Ôn tập HH (hay - công phu)

Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú Tổng kết về hình phẳng I)Tam giác - Các trờng hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác 1) Trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thờng Tam giác ABC có các góc A;B;C các cạnh đối diện tơng ứng a;b;c.Chu vi 2p.Diện tích S Tính chất: 2 tam giác bằng nhau thì các yếu tố tơng ứng bằng nhau. 2 tam giác đồng dạng thì : - Tỷ số giữa các yếu tố( không kể góc; và diện tích) tơng ứng bằng nhau và bằng tỷ số đồng dạng. - Tỷ số diện tích bằng bình phơng tỷ số đồng dạng. *Chú ý rằng : 2 tam giác đồng dạng nếu có 1 yếu tố về độ dài tơng ứng bằng nhau thì bằng nhau. 2) Trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông. Do 2 tam giác vuông có góc vuông tơng ứng bằng nhau nên có sự đặc biệt so với tam giác thờng: +) 2 cạnh góc vuông bằng nhau( tỷ lệ ). +) 1 góc nhọn tơng ứng bằng nhau và 1 cạnh góc vuông bằng nhau (tỷ lệ). +) 1 cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng nhau (tỷ lệ ). 3)Định lý TA- LET: +) Những đờng thẳng song song định ra trên 2 cát tuyến những đoạn thẳng tỷ lệ. +) Trong tam giác 1 đờng thẳng song song với cạnh đáy khi và chỉ khi nó định ra trên 2 cạnh kia những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ. +)Trong tam giác đờng thẳng song song với một cạnh thì tạo với 2 cạnh kia 1 tam giác đồng dạng với tam giác đã cho ban đầu. 4) Các yếu tố cơ bản trong tam giác: 1- 3 đờng trung tuyến đồng quy tại 1 điểm: trọng tâm G cách đỉnh bằng 2/3 mỗi đờng. + Mỗi đờng trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. 2- 3 đờng cao đồng quy tại 1 điểm : trực tâm H. Chú ý rằng: nếu đối xứng H qua 1 cạnh của tam giác đợc điểm H nằm trên đt` ngoại tiếp tam giác đó. 3- 3 đờng trung trực đồng quy tại 1 điểm: tâm O đt` ngoại tiếp - Còn gọi là tâm của tam giác. 4- 3 đờng phân giác trong đồng quy tại 1 điểm: tâm I đt` nội tiếp tam giác. Chú ý rằng: Mỗi đờng phân giác chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với hai cạnh bên tơng ứng. II)Các hệ thức trong tam giác Tam giác ABC; Các góc A;B;C; Các cạnh đối diện tơng ứng a;b;c Các đờng cao tơng ứng: cba hhh ;; Các đờng trung tuyến tơng ứng : cba mmm ;; Các đờng phân giác tơng ứng : cba lll ;; Bán kính nội; ngoại tiếp; bàng tiếp : r ; R; cba rrr ;; Chu vi: 2P, Diện tích: S 1) Định lý cosin: bc acb AAbccba 2 coscos.2 222 222 + =+= . 2) Định lý sin: ARaR C c B b A a sin22 sinsinsin ==== . 3) Định lý về đờng trung tuyến: 2222 222 2 )(24 42 acbm acb m aa += + = . 4) Các công thức về diện tích: cba chbhahS 2 1 2 1 2 1 === AbcBacCab sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 === R abc 4 = pr= ))()(( 2 1 cpbpapp = **)Ngoài ra đối với véc tơ và tọa độ; ta còn có công thức (đợc áp dụng). 1 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú 222 ).( 2 1 ACABACABS ABC = 5) Hệ thức trong tam giác vuông: 0 90=A 2 22 2 ''. a cb cbh a == ; 22 2 111 cb h a += ; '.;'. 22 cacbab == ; 222 cba += ; gCcctgBCaBab cot.cossin. ==== 6) Tam giác cân Có một trục đối xứng là đờng cao - trung tuyến- phân giác - trung trực thuộc cạnh đáy. Hai đờng phân giác góc trong của 2 đáy bằng nhau. 7) Tam giác đều cạnh a Có các đờng trùng nhau.Tâm nội ngoại tiếp trùng nhau. Độ dài đờng cao bằng 2 3a và diện tích bằng 4 3 2 a S = II)Tứ giác - Các tứ giác đặc biệt 1) Tứ giác lồi: Diện tích bằng nửa tích 2 đờng chéo với sin của góc giữa 2 đờng chéo. Do đó: Diện tích Tứ giác có 2 đờng chéo vuông góc bằng nửa tích 2 đờng chéo. 2) Hình thang- thang cân - thang vuông. 3) Hình bình hành: Điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành +) 2 cặp cạnh đối diện song. +) 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. +) 2 cặp góc đối diện bằng nhau. +) 2 góc kề nhau bất kỳ bù nhau. +) 2 đờng chéo cắt nhau ở trung điểm mỗi đờng. 4) Hình chữ nhật: Là hình bình hành có 2 đờng chéo bằng nhau 5) Hình thoi : Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi: - Hình bình hành có 2 đờng chéo vuông góc với nhau. - Có 2 đờng chéo là phân giác của 2 góc đối nhau đó. - Có 4 cạnh bằng nhau. 6) Hình vuông: - Là hình thoi có 1 góc vuông . - Là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. - Là hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc. III)Đờng tròn - hệ thức trong đờng tròn 1) Đờng tròn: +) Bán kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung thành 2 phần bằng nhau. +) Bán kính đi qua trung điểm của dây( không phải là đờng kính) thì vuông góc với dây cung đó. +) Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn. Góc nội tiếp chắn nửa đt` bằng 1 vuông và ng ợc lại 1 điểm M nhìn đờng kính dới 1 góc vuông thì nằm trên đt` với đờng kính đó. 2) Vị trí tơng đối của đờng thẳng với đt` Xét đờng thẳng a và đt` C(O; R): d(a; C) = k +) k > R : a và C không có điểm chung. +) k = R : a và C tiếp xúc nhau tại tiếp điểm T. Gọi a là tiếp tuyến của C. +) k < R : a cắt C tại 2 điểm phân biệt . a gọi là cát tuyến của C. 3) Vị trí tơng đối của 2 đt`: );( 111 ROC và );( 222 ROC 4) 2 đt` luôn là ảnh của nhau qua phép vị tự - Tâm vị tự trong ; ngoài 5) Tiếp tuyến của đờng tròn - Tiếp tuyến chung của 2 đờng tròn. 6) Hệ thức lợng trong đt`- Phơng tích của 1 điểm đối với đt`. C(O;R) ; Qua điểm M kẻ cát tuyến MAB với đờng tròn, khi đó: 22 )/( . ROMMBMAP OM == . Chùm bài tập về hình học phẳng nhằm củng cố nâng cao và phát triển t duy. Nội dung bài tập gồm các dạng: + Chứng minh các hệ thức về độ dài, về góc, về diện tích + Chứng minh song song, vuông góc, đồng quy, thẳng hàng. 2 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú + Chứng minh các tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp, các điểm đặc biệt trong tam giác, Bài tập : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đờng cao. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC, AC, AB của tam giác; h là độ dài của AH. Ta có chùm bài tập sau: Bài 1: Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm là I và bán kính r. Chứng minh rằng: 2 b c a r + = Bài 2: Gọi r 1 , r 2 là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Chứng minh: a) = = 2 1 a b c r r r ; b) 2 2 2 1 2 r r r= + ; c) ar = cr 1 + br 2 ; d) r + r 1 + r 2 = h. Bài 3: Gọi p, p 1 , p 2 lần lợt là chu vi các tam giác ABC, HAB, HAC. Chứng minh: 2 2 1 2 p p p= + . Bài 4: Gọi AD là phân giác của tam giác ABC. Chứng minh: 1 1 2 AB AC AD + = . Bài 5: Gọi AP và AQ là phân giác của góc BAH và CAH. Chứng minh: BA = BQ, CA = CP và PAQ = 45 0 . Bài 6: Gọi R và S là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Chứng minh I là trực tâm của tam giác ARS và là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Bài 7: Gọi E và F là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp. Bài 8: Chứng minh AB . AE = AC . AF Bài 9: Chứng minh 3 EB tg C FC = hay 3 AB EB AC FC = ữ . Bài 10: Chứng minh AH 3 = BC. EB. FC Bài 11: Chứng minh: BC 2 = 3AH 2 + BE 2 + FC 2 Bài 12: Gọi L là giao điểm của BF và CE. So sánh diện tích tứ giác AELF và diện tích tam giác BLC. Bài 13: Từ E và F vẽ các đờng vuông góc với EF cắt BC theo thứ tự tại T và X. Chứng minh: TB = TH; XC = XH. Bài 14: chứng minh diện tích tứ giác EFXT bằng nửa diện tích tam giác ABC. Bài 15: Hạ II 1 vuông góc với BC. Chứng minh I 1 R // AC; I 1 S // AB. Bài 16: Chứng minh PS // BI; QR // CI. Bài 17: Chứng minh các tam giác BIC, BRA, ASC đồng dạng với nhau. Bài 18: Chứng minh H, I 1 thuộc đờng tròn đờng kính RS. Bài 19: Chứng minh SI 1 = RI 1 . Bài 20: Gọi U và V là giao điểm của RS với AB và AC. Chứng minh: AU = AV. Bài 21: Chứng minh 5 điểm Q, S, I, R, P thuộc đờng tròn (I 1 , r). Bài 22: Gọi k là giao điểm của RQ và PS. Chứng minh K là trực tâm của tam giác APQ. Bài 23: Chứng minh RI = KS = SQ; PR = RK = IS. Bài 24: Chứng minh AI = RS. Bài 25: Chứng minh các tứ giác BRSC, BAIP, ACIQ là các tứ giác nội tiếp. Bài 26: Chứng minh S ABC = BI 1 . CI 1 . Bài 27: Gọi R 1 , S 1 là chân đờng vuông góc hạ từ R và S xuống BC. Chứng minh các tam giác HSR, RR 1 I 1 , S 1 SI 1 và tam giác ABC là các tam giác đồng dạng. Bài 28: Chứng minh trung điểm của RS là tâm đờng trong ơle của tam giác ABC. Bài 29: Chứng minh đờng tròn nội tiếp tam giác BRA và đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc nhau tại A và AI làm tiếp tuyến chung. Bài 30: Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tiếp tuyến qua A cắt các tiếp tuyến qua B và C của (O) tại M và N. Chứng minh MON là góc vuông. Bài 31: Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính MN. Gọi G là giao điểm của BN và CM. Chứng minh AG // CN. Bài 32: Chứng minh AG . MN = BM . CN. 3 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú Bài 33: Vẽ các phân giác HY và HZ của tam giác AHB và AHC. Chứng minh A. Y, H, D, Z cùng thuộc một đờng tròn. Bài 34: Chứng minh 4 điểm A, Y, D, Z là 4 đỉnh của một hình vuông. Bài 35: Hạ DC 1 và DB 1 theo thứ tự vuông góc với AB, AC. Chứng minh các đờng thẳng AH, BB 1 , CC 1 đồng quy tại một điểm. H ớng dẫn: 1) Các cạnh của tam giác ABC là các tiếp tuyến của đờng tròn tâm I, áp dụng tính chất của các tiếp tuyến cắt nhau ta sẽ suy ra điều phải chứng minh. + Gọi I 1 và I 2 , I 3 là các tiếp điểm của đờng tròn (I) với các cạnh AB, AC và BC. Ta có r = II 1 = II 2 = II 3 , 2r = II 1 + II 2 = AB - BI 1 + AC - CI 2 = AB + AC - (BI 1 + CI 2 ) = AB + AC - (BI 3 + CI 3 ) = b + c - a. 2) Dựa vào các tam giác vuông đồng dạng và bài 1. + 2 1 a b c r r r = = . có: ABC HBA 1 BC AB AC AB AC BC c b a r BA HB HC HB HC BA HB HC c r + + = = = = = + + . 1 1 a r a c c r r r = = . Tơng tự, ABC HAC 2 BC AB AC AB AC BC r AC HA HC HA HC AC r + = = = = + 2 2 a r a b b r r r = = . 3) Dựa vào các tam giác đồng dạng ABC HBA HAC, lập dãy tỉ số bằng nhau, bình phơng lên sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Pitago trong tam giác vuông sẽ đợc kết quả. 4) Cách 1: Từ D vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AC tại D 1 ta có tam giác ADD 1 vuông cân. suy ra, AD 1 = DD 1 = 2 AD . Có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 DD CD DD AC AD DD DD DD AB CA AB AC AC AB AC = = = + = . Cách 2: Sử dụng phơng pháp diện tích. 5) Chứng minh các tam giác ABQ và CAP cân. + Xét tam giác BAQ có: BAQ = BAD + DAQ = ACQ + CAQ = AQB. 6) Tam giác ABQ cân có BI là đờng phân giác đồng thời là đờng cao RI AS. Tơng tự SI AR. 7) Cách 1: AFE Có AE.AB = AF.AC = AH 2 . 4 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú Hình học không gian: Cần chú ý : *)Tiên đề 2: Nếu 1 đt có 2 điểm phân biệt nằm trên 1 mp thì nó nằm hoàn toàn trong mp đó *)Các kết quả trong hhp không đợc áp dụng đối với các yếu tố không cùng trong một mp *)Các bớc tiến hành trong mặt phẳng nào thì phải chỉ rõ trong mp ấy I) Lý thuyết cơ bản cần nắm vững: 1) Quan hệ song song: - Qua 1 điểm ở ngoài 1 đt chỉ có duy nhất 1 đt song song với đt đã cho. - 2 đt cùng song song với đt thứ 3 thì song song với nhau. - 3 mp phân biệt đôi một cắt nhau thì thì cắt nhau theo 3 giao tuyến song song hoặc đồng quy. - 1 đt song song với 1 đt nằm trong mp thì nó song song với mp ấy. - 1 đt song song với 1 mp thì mọi mp chứa đt mà cắt mp đó thì đều cắt theo 1 giao tuyến song song với đt đã cho. - 2 mp chứa 2 đt cắt nhau cùng song song với 1 mp thì 2 mp đó song song. - 2 mp phân biệt; mỗi mp chứa cặp đt cắt nhau tơng ứng song song thì song song với nhau. - Giao tuyến của các mp song song với 1 mp là những đt song song. 2)Quan hệ vuông góc : - Đờng thẳng vuông góc với mp thì nó vuông góc với mọi đt của mp. 2 đt cắt nhau của mp thì vuông góc với mp. - Qua 1 điểm có duy nhất 1 đt vuông góc với mp cho trớc. 1mp đt - 1 mp chứa đt vuông góc với mp cho trớc thì 2 mp vuông góc với nhau. - 2 mp cùng vuông góc với mp thứ 3 mà cắt nhau thì giao tuyến vuông góc với mp thứ 3 đó. - 2 đt cùng vuông góc với 1 mp thì song song với nhau. - 2 mp 1 đt -1 đt và 1 mp cùng vuông góc với 1 đt(1mp) cho trớc thì mp chứa đt hoặc song song với đt. *)Quan hệ giữa hình chiếu và đờng xiên - Một đờng thẳng vuông góc với hình chiếu thì sẽ vuông góc với đờng xiên. 3) Công thức tính diện tích và thể tích: II)Phơng pháp cơ bản: 1) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Chứng minh 3 điểm nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt. 2) 3 đờng thẳng đồng quy: Chứng minh 2 đờng thẳng cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đt thứ 3. 3)Tìm giao điểm của đờng thẳng và giao tuyến của hai mặt phẳng. Chọn mặt phẳng thích hợp chứa đờng thẳng. Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng. Xác định giao điểm của đờng thẳng và giao tuyến. 4) Dựng mp đi qua 1 đt và song song với 1 mp. 5) Dựng mp đi qua 1 điểm và song song với 1 mp. 6) Dựng mp đi qua 1 điểm và vuông góc với 1đt. 7) Dựng mp đi qua 1 đt và vuông góc với 1 mp. 8) Xác định hình chiếu của 1 điểm trên 1 mp. 9) Xác định hình chiếu của 1 đt trên 1 mp. Góc giữa đt và mp. 10)Xác định đờng vuông góc chung của 2 đt chéo nhau; Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau. 11) Xác định góc giữa 2 mp. 12) Xác định góc phẳng của nhị diện. 5 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú III. Các dạng bài tập 1. Dạng 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đờng thẳng đồng quy. * Phơng pháp - Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. - Muốn chứng minh ba đờng thẳng đồng quy ta chứng minh hai đờng thẳng cắt nhau nằm trên đờng thẳng thứ ba. Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) Chứng minh rằng IJ, MN, và SO đồng quy tại một điểm. Từ đó suy ra cách dựng điểm N khi biết điểm M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh S, E, F thẳng hàng. Bài 2: Cho hình chóp S.ACBD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD và SB. a) Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với mặt phẳng (SAC). b) AD cắt BC tại O, OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng. Bài 3: Cho hình chóp S. ACBD, đáy là hình thang ABCD với AB // CD và AB > CD. Gọi I là trung điểm SC. Mặt phẳng quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lợt tại M và N. a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định. 2. Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song. * Phơng pháp: Muốn chứng minh hai đờng thẳng song song ta có thể áp dụng một trong các cách sau: 1. Chứng minh hai đờng thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các tính chất của hình học phẳng: tính chất đ- ờng trung bình, định lý đảo của định lý Talet, tính chất của đờng phân giác, 2. Chứng minh hai đt' đó cùng song song với đt' thứ 3. 3. áp dụng các định lý về giao tuyến. + Nếu hai mặt phẳng lần lợt chứa hai đờng thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến sẽ song song với hai đờng thẳng đó. + Nếu đờng thẳng d // () thì bất kỳ mp() nào mà chứa d sẽ cắt () theo giao tuyến song song với d. + Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đờng thẳng mà cắt nhau thì giao tuyến sẽ song song với đ- ờng thẳng đó. + Một mặt phẳng nếu cắt hai mặt phẳng song song sẽ cắt theo hai giao tuyến song song. 3. Dạng 3: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: * Phơng pháp: Muốn chứng minh đờng thẳng d song song với một mặt phẳng () ta có thể áp dụng một trong các cách sau: 1. Ta chứng minh d không nằm trong () và d song song với đờng thẳng a nằm trong (). 2. Ta chứng minh d nằm trong mặt phẳng () và ( // (). 4. Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song. Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể áp dụng một trong các cách sau: 1. Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đờng thẳng cắt nhau lần lợt song song với mặt phẳng kia. 2. Chứng minh mỗi mặt phẳng chứa hai đờng thẳng cắt nhau lần lợt song với hai đờng thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia. Bài tập: Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AB, CD. a) Chứng minh MN // mp(SBC) và MN // mp(SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với mặt phẳng (MNP). c) Gọi G 1 , G 2 là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G 1 , G 2 song song với (SBC). Bài 2. 6 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O' lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: a) Điều kiện cần và đủ để OO' song song với mặt phẳng (BCD) là: . BC AB AC BD AB AD + = + b) Điều kiện cần và đủ để OO' song song với hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) là BC = BD và AC = AD. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên SAD là tam giác đều. là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC, cắt CD, SC, SB lần lợt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = AM (0 < x < b). Tính giá trị lớn nhất của diện tích. Tìm tập hợp giao điểm của MQ và NP. Bài 4 (GTHH-11). Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a. là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC, cắt CD, SC, SB lần lợt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = AM (0 < x < b). Tính giá trị lớn nhất của diện tích. c) Tìm tập hợp giao điểm của MQ và NP. Bài 5 (GTHH-11/56). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thanh, đáy lớn AB = 3a, AD = DC = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a. là mặt phẳng di động song song với với (SAB), cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tạ tại M, N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thanh cân. b) Đặt AM = x (0 < x < a). Định x để MNPQ ngoại tiếp đợc một đờng tròn. Tính bán kính đờng tròn đó. c) Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp những điểm I khi M di động trên AD. d) Gọi J là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh IJ có phơng không đổi và J di động trong một mặt phẳng cố định. Bài 6 (GTHH-11/67). Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết: (AB, CD) = 60 0 .(Xem lại để ? (AB, CE) = 60 0 ) a) Tính 2AC 2 - AD 2 . b) là mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ diện MNPQ thoe a và x = BM (0 < x < a). Định x để diện tích ấy lớn nhất. c) Định x để tổng các bình phơng của các đờng chéo của MNPQ là nhỏ nhất. d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Định để OA 2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 nhỏ nhất. Bài 7(GTHH-11/68). Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lợt tại A', B', C'. a) Tình giao điểm D' của SD với . b) Tìm điều kiện của để A'B' // C'D'. c) Với điều kiện nào của thì A'B'C'D' là hình bình hành? Chứng minh rằng khi đó: ' ' ' 'SA SC SB SD SA SC SB SD + = + . d) Tính diện tích A'B'C'D'. Bài 8 (GTHH-11/68). Cho mặt phẳng và hai đờng thẳng chéo nhau d 1 , d 2 cắt tại A, B. () là đờng thẳng thay đổi luôn song song với , cắt d 1 tại M, d 2 tại N. Đờng thẳng qua N và song song với d 1 cắt tại N'. a) Tứ giác AMNN' là hình gì? Tìm tập hợp điểm N'. b) Xác định vị trí của () để MN có độ dài nhỏ nhất. c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là đờng thẳng cố định khi M di động. 7 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp B.AMNN' với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (BMN). 8 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú Quan hệ vuông góc trong không gian A. Một số dạng bài tập về quan hệ vuông góc I. toán chứng minh 1. Dạng 1: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để chứng minh đờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng ta có thể áp dụng một trong các cách sau: * Cách 1. Chứng minh , x a b a c b c * Cách 2. Chứng minh a // b . * Cách 3. Chứng minh a () () và a b = () (). * Cách 3. áp dụng tính chất của trục đờng tròn. 2. Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc. Để chứng minh đt' a đt' b ta có thể áp dụng một trong các cách sau: * Cách 1. Chứng minh a, b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng: tính chất đờng cao, đờng trung trực, đờng trung tuyến trong tam giác cân, tính chất đờng cao trong tam giác vuông, * Cách2. Chứng minh a () b. * Cách 3. Chứng minh a // c trong đó c b. * Cách 4. áp dụng các tính chất của giao tuyến vuông góc. II. Một số bài tập luyện tập Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đờng thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng. c) Chứng minh HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI. Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) BC (OAH); b) H là trực tâm của tam giác ABC. c) 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + . d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a) Chứng minh rằng: SH (ABCD); b) Chứng minh : AC SK và CK SD. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5 . a) Chứng minh: SA (ABCD) và tính SA. 9 Ôn tập HH Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Phú b) Đờng thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đờng thẳng CB, CD lần lợt tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định giao điểm K, L của SD với mặt phẳng(HIJ). Chứng minh rằng : AK (SBC); AL (SCD). c) Tính diện tích tứ giác AKHL. Bài 5 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 2a, BC = CA = AD = a. Gọi d là đờng thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại A, trên d lấy điểm S. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB tại I cắt SC, SD lần lợt tại J và K. a) Chứng minh tứ giác BCIJ và tứ giác AIJK nội tiếp. b) Gọi O là trung điểm AB, O' là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCIJ. Chứng minh OO' vuông góc với mặt phẳng (SBC). c) Tìm điểm cách đều các điểm A, B, C, D, I, J, K và khoảng cách. d Gọi M là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh AM là tiếp tuyếncủa đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. f) Chứng minh khi S chạy trên đờng thẳng d thì IK luôn đi qua điểm cố định. Bài 6. Cho tam giác ABC có các góc nhọn. Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy M thuộc d. Kẻ BK vuông góc với AC, BH vuông góc với MC. KH cắt d tại N. Chứng minh rằng: a) BN vuông góc với CM; BM vuông góc với CN. b) Hãy chỉ ra cách dựng M thuộc d sao cho MN ngắn nhất. Bài 7. Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Lấy M thuộc AB, C'D' cắt mặt phẳng (MA'C) tại N. a) Chứng minh tứ giác A'MCN là hình bình hành. b) Tìm vị trí của M trên AB để A'MCN là hình chữ nhật? Liệu A'MCN có thể là hình vuông đợc không? c) Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ giác A'MCN là nhỏ nhất. 10 [...]... Trần Ôn tập HH Phú aỹ ù ù ị d (O, a ) = OH ý ù ù ỵ + OH ^ Hẻ a + OH ^ aỹ ù ù ị d (O, a ) = OH ý Hẻ a ù ù ỵ O O H H * Phơng pháp dựng một đờng thẳng qua một điểm cho trớc và vuông góc với một mặt phẳng cho trớc * Cách 1: - Dựng mặt phẳng () qua A và vuông góc với () - Xác định giao tuyến a của () và () - Dựng AH a ( H a) A - SH = d(A, ) *) Cách 2: A - Chọn trong mp() một đt a và từ A kẻ AO a; - Qua... tam giác vuông 13 Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Ôn tập HH Phú Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a 3 a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC); b) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông ABCD đến mặt phẳng(SBC); c) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 2 14 Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Ôn tập HH Phú Mặt... vuông với cạnh huyền BC = 2a; AB = a; các mặt bên SBC, SCA, SAB cùng hợp với đáy một góc 600 12 Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Ôn tập HH Phú a) Chứng minh hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đờng tròn nội tiếp của tam giác ABC Tính SH b) Tính số đo nhị diện cạnh SA * Một số bài tập luyện tập Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông, đáy nhỏ AB = a, AD = a, BD vuông... trên Ax, Hy luôn đi qua một điểm cố định c) Hy cắt Ax tại S' Xác định h theo a để SS' ngắn nhất Bài 4 ( 16/ Giải toán HH 11-Tr159) Cho ba tia Ox, Oy và Oz không đồng phẳng và đôi một vuông góc Trên Ox, Oy, Oz lần l ợt lấy các điểm A, B, C sao cho AC = 2OB và BC = 2OA Đặt a = OA a) Tính OB, OC theo a b) Gọi M và N là chân các đờng vuông góc kẻ từ O lần lợt đến AC và BC Chứng minh rằng MN vuông góc với... 5(18/Giải toán HH 11-Tr160) Cho hình chóp O.ABC có OA, OB và OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a Gọi K, H, M lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC và AC; E là điểm đối xứng với O qua K a) Chứng minh BCE và OME là các tam giác vuông và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OCK) b) Gọi I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN) Chứng minh mặt phẳng (OMN) vuông góc với CE và MN vuông góc với... trên cạnh OA, CH là đờng cao của tam giác BCF Tìm tập hợp điểm H Bài 6 (12/Giải toán HH 11 -Tr158) Tứ diện ABCD có AD = a 2 , các cạnh còn lại đều bằng a; DH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H a) Chứng minh rằng ABH và ACH là các tam giác vuông bằng nhau và các mặt phẳng (BCD) và (ADH) vuông góc với nhau b) Tính số đo nhị diện cạnh AD c) Mặt phẳng qua H vuông góc với AD cắt AD, BD và CD lần lợt tại A',... Chọn trong mp() một đt a và từ A kẻ AO a; - Qua O kẻ đờng thẳng b a; a - Từ A kẻ AH b; - AH = d(A, ) * Chú ý: - Nếu có sẵn đờng thẳng thì ta chỉ cần dựng Ax - Nếu AB // thì d(A, ) = d(B,) - Nếu AB cắt tại I thì A B d ( A, a ) IA = d ( B, a ) IB I * Một số bài tập áp dụng Bài 1 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a; DBC là tam giác đều, nhị diện cạnh BC có số đo bằng...Lơng Đức Tuấn Gv THPT Trần Ôn tập HH Phú Dạng 2: Dạng toán tính toán I Góc 1 Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng: A *Đ/N: * Phơng pháp xác định góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (): O Tìm giao điểm O của a và () H Chọn A a và dựng AH () ( H () ã ( a, a ) = ã AOH * Một số bài tập áp dụng Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = a 6 Tính góc giữa:... vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H của AB dựng HS vuông góc với mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 600 a) Tính SH và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD); b) Gọi K là trung điểm của AD Chứng minh CK vuông góc với SD và tính số đo nhị diện (A, SD, C) c) Tính số đo nhị diện (B, SC, K) HD: a) sđ(S, AD, B) = SAB = 600 Sh = a 3 2 b) CM CK HD ( vẽ hình hình vuông... làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax a) Tính AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD) b) Tính khoảng cách giữa AD và BC Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi Ax là đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, trên Ax lấy điểm S, đặt SH = h a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Gọi H là trực tâm tam giác SBC Kẻ Hy vuông góc với . hình thoi: - Hình bình hành có 2 đờng chéo vuông góc với nhau. - Có 2 đờng chéo là phân giác của 2 góc đối nhau đó. - Có 4 cạnh bằng nhau. 6) Hình vuông: - Là hình thoi có 1 góc vuông . - Là hình. và vuông góc với một mặt phẳng cho tr- ớc. * Cách 1: - Dựng mặt phẳng () qua A và vuông góc với (). - Xác định giao tuyến a của () và (). - Dựng AH a ( H a). - SH = d(A, ). *) Cách 2: - Chọn. thì vuông góc với mp. - Qua 1 điểm có duy nhất 1 đt vuông góc với mp cho trớc. 1mp đt - 1 mp chứa đt vuông góc với mp cho trớc thì 2 mp vuông góc với nhau. - 2 mp cùng vuông góc với mp thứ 3