2. Một đội xe có 15 ô tô gồm ba loại : loại 4 bánh chở được 5 tấn , loại 6 bánh chở được 8 tấn và loại 6 bánh chở được 10 tấn .Đội xe đó có thể chở được 117 tấn hàng cùng một lúc .Hỏi mỗi loại ô tô có mấy mấy chiếc, biết rằng đếm được tất cả 84 bánh xe. Giải Giả sử 15 xe đều là xe 6 bánh. Khi đó tổng số bánh xe là: 6 x 15 = 90 (bánh xe) Tổng số bánh xe dôi ra là: 90 – 84 = 6 (bánh xe) Tổng số bánh xe dôi ra vì mỗi chiếc xe 4 bánh được tính thêm. 6 – 4 = 2 (bánh xe) Số xe 4 bánh là: 6 : 2 = 3 (chiếc) Số xe 6 bánh là: 15 – 3 = 12 (chiếc) Số hàng 3 xe 4 bánh chở là: 5 x 3 = 15 (tấn) Số hàng 12 xe 6 bánh chở là: 117 – 15 = 102 (tấn) Giả sử 12 xe đều chở đươc tấn hàng. Khi đó, tổng số tấn hàng chở được là: 10 x 12 = 120 (tấn) Số tấn hàng dôi ra là: 120 – 102 = 18 (tấn) Số tấn hàng dôi ra là do mỗi xe 8 tấn chở thêm: 10 – 8 = 2 (tấn) Số xe chở được 8 tấn là: 18 : 2 = 9 (chiếc) Số xe chở được 10 tấn là: 12 – 9 = 3 (chiếc) Đáp số: 3 chiếc 4 bánh. 9 chiếc xe 6 bánh loại 8 tấn. 3 chiếc xe 6 bánh loại 10 tấn. 3. Chứng minh tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 Giải: Chúng ta gọi dãy ba số tự nhiên liên tiếp tùy ý là: n , n + 1 , n +2 ; n ∈ N . Đặt tích n ( n + 1)(n + 2) = A(n) M 3. Ta xét 3 trường hợp sau: 1) n = 3 q 1 , q 1 ∈ N . Khi đó hiển nhiên có A(n) M 3 2) n = q 2 + 1 , q 2 ∈ N . Ta có n + 2 = 3 q 2 + 3 = 3 ( q 2 + 1 ). Hay n + 2 M 3 .Do đó A(n) M 3 3) n = 3 q 3 + 2 , q 3 ∈ N Lúc này ta có n + 1 = 3 ( q 3 + 1 ). Hay n + 1 M 3 .Do đó A(n) M 3 Từ các chứng minh trên, chúng ta khẳng định được A(n) M 3 , ∀ n ∈ N . 3. Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 555. Giải: Gọi số cần tìm là abc (a # 0 ; a,b,c < 10) Theo đề bài ta có: abc + a + b + c = 555 abc < 555 (1) , do đó < 5 và b < 5 (*) Trong trường hợp nầy tổng a + b + c đạt giá trị lớn nhất là: 5 + 4 + 9 = 18 Nên abc đạt giá trị nhỏ nhất là: 555 – 18 = 537 Do đó abc > 536 (2) Từ (1) và (2) ta có : 536 < abc< 555 Vậy a = 5. Khi đó 5bc + 5 + b + c = 555 500 + bc + 5 +b + c = 555 505 + bb + 2c = 555 bb + 2c = 50 Nếu c đạt giá trị lớn nhất là 9 thì bb đạt giá trị nhỏ nhất là: 50 – 2 x 9 = 32, do đó b > 3 Từ (*) và (**) ta có: 3 < b < 5 Vậy b = 3 hoặc 4 Vì 2 c chẵn và 50 chẵn nên b chẵn . Do đó b = 4. Khi đó: 44 + 2c = 50 2c + 6 c = 3 Vậy số cần tìm là 543. (Thử lại : 543 + 5 + 4 + 3 = 555 (đúng) 4. Chứng minh rằng ∀ n ∈ N , n 3 + 2n M 3 Giải: Ta có n 3 + 2n = (n 3 – n) + 3n = n (n 2 – 1)+ 3n = n (n – 1)(n + 1)+3n Khi n =0 thì n 3 + 2n M 3 Khi n ≠ 0 thì n (n – 1)(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp cho nên nó chia hết cho 3 , còn 3n cũng luôn chia hết cho 3 . Do đó n 3 + 2n M 3 ∀ n ∈ N . 6. Cho a = x195y có các chữ số khác nhau. Tìm tất cả những chữ số x , y để thay vào ta được số a đồng thời chia hết cho 3 và 4. Giải: Số a chia hết cho 4 thì 5y chia hết cho 4 . Vậy y = 2 hoặc y = 6 + Thay y = 2 ta có a =x1952 .Số x1952 chia hết cho 3 nên x = 1 ; 4 hoặc 7 .Vì a có các chữ số khác nên x = 4 hoặc 7 .Ta được số 41952 và 71952 thỏa mãn điều kiện của đề bài + Thay y = 6 ta có a =x1956 .Số x1956 chia hết cho 3 nên x = 3 ; 6 hoặc 9 .Vì a có các chữ số khác nên x = 3 .Ta được số 31956 thỏa mãn điều kiện của đề bài. Vậy các số cần tìm là :41952 , 71952 và 31956. 5. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = 30 cm, AC = 40 cm, BC = 50 cm .Một đường thẳng song song với cạnh BC và cách cạnh BC một đoạn bằng 3 cm, cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh Ac tại N. a. Tứ giác MNCB là hình gì ? b. Tìm diện tích tứ giác MNCB. A Giải: M B C 50cm H a. Vì MN song song với BC nên tứ giác MNCB là hình thang. b. Ta có : AB x AC 30 x 40 S ABC = = = 600 (cm 2 ) 2 2 BC x NH 50 x 3 S MBC = S NBC = = = 75 (cm 2 ) 2 2 Hai tam giác MBC và ABC có chung ch iều cao hạ từ C , nên : MB S MBC 75 1 = = = AB S ABC 600 8 1 1 Vậy MB = AB x = 30 x = 3, 75 (cm) 8 8 Suy ra AM = AB – MB = 30 – 3 ,75 = 26, 25 (cm) Tương tự ta có : NC S NBC 75 1 = = = AC S ABC 600 8 1 1 Hay NC = AC x = 40 x = 5 (cm) 8 8 Suy ra AN = AC – NC = 40 – 5 = 35 (cm) AM x AN 26, 25 x 35 Vậy S NBC = = = 459, 375 (cm 2 ) 2 2 Suy ra S MNCB = 600 – 459 , 375 = 140, 625 (cm 2 ) Đáp số : 140, 625 cm 2 6. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD = 12 cm, đáy nhỏ BC = 3 cm, chiều cao là 6 cm. Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại O . Tính diện tích các tam giác BAO ,COD , OAD ,và BOC. Giải: B 3 cm C HH 6cm A D 12 x 6 Ta có: S BAD = = 36 (cm 2 ) 2 3 x 6 S BDC = S BAC = = 9 (cm 2 ) 2 Vậy S BAD = 4. S BDC (1) Hai tam giác BAD và BDC có chung đáy BD nên từ (1) ta có chiều cao AH = 4. CK (2) Hai tam giác BAO và BOC có chung đáy BO nên từ (2) ta có: S BAO = 4. S BOC Mặt khác: 3 x 6 S BAO + S BOC = S BAC = = 9 (cm 2 ) 2 Ta có sơ đồ : Diện tích tam giác BOC : 9 (cm 2 ) Diện tích tam giác BAO : Tổng số phần bằng nhau: 4 + 1 = 5 (phần) Diện tích tam giác BOC là: 9 : 5 = 1, 8 (cm 2 ) Diện tích tam giác BAO là: 1,8 x4 = 7, 2 (cm 2 ) Từ đây suy ra : S COD = S BDC – S BOC = S BAC – S BOC = 9 – 1,8 = 7, 2 (cm 2 ) Và S OAD = S BAD – S BAO = 36 – 7, 2 = 28, 8 (cm 2 ) Đáp số : S BAO = S COD = 7,2 cm 2 S OAD = 28 ,8 cm 2 S BOC = 1, 8 cm 2 O H K 12cm 30 cm 40cm M N 8. Hiện nay tuổi bố cộng tuổi con bằng 64 tuổi ,tuổi con bằng 1 / 3 tuổi bố. Hỏi : a. Mấy năm trước tuổi bố gấp 9 lần tuổi tuổi con ? b . Mấy năm nữa tuổi bố gấp 5 lần tuổi con ? Giải: Hiện nay ta có sơ đồ: Tuổi bố: 64 tuổi Tuổi con: Tổng số phần bằng nhau: 1 + 7 = 8 (phần) Hiện nay tuổi con là: 64 : 8 = 8 (tuổi) Hiện nay tuổi bố là: 8 x 7 = 56 (tuổi) Tuổi bố hơn tuổi con là: 56 – 8 = 48 (tuổi) a. Khi tuổi bố gấp 9 lần tuổi con ta có sơ đồ : Tuổi bố : Tuổi con: Hiệu số phần bằng nhau: 48 tuổi 9 – 1 = 8 (phần) Tuổi con lúc đó là: 48 : 8 = 6 (tuổi) Khi tuổi bố gấp 9 lần tuổi con cách nay: 8 – 6 = 2 ( năm) b. Khi tuổi bố gấp 5 lần tuổi con ta có sơ đồ : Tuổi bố : Tuổi con: Hiệu số phần bằng nhau: 48 tuổi 5 – 1 = 4 (phần) Khi đó tuổi con là: 48 : 4 = 12 (tuổi) Để tuổi bố gấp 5 lần tuổi con cần thêm thời gian là: 12 – 8 = 4 (năm) Đáp số: a. 2 năm b. 4 năm 9. Thay x , y trong số 2004xy bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2, 5 và 9. Giải: Số 2004xy đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên y = 0 .Thay y = 0 vào số 2004xy ta được số 2004x0 Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9 Vậy 2 + 0 + 0 + 4 +x + 0 chia hết cho 9 hay 6 + x chia hết cho 9 Vì 6 chia 9 dư 6 nên x chỉ có thể là 3 .Thay x = 3 vào số 2004x0 ta được số 200430 thỏa mản đề bài đã cho. 9. Lúc 5 giờ 30 phút ,một người khởi hành từ tỉnh A bằng xe máy với vận tốc 40 km/giờ và đến tỉnh B lúc 8giờ 15 phút ,người đó nghỉ lại tỉnh B 30 phút rồi quay về tỉnh A với vận tốc cũ. Lúc 7 giờ 45 phút một người khác đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng xe đạp với vận tốc 10km/giờ.Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ và chỗ gặp nhau cách tỉnh B bao nhiêu km? Giải: Thời gian người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B là: 8 giờ 15 phút – 5 giờ 30 phút = 2 giờ 45 phút = 2, 75 giờ Quãng đường AB là 40 x 2, 75 = 110 (km) Người đi xe máy rời tỉnh B lúc: 8 giờ 15 phút + 30 phút = 8 giờ 45 phút Thời gian người đi xe đạp đi từ 7 giờ 45 phút đến 8 giờ 45 phút là: 8 giờ 45 phút – 7 giờ 45 phút = 1 giờ Đến 8 giờ 45 phút người đi xe đạp đã đi được 10 km Lúc 8 giờ 45 phút hai người cách nhau: 110 – 10 = 100 (km) Thời gian từ 8 giờ 45 phút đến lúc hai người gặp nhau là: 100 : ( 40 + 10 ) = 2 (giờ) Hai người gặp nhau lúc: 8 giờ 45 phút + 2 giờ = 10 giờ 45 phút Chỗ hai người gặp nhau cách tỉnh B là: 40 x 2 = 80 (km) Đáp số : a. 10 giờ 45 phút. b. 80 km. 2. Chứng minh rằng: 1 1 1 n + + … + = , với mọi n > 2 1 x 2 2 x 3 n x ( n + 1) n + 1 Giải Với n = 2 ta có: 1 1 2 + = 1 x 2 2 x 3 3 Vậy công thức trên đúng với n = 2. Giả sử công thức trên đúng với n = k ≥ 2 , tức là: 1 1 1 n + + … + = , với k > 2 1 x 2 2 x 3 k x ( k + 1) k + 1 Ta có: 1 1 1 + + … + 1 x 2 2 x 3 (k+1) ( k+2) 1 1 1 1 =[ + + … + ] + 1 x 2 2 x 3 k x ( k + 1) (k + 1)(k + 2) k 1 k x (k +2) +1 k + 1 = + = = K + 1 (k +1)(k +2) (k + 1) x ( k + 2) k + 2 Vậy công thức trên đúng với n = k + 1 Từ đó suy ra công thức trên đúng với mọi n ≥ 2 12. Tính nhanh tổng sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Giải 1 1 Nhận xét : = 1 – 2 2 1 1 1 + = 1 – 2 4 4 1 1 1 1 1 1 + + = 1 + = 1 – 2 4 8 4 8 8 1 1 1 1 1 1 1 + + + = 1 – + = 1 2 4 8 16 8 16 16 v.v … Vậy tổng phải tìm là : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 1 1023 = 1 – = 1024 1024 1023 Đáp số: 1024 20. Trong giải vô địch bóng đá thế giới , bảng B có 5 đội thi đấu vòng tròn một lượt tính điểm. Trong mỗi trận đấu : đội thắng được 3 điểm ,đội thua được 0 điểm ,nếu hòa thì mỗi đội được 1 điểm . Hãy tính xem một đội bóng thắng mấy trận , hòa mấy trận , thua mấy trận , nếu : a. Đội đó được 7 điểm b. Đội đó được 8 điểm c. Đội đó được 11 điểm Giải: Vì có 5 đội ,nên mỗi đội phải đấu 4 trận a) Nếu thắng cả 4 trận thì đội đó được: 3 x 4 = 12 (điểm) Cứ 1 trận thua thì đội đó bị trừ 3 điểm Còn 1 trận hòa thì đội đó bị trừ 2 điểm Đội đó bị trừ: 12 – 7 = 5 (điểm) Vậy đội đó thua 1 trận và hòa 1 trận .Suy ra đội đó thắng 2 trận. b) Đội đó bị trừ : 12 – 8 = 4 (điểm) Vì 2 = 2 + 2 nên đội đó hòa 2 trận và thắng : 4 – 2 = 2 (trận) c) Đội đó chỉ mất: 12 – 11 = 1 (điểm) Điều này không thể xảy ra được. Đáp số: a) 2 thắng , 1 hòa , 1 thua b) 2 thắng , 2 hòa ; c) Không thể xảy ra đội đó được 11 điểm. 26. Tính diện tích phần có gạch chéo ở hình vẽ bên . Biết cạnh của hình vuông là 4 m , đường kính của hình tròn là 2 m , tâm của hình tròn nằm ở chính giữa hình vuông. Giải: Diện tích hình vuông: 4 x 4 = 16 (m 2 ) Diện tích hình tròn: 1 x 1 x 3,14 = 3,14 (m 2 ) Chiều cao mỗi tam giác trong hình vẽ là: (4 – 2 ) : 2 = 1 (m) Diện tích của 4 hình tam giác đó là: 4 x 1 X 4 = 8 (m 2 ) 2 Diện tích toàn phần gạch chéo là: 16 – ( 8 + 3, 14 ) = 4, 86 (m 2 ) Đáp số: 4, 86 (m 2 ) . ( k + 1) k + 1 Ta có: 1 1 1 + + … + 1 x 2 2 x 3 (k+1) ( k+2) 1 1 1 1 =[ + + … + ] + 1 x 2 2 x 3 k x ( k + 1) (k + 1)(k + 2) k 1 k x (k +2) +1 k + 1 = + = = K + 1 (k +1)(k +2) (k. 555 ( úng) 4. Chứng minh rằng ∀ n ∈ N , n 3 + 2n M 3 Giải: Ta có n 3 + 2n = (n 3 – n) + 3n = n (n 2 – 1)+ 3n = n (n – 1)(n + 1)+3n Khi n =0 thì n 3 + 2n M 3 Khi n ≠ 0 thì n (n. có: S BAD = = 36 (cm 2 ) 2 3 x 6 S BDC = S BAC = = 9 (cm 2 ) 2 Vậy S BAD = 4. S BDC (1 ) Hai tam giác BAD và BDC có chung đáy BD nên từ (1 ) ta có chiều cao AH = 4. CK (2 ) Hai tam giác