = BC 2 . 2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD. Chứng minh : AD 2 = AB.AC + BD.DC. 3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng à à 2 2 A 2B a b bc.= = + 4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE 2 = EB.EC + AB.AC. 9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x 4 3x 3 + 5x 2 9x + 6. 1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6. 2)Giải phơng trình P(x) = 0. Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác. Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p; 2) p < MA + MB + MC + MD < 3p. Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a 2 + b 2 + c 2 = 1. 1) Nếu x y z a b c = = . Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0. 2) Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tìm giá trị của a, b, c. Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. 1) So sánh hai góc BAH và CAH. 2) So sánh hai đoạn thẳng BD và CE. 3) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. Câu 5: Giải phơng trình: x 1 2 x 1 x+ = 10 Câu 1: Giải phơng trình: x 4 + 2x 3 4x 2 5x 6 = 0 Câu 2: Rút gọn biểu thức: 2 2 3 3 2 2 2 2 x y xy x y A : x y x y 2xy + + = + Câu 3: Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x: 2 4 5 0 x 2x 2 < + Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 x 4x 1 A x + = Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đờng cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE. 1)Chứng minh rằng à 0 B 45> . 2)Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân. 3)Gọi Q là đỉnh thứ t của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng. 4)Chứng minh rằng HE // QK. 11 Câu 1: Chứng minh biểu thức P = 2 2 2 2 2 2 (x a)(1 a) a x 1 (x a)(1 a) a x 1 + + + + + + không phụ thuộc vào biến x Câu 2: Giải phơng trình: x 3 + 12 = 3x 2 + 4x Câu 3: Giải phơng trình: 2 2 1 8x 4x 32x 0 4 8x 12x 6 3(4 16x ) + + = + Câu 4: Cho ba phân thức: 2 2 2 2 2 2 4xy z 4yz x 4xz y A ; B ; C xy 2z yz 2x xz 2y = = = + + + Trong đó x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1. Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt đ ờng chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đờng thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đờng thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng: MP//CD. Câu 6: Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q lần l trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB. 1)Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. 2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đờng nào của tam giác ABC? 12 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x 3 + 13x 2 + 4x 3. Câu 2: Giải phơng trình: (4x + 3) 3 + (5 7x) 3 + (3x 8) 3 = 0. Câu 3: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng nếu ( a + b + c) 2 = 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác đều Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM = FE. Câu 5: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC. 1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S. 2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J. Chứng minh rằng: AB AC 6 AI AJ + = . 13 Câu 1: Giải phơng trình: 2 3 2 1 2x 1 x 1 x x 1 x 1 = + + + + Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a b, c d. Chứng minh: ac + bd bc + ad. Câu 3: Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết ã FAE = 45 0 . Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD. 14 Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn ( ) 1 1 1 a b c 1 a b c + + + + = ữ Tính giá trị của biểu thức: (a 23 + b 23 )(b 5 + c 5 )(a 1995 + c 1995 ) Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức lần lợt là: (x 1); (x 2); (x 3) đều có số d là 6 và tại x = 1 thì đa thức nhận giá trị là ( 18). Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lợt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số đo của góc MCN? 15 Câu 1: Cho biểu thức: 2a 1 5 a A 3a 1 3a 1 = + + 1)Tính giá trị của A khi 1 a 2 = . 2)Tính giá trị của A khi 10a 2 + 5a = 3. Câu 2: Giải phơng trình : x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x 12 = 0. Câu 3: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc COD = 90 0 . 1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng. 2) Chứng minh : CD = AC + BD. 3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN//AC. 16 Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức: 5n 11 A 4n 13 = là số tự nhiên. Câu 2:Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng B = n 3 + 6n 2 19n 24 chia hết cho 6. Câu 3: Tính tổng 1 1 1 S(n) (n N) 2.5 5.8 (3n 1)(3n 2) = + + + + Câu 4:Giải phơng trình : x 1 x 2 x 3 14 + + + = Câu 5: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x 3 + xy = 7. Câu 6: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC. 1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x). 2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất. 17 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3 7x 6 Câu 2:Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Cứ nh thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng đợc của mỗi lớp bằng nhau. Hỏi trờng đó đã tồng đợc bao nhiêu cây? Câu 3: Cho biểu thức: 3 3 x 1 x 1 x 1 x 1 A x 1 1 x + + = + .Hãy viết A dới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức với bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu. Câu 4: Chứng minh rằng Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác thì lớn hơn 3 4 và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy. Câu 5:Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON, NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau. 1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP. 2) Chứng minh O nằm trên đờng cheo NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác MNPQ. 18 Câu 1: Rút gọn biểu thức: A = 75(4 1993 + + 4 2 + 5) + 25. Câu 2: Tìm các số nguyên dơng n để: n 1988 + n 1987 + 1 là số nguyên tố. Câu 3:Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC. C/M: GO//AC. Câu 4:Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm. 19 Câu 1: Chứng minh rằng: 21 30 + 39 21 chia hết cho 45. Câu 2: Cho a, b, c là ba số dơng. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c a b c b c a c a b 2 + + + + + + + Câu 3: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng thẳng d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C. Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho AM BN CP k (k 0) MB NC PA = = = > Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k. Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất. 20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức: m n n p p m p m n S p m n m n n p p m = + + + + ữ ữ Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 1985 1986 . Hỏi tổng của haio số đó có phải là bội của 1986 hay không? Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có một ngời đi xe gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu sau khi đi đợc 1giờ 15 phút mà ng đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai ng mới gặp nhau. Tính vận tốc cua mỗi ngời? Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi. Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dờng chéo cắt nhau tại O. Kí hiệu S là diện tích. Cho S AOB = a 2 (cm 2 ) và S COD = b 2 (cm 2 ) với a, b là hai số cho trớc. 1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S ABCD ? 2) Giả sử S ABCD bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho đờng thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC, BD chia thành ba phần bằng nhau 21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là một số chính phơng. Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y 3 (a y)x 3 + (x y)a 3 . Câu 3: Giải phơng trình: 2 2 1 1 1 6 x 4x 3 x 8x 15 + = + + + + Câu 4: Giải phơng trình: x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 10x + 15 = 0. Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đờng phân giác của góc ACB (D thuộc cạnh AB). Qua D kẻ đờng vuông góc với CD; đờng này cắt đờng thẳng BC tại E. Chứng minh: EC = 2BD. Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 20 0 ; cạnh đáy là a, cạnh bên là b. Chứng minh: a 3 + b 3 = 3ab 2 . 22 Câu 1:Giải phơng trình: 2 2x 5 3 7 = Câu 2: Giải phơng trình: 315 x 313 x 311 x 3 105 103 101 + + = Câu 3:: Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 3 4 3 2 x x x 1 A x x 2x x 1 + + + = + + Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh: 1) Tam giác CIN vuông. 2) Tính diện tích tam giác CIN theo a. 3) Tam giác AID cân. 23 Câu 1:Rút gọn: 5 4 3 2 2 x 2x 2x 4x 3x 6 M x 2x 8 + + = + Câu 2: Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất: 2 2 x 2x 1995 A (x 0) x + = > Câu 3: chứng minh rằng: ( ) ( ) n * 10 9n 1 27 n N M Câu 4: Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, và BD vuông góc với BC. 1). Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao? 2). Tính các góc trong của tứ giác ABCD. 2). So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD. 24 Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biểu thức: 3 2 2a 12a 17a 2 A a 2 + = Biết rằng a là nghiệm của phơng tình: 2 a 3a 1 1 + = Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) 2 B 3x 1 4 3x 1 5= + Câu 3: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH. 1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và OBC đồng dạng. 2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O. Câu 4: Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho : AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE. C/M: ID là phân giác của góc AIC. 25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của tổng các chữ số của nó. Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của tam giác để biểu thức sau : a b c A b c a a c b a b c = + + + + + đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x 1) 1995 + y 1996 + (z + 1) 1997 . Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Câu 5: Cho tam giác ABC có à à 0 3A 2B 180+ = . Tính số đo các cạnh của tam giác ABC biết các số đo ấy là ba số tự nhiên liên tiếp. 26 Câu 1: a) Giải phơng trình: 3 x 3 2 x 2 x 1 4 + = . b) Giải phơng trình: x 4 + 7x 2 12x + 5 = 0. Câu 2: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội. 27 Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a 2 b + 4ab 2 a 2 c + ac 2 4b 2 c + 2bc 2 4abc. Câu 2: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng: b c c a a b 2 2 2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a + + = + + Câu 3: Giải phơng trình: m 2 x + 2m = 4x + m 2 . (với x là ẩn). Câu 4: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC. Kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứng với C qua H. Kẻ Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính góc AIM? 28 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a).x 4 + 1997x 2 + 1996x + 1997. b).bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc. Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz. Biết: a b c x ; y ; z b c a c a b = = = + + + Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120. Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Chứng minh: 1). Tứ giác ANFM là hình vuông. 2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90 0 . 3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm FA). Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh và Q là trung điểm của cạnh AB. 29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a 2 b 2 = c 2 d 2 . Chứng minh rằng S = a + b + c + d là hợp số. Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dơng thoả mãn điều kiện a + b = 1 thì: 3 3 2 a b 2(b a) b 1 a 1 (ab) 3 = + Câu 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia phân giác của các góc BAM và DAM lần lợt cắt cạnh BC,CD tại E,F. C/M: AM vuông góc với FE. 30 Câu 1: Rút gọn biểu thức: 4 3 2 x 10 B x 9x 9x 9x 10 + = + + Câu 2: Chứng minh rằng: A = n 8 + 4n 7 + 6n 6 + 4n 5 + n 4 chia hết cho 16, với mọi n là số nguyên. Câu 3: 1). Giải phơng trình: 3 3 3 4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1) + = 2). Giải bất phơng trình: x 1 4 x 2 2 2 + Câu 4: Giải và biện luận phơng trình sau: x a 1 x b 1 a x a x b (x a)(x b) + + = . Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Đờng vuông góc với BC tại M cắt AD tại N. 1). Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân giác của góc ABM. 2). Chứng minh rằng: BC 2 = BN 2 + ND 2 + DC 2 . 3). Tính diện tích hình thang ABCD. 31 Câu 1: Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2x x 1998 4 x 3x 950 4 2x x 1998 x 3x 950+ + = + Câu 2: Tính giá trị của đa thức: f(x) = 6x 4 7x 3 22x 2 + 7x + 2004, với x là nghiệm của phơng trình 6x 2 + 5x = 6. Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 a b c d e a(b c d e)+ + + + + + + Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. Các đờng phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I. 1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD. 2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. C/M: IG//BC và suy ra độ dài của đoạn thẳng IG. Câu 5:1). Cho tam giác ABC có góc A = 30 0 . Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh rằng: AD 2 = AB 2 + AC 2 . 2). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có số đo là 47058,5 Tính số cạnh của đa giác?. 32 Câu 1: C/M rằng với mọi a, b, c ta đều có: 2 2 2 19 a 9b c 2a 12b 4c 2 + + + > + + Câu 2: Cho x, y, z là ba số thoả mãn điều kiện: 2 2 2 3 3 3 x y z 1 x y z 1 x y z 1 + + = + + = + + = Hãy tính giá trị của biểu thức: 17 9 1997 P (x 1) (y 1) (z 1)= + + Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH. C/M: AO vuông góc với IB. Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lợt trêncác tia AB và AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng: EK > BC. 33 Câu 1: Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất: (x a)(x 5) 0 Câu 2: Giải phơng trình: 2 x 1 a(x 1) 0 + = Câu 3: Cho hình vuông ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM. Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho BC = 2CN. Cạnh AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K. Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh K, M, H thẳng hàng. Câu 4: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = 6 cm, góc BDC = 45 0 . Gọi O là giao điểm hai đờng chéo. Tính diện tích hình thang ABCD bằng hai cách. 34 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1). x 8 + 3x 4 + 4 . 2). x 6 x 4 2x 3 + 2x 2 Câu 2: Rút gọn biểut thức: 2 2 2x 3y 6 xy x 9 A xy 2x 3y 6 xy 2x 3y 6 x 9 + + = + + + + Câu 3: Cho 3 số a, b, c thoả mãn: 3 2 3 2 3 2 1 a b b b c c c a a 3 = = = . C/M: a = b = c. Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đờng chéo BD dựng đờng thẳng song song với đờng chéo AC, đờng thẳng này cắt AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó. 35 Câu 1:1). Chứng minh rằng: 8351 634 + 8241 142 chia hết cho 26. 2). Chứng minh rằng A là số chính phơng, biết rằng A có dạng: { 999 so 6 1998 so 1 1000 so 1 A 11 1 11 1 66 6 8 = + + + 1442443 1442443 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 x 1 B x 2x 1 + = + + Câu 3:Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức: a b c a c b b c a c b a + + + = = Tính giá trị của biểu thức: (a b)(b c)(a c) P abc + + + = . Câu 4: Các đờng chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua trung điểm các cạnh AB và AD kẻ những đờng vuông góc theo thứ tự với các cạnh CD và CB. Chứng minh rằng hai đ ờng thẳng vuông góc này và đờng thẳng AC đồng quy. Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định vị trí của điểm M trên đờng thẳng CD sao cho: 1). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. 2). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D có diện tích bằng (n 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2). 36 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 1 1 1 1 A 1 1 1 1 2 3 4 1998 = ữ ữ ữ ữ Câu 2: Chứng minh rằng: (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 10 1 + Câu 3: Giải phơng trình: x 4 + 2x 3 4x 2 5x 6 = 0. Câu 4:Cho tam giác ABC (BC < AB). Từ C vẽ đờng vuông góc với đờng phân giác BE tại F và cắt AB tại K; Vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G. C/M: DF đi qua trung điểm của đoạn thẳng GE. 37 Câu 1: Cho biểu thức: 2 2 2 2 3 2 x 4x 2 x x 3x A : 2 x 2 x x 4 2x x + = ữ ữ + a). Tìm giá trị của x đê A dơng. b). Tìm giá trị của A trong trờng hợp x 7 4 = Câu 2: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm. 1). Tính độ dài đờng cao CH của tam giác ABC. 2). Gọi CD là đờng phân giác của tam giác ACH. Chứng minh tam giác ACD cân. 3). Chứng minh rằng: BC 2 + CD 2 + BD 2 = 3CH 2 + 2BH 2 + DH 2 Câu 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của B và C xuống đờng thẳng AM. Xác định M trên BC để tổng BE + CF lớn nhất. 38 Câu 1:1). Xác định giá trị của m để bất phơng trình sau vô nghiệm: 2 (m 3m 2)x 3 2m + 2). Giải và biện luận phơng trình ẩn x sau: x 2 x 1 x m x 2 = Câu 2: Cho a b c 0 > . Chứng minh rằng: a b c b a c b c a a c b + + + + Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC kẻ DE, DF vuông góc với AB, AC tại E và F. Chứng minh: EA. EB + FA.FC = DB.DC. Câu 4: Giải phơng trình: 2 2 2 2 12x 12x 11 5y 10y 9 4x 4x 3 y 2y 2 + + + = + + + Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 60 0 . Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Đờng thẳng CM cắt đờng thẳng AB tại N. a). C/M: AB 2 = DM.BN. b). BM cắt DN tại P. Tính góc BPD. Câu 6:Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 và 0 a 2;0 b 2;0 c 2 . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 5. 39 Câu 1: 1). Rút gọn biểu thức: 2 4 8 16 1 1 2 4 8 16 A 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x = + + + + + + + + + + 2). Rút gọc biểu thức: 2 2 2 2 2 2 1 1 x 9 x 9 x 9 B 1 1 x x 9 x 9 + + = + + 39 Câu 2: Giải phơng trình:1). x 3 + 3x 2 + 2x + 6 = 0. 2). 2 x 1 a(x 1) 0 + = Câu 3: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng: a b c 2 b c a c a b + + < + + + Câu 4: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng: FD = FC. Câu 5: Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. C/M: BC < MC.AB + MB.AC. Câu 6: Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đờng chéo không đổi là d. Hãy tìm diện tích hình chữ nhật có diện tích lớn nhất? 40 Câu 1: Cho a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn: a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)(ab cd). Câu 2: Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c tuỳ ý thì: a 2 + 4b 2 + 3c 2 > 2a + 12b + 6c 14. Câu 3: Cho góc xOy = 60 0 . Trên hai tia Ox, Oy lần lợt lấy các điểm tuỳ ý B và C. Chứng minh rằng: OB OC 2BC.+ Câu 4: Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh AB và CD. Chứng minh rằng nếu: BC + AD = 2MN thì ABCD là hình thang. 41 Câu 1: Giải phơng trình:1). 2 2 2 2 x x x x 2 1 x x 1 x x 2 + = + , 2). 2 2 x 5x 5 10x 2x 11 + = Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau. 1). Tính: ab bc ac S (b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c) = + + 2). Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 a b c 2 (b c) (c a) (a b) + + . Câu 3: Cho ba số dơng có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ trong ba số đó không bé hơn tích của ba số đó. Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 90 0 ). Từ B kẻ BM vuông góc với AC. Chứng minh rằng: 2 AM AB 2 1. MC BC = ữ Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, có O là giao điểm hai đờng chéo. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BO, AO. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: AB BC 1). 4 2). BE AK BC BF BE + = + 42 Câu 1: Rút gọn biểu thức: 2 2 2 x yz y xz z xy A (x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y) = + + + + + + + + Câu 2: Cho a 1; a c 1999; b 1 1999.< < < Chứng minh: ab c 3998 < . Câu 3: Tìm x, y, z thoả mãn phơng trình: 9x 2 + y 2 + 2z 2 18x + 4z 6y + 20 = 0. Câu 4: Cho tam giác ABC (BA = BC). Trên cạnh AC chọn một điểm K nằm giữa A và C. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho: CE = AK. Chứng minh rằng BK + BE > BA + BC. Câu 5: Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí của điểm M. 43 Câu 1: Cho biểu thức: ( ) 2 2 3 3 2 1 x 1 x 1 x B : x x 1 x 1 x 1 x + = + ữ ữ + + Chứng minh B luôn dơng với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B. Câu 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, và E là một điểm bất kỳ trên BC (E khác B và C). Hai đờng thẳng AE và CD cắt nhau tại F. Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại I. 1). Chứng minh dóc AEI = 45 0 . 2). Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 AB AE AF = + 3). Chứng minh diện tích tam giác AEI không nhỏ hơn 2 a 2 44 Câu 1:Cho 4a 2 + b 2 = 5ab với 2a > b > 0. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 ab P 4a b = 44 Câu 2:Giải và biện luận phơng trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x. Câu 3: Trong một cuộc đua ôtô có 3 xe khởi hành cùng một lúc. Xe thứ hai trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km nên đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và đến sớm hơn xe thứ ba 3 phút. Tính vận tốc mỗi xe, quãng đờng đua va thời gian chạy của mỗi xe. Câu 4 Cho góc nhọn xAy. Tìm tập hợp các điểm M có tổng các khoảng cách đến hai cạnh Ax và Ay bằng một số cho trớc. 45 Câu 1: Giải phơng trình:1). (x + 2)(x + 3) 2 (x + 4) = 12. 2). 2x 1 3 x 1 2x 6 + = + Câu 2:1). Cho đa thức : P(x) = ax 2 + bx + c.Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000. 2).Cho ba số a, b, c thoả mãn : 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Tính ( ) ( ) ( ) 25 25 3 3 2000 2000 a b b c c a+ + Câu 3: Cho tam giác ABC (Â < 90 0 ). Dựng ra bên ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG. Dựng hình bình hành AEIG. Chứng minh: 1) ABC GIA = và CI = BF. 2) Ba đờng thẳng AI, BF, CD đồng qui. Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x 2 + 2y 2 + 4xy 2x + 4y + 2005 46 Câu 3: Giải phơng trình: 1). x 2 + 8x 20. 2). x 2 x 1 3 x 2 4 + = 47 Câu 1: Giải phơng trình: x 3 + x 2 + 4 = 0 [...]... 48 49 Câu 2: Cho x,y 0 và x + y 0 Chứng minh: x 5 + y 5 x 4 y + xy 4 Câu 3: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AB Trên cạnh AC lấy điểm E sao c 2EC Gọi O là giao điểm của CD và BE Chứng minh rằng: 1) Hai tam giác BOC và AOC có diện tích bằng nhau 2) BO = 3.EO Câu 1: Giải phơng trình: x 2 3x + 2 + x 1 = 0 Câu 2: Xác định các giá trị của x, y để có đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y... Ax tạo với tia AB một góc BAx = 15 3 3 4 cạnh BC tại M, cắt đờng thẳng CD tại N Chứng minh rằng: + = AM 2 AN 2 AB 2 58 59 60 61 62 63 63 64 x+2 1 2 =0 x2 x x(x 2) 4x + 7 2) Giải bất phơng trình: y > 0 và x2 + 3y2 = 4xy Tính: A = 2x + 5y x 2y 2) Cho a, b, c, d thoả mãn: a + b = c + d và a2 + b2 = c2 + d2 Chứng minh rằng: a2002 + b2002 =... các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H C/M: 1) Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC 2) H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác FED Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1 2 1 1) x3 5x2 + 8x 4 2) 3x 2 y 2 + y 3 3 3 Câu 2: Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y 4z - 14 2 3 x + 2 6x 2 3x x +1 Câu 3: Cho biểu thức: A = 2 + ữ: 2 + 3 2+x 3 x 1 x + 1 x x 1 x + 2x... điểm P và Q theo thứ tự BP = BQ Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ B xuống CP C/M: số đo góc DHQ = 90 3 Câu 1:Giải phơng trình: 2x 2 x + = 4 2x 1 2 2 Câu 2:Cho các biểu thức: A = x + 2x + 1 và B = 2x 8x + 10 x 2 4x + 5 x3 x 2 5x 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tơng ứng của x b) Tìm giá trị của x để A.B < 0 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng cao AH và đờng phân giác BD cắt nhau... vuông góc với BC tại K Tứ giác ADKI là hình gì? chứng minh? Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AD là đờng phân giác.C/M rằng: AD2 < A 3 3 Câu 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = 4x 6x + 8x có giá trị nguyên 2x 1 Câu 2: Tìm giá trị của a, b để biểu thức B = a2 4ab + 5b2 2b + 5 đạt giá trị nhỏ nh 3x 1 2x + 5 4 Câu 3: Giải phơng trình: + 2 =2 x 1 x + 3 x + 2x 3 Câu 4: Trên quãng đờng... + 4x 6y 2) x2 x 2001.2002 Câu 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 C/M: a3 + a2c abc + b2c + b3 = 2 Câu 3: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức A = x + 4x + 4 với x = 2002 3 2 x + 2x 4x 8 Câu 4:Cho tứ giác ABCD Gọi E, F là trung điểm của AD và BC 1) Tìm điều kiện của tứ giác để 2EF = AB + CD 2) Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DF, EB, FA và EC Chứng minh tứ giác MNPQ là hình... Dựng M là điểm sao cho O là trung điểm của AM 1) Chứng minh tứ giác IOMB là hình thang vuông 2) Gọi K là trung điểm của OM Chứng minh tam giác IKB cân Chứng minh tứ giác AIKC có tổng các góc đối bằng 180 0 Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn Kẻ ba đờng cao AD, BE và CF 1) Chứng minh: Góc FEA = góc ABC 2) Chứng minh EB là phân giác của góc F Câu 1: Giải phơng trình: x 1 + x 5 = 4 (x 1)(x 3) 1 2 x + 2x + . NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác MNPQ. 18 Câu 1: Rút gọn biểu thức: A = 75(4 1993 + + 4 2 + 5) + 25. Câu 2: Tìm các số nguyên dơng n để: n 1 988 + n 1 987 + 1 là số nguyên tố. Câu 3:Cho tam. = + + + + ữ ữ Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 1 985 1 986 . Hỏi tổng của haio số đó có phải là bội của 1 986 hay không? Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200. 1:1). Chứng minh rằng: 83 51 634 + 82 41 142 chia hết cho 26. 2). Chứng minh rằng A là số chính phơng, biết rằng A có dạng: { 999 so 6 19 98 so 1 1000 so 1 A 11 1 11 1 66 6 8 = + + + 1442443