9 4 2 2 4 2 0 3 . THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= TRƯ NG ðHSP HÀ N I ð THI TH ð I H C L N III NĂM 2010 TRƯ NG THPT CHUYÊN – ðHSP _______________ Môn thi: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát ñ ========================================== Ngày thi: 28 – 3 – 2010 Câu 1. ( 2,0 ñi m). Cho hàm s y = x + 2m x + 1 (1). 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s khi m = 1. 2. Ch ng minh r ng ñư ng th ng y = x + 1 luôn c t ñ th hàm s (1) t i hai ñi m phân bi t v i m i giá tr c a m. Câu 2. ( 2,0 ñi m) 1. Gi i phương trình: 2sin2(x - ) = 2sin2x - tanx. 2. Gi i phương trình: 2 log3 (x – 4) + 3 log 3 ( x 2) 2 - log3 (x – 2)2 = 4. Câu 3. ( 2,0 ñi m) 1. Tính tích phân: I= 3 ∫ cos x sin x 3 sin 2 x dx . 2. Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n AB = 2a. Trên ñư ng th ng d ñi qua A và vuông góc m t ph ng (ABC) l y ñi m S sao cho mp( SBC) t o v i mp(ABC) m t góc b ng 600. Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC. Câu 4. ( 2,0 ñi m) x 3 4 y y 16x 1. Gi i h phương trình: 1 y 2 5(1 x 2 ) 2. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : f(x) = x 4− 4 x 3 8x 2− 8x 5 x 2− 2 x 2 Câu 5. ( 2,0 ñi m) 1. Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(0;1;3) và ñư ng th ng x 1 − t d: y 2 2 t z 3 Hãy t m trên ñư ng th ng d các ñi m B và C sao cho tam giác ABC ñ u. 2. Trong m t ph ng Oxy cho elíp (E) có tiêu ñi m th nh t là ( - 3 ; 0) và ñi qua ñi m M ( 1; 4 33 5 ). Hãy xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a (E). H t D ki n thi th l n sau vào các ngày 17,18 tháng 4 năm 2010. ============================================== 10 3 2 x + 2m x − 1 = 0(*) 2 2 (1) tan x = − 1 2 ⇔ ⇔ (2). ⇔ ⇔ 0 THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= HƯ NG D N GI I BÀI THI L N 3 Câu 1. 1. T làm. 2. Xét phương trình hoành ñ giao ñi m: x4 +2m2x2 +1 = x + 1 x⇔ 4 + 2m2x2 – x = 0⇔ x 0 x( x3 + 2m2x – 1) = 0 ⇔ 3 2 ð t g(x) = x + 2m x – 1 ; Ta có: g’(x) = 3x + 2m≥ 0 (v i m i x và m i m ) Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr⇒ c a m. M t khác g(0) = -1≠ 0. Do ñó phương trình (*) có nghi m duy nh t khác 0. V y ñư ng th ng y = x+ 1 luôn c t ñ th hàm s (1) t i hai ñi m phân bi t v i m i giá tr c a m. Câu 2. 1. Gi i phương trình: 2 sin2 ( x - ) = 2sin2x – tanx 4 ði u ki n: cosx≠ 0 x≠ ⇔ k. (*). 2 (1) 1 – cos (2x -⇔ sin 2 x 1 ) = 2sin2x – tan x 1 – sin2x = tanx ( sin 2x – 1) ⇔ ⇔ 2x 2 k.2 x − l. 4 x 4 k. x − l. 4 x = ⇔ k. . ( Th a mãn ñi u ki n (*) ). 4 2 2. Gi i phương trình: 2log3 (x2 – 4) + 3 log 3 ( x 2) 2 - log3 ( x -2)2 = 4 x 2 − 4 0 ði u ki n: log 3 ( x 2) 2≥ 0 x 2 − 4 0 ⇔ ( x 2) 2≥ x 2 x≤−3 (**) Pt (2) ñư c bi n ñ i thành: log3 (x2 – 4)2 – log3 (x – 2)2 + 3 log 3 ( x 2) 2 - 4 = 0 log⇔ 3 ( x + 2)2 + 3 log 3 ( x 2) 2 - 4 = 0 ( log⇔ 3 ( x 2) 2 + 4) ( log 3 ( x 2) 2 - 1) = 0. log 3 ( x 2) 2 = 1 (x+2)⇔ 2 = 3 x+ 2 = 3 x = - 2 3 .⇔ ⇔ Ki m tra ñi u ki n (**) ch có x = - 2 - 3 th a mãn. V y phương trình có nghi m duy nh t là : x = - 2 - 3 . Chú ý: 1/ Bi n ñ i : 2log3 ( x2 – 4) = log3 (x2 – 4)2 làm m r ng t p xác ñ nh nên xu t hi n nghi m ngo i lai x = -2 + 3 . 2/ N u bi n ñ i: log3( x – 2)2 = 2log3 ( x – 2) ho c log3( x+2)2 = 2log3(x+2) s làm thu h p t p xác ñ nh d n ñ n m t nghi m ( L i ph bi n c a h c sinh!) Câu 3. 1. Tính tích phân: I = 3 ∫ cos x sin x 3 sin 2 x .dx ð tt= 3 sin 2 x = 4− cos 2 x . Ta có: cos2x = 4 – t2 và dt = sin x cos x 3 sin 2 x dx . ð i c n: V i: x = 0 thì t = 3 ; x = 3 thì t = 15 2 ============================================== ============================================= 15 15 I= 3 ∫ cos x sin x 3 sin 2 x .dx = 3 ∫ cos sin x. cos x x 3 sin 2 x dx = 2 ∫ 3 dt 4− t = 1 4 2 ∫ 3 − t 2 t− 2 )dt = = 1 t 2 ln 4 t− 2 15 2 3 = 1 4 (ln 15 4 15− 4 − ln 3 2 3− 2 ) = (ln( 15 4)− ln( 3 2)) . 2 2. Ta có SA mp(ABC) SA AB ; SA AC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Tam giác ABC vuông cân c nh huy n AB BC AC BC SC ( ð nh lý 3 ñư ng⇒ ⊥ ⇒ ⊥ vuông góc) . Hai ñi m A,C cùng nhìn ño n SB dư i góc vuông nên m t c u ñư ng kính SB ñi qua A,C. V y m t c u ngo i ti p t di n SABC cũng chính là m t c u ñư ng kính SB. Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2 ; 60∠ 0 là góc gi a m t (SBC) và mp(ABC) SA = AC.tan600 = a 6 .T ñó SB 2 = SA2 + AB2 = 10a2. V y di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC là: S =d 2 = .SB2 = 10 a2. Câu 4. x 3 4 y y 16x (1) 1. Gi i h : 1 y 2 5(1 x 2 ) (2) T (2) suy ra y2 – 5x2 = 4 (3). Th vào (1) ñư c: x3 + (y2 – 5x2).y = y3 + 16x⇔ x⇔ 3 – 5x2y – 16 x = 0 x = 0 ho c x⇔ 2 – 5xy – 16 = 0. TH1: x= 0 y⇒ 2 = 4 ( Th vào (3)). y = 2.⇔ TH2: x – 5xy – 16 = 0 y = ( 4). Th vào (3) ñư c: ( )− 5⇔ x 2 = 4⇔ 5x 5x x⇔ 4 – 32x2 + 256 – 125x4 = 100x2 124 x⇔ 4 +132x2 – 256 = 0 x⇔ 2 = 1 x = 1.⇔ Th vào (4) ñư c giá tr tương ng y = 3 .∓ V y h có 4 nghi m: (x;y) = (0;2) ; (0;-2); (1;-3); (-1; 3). Chú ý: N u thay giá tr c a x vào (3) trư ng h p 2, s th a 2 c p nghi m! x 4− 4 x 3 8x 2− 8x 5 2. Tìm GTNN c a hàm s : f(x) = . x 2− 2 x 2 T p xác ñ nh: R vì x2 – 2x + 2 = (x – 1)2 + 1 > 0 v i m i x. 1 Bi n ñ i ñư c: f(x) = x2 – 2x + 2 + 2 D u b ng x y ra khi : x2 – 2x + 2 =1 x = 1.⇔ ≥ 2 ( B t ñ ng th c Cosi cho hai s dương). V y: min f(x) = 2 ñ t ñư c khi x = 1. Câu 5. 1. Tìm các ñi m B,C? G i H là hình chi u vuông góc c a A trên d. H d H ( 1-t; 2+2t;3)∈ ⇔ ⇔ AH = ( 1-t; 1+2t; 0). Mà AH d nên⊥ AH⊥ ud ( -1;2;0). T ñó có -1(1-t)+2(1+2t) =0⇔ t = -1/5 H ( 6/5; 8/5; 3).⇔ Ta có AH = 3 5 5 .mà tam giác ABC ñ u nên BC = 2 AH 2 15 3 5 hay BH = 15 5 G i: B ( 1-s;2+2s;3) thì (−− S )2 ( 2S )2 5 5 25s⇔ 2 +10s – 2 = 0 s =⇔ − 1 3 5 V y: B ( 6 3 8 2 3∓ ; 5 5 ;3) và C( 6 3 8 2 3 ∓ ; 5 5 ;3 ) ( Hai c p). 2. Xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a (E)? 11 2 1 1 2 ( 0 0 1 3 2 x 2 − 16 x 2 − 16 2 x − 2x + 2 = . 1 2 15 25 ============================================== Theo bài ra có F1 ( - 3 ; 0) và F2 ( 3 ;0) là hai tiêu ñi m c a (E). Theo ñ nh nghĩa c a (E) suy ra : 2a = MF1 + MF2 = (1 3) 2 ( 5 ) + (1− 3) 2 ( 5 ) = 10 a = 5.⇒ L i có c = 3 và a2 – b2 = c2 b⇒ 2 = a2 – c2 = 22. V y t a ñ các ñ nh c a (E) là: A1( - 5;0) ; A2( 5;0) ; B1( 0; - 22 ) ; B2 ( 0; 22 ). H t . cos x x 3 sin 2 x dx = 2 ∫ 3 dt 4 − t = 1 4 2 ∫ 3 − t 2 t− 2 )dt = = 1 t 2 ln 4 t− 2 15 2 3 = 1 4 (ln 15 4 15− 4 − ln 3 2 3− 2 ) = (ln( 15 4) − ln( 3 2)) . 2 2. Ta có SA. = 0. TH1: x= 0 y⇒ 2 = 4 ( Th vào (3)). y = 2.⇔ TH2: x – 5xy – 16 = 0 y = ( 4) . Th vào (3) ñư c: ( )− 5⇔ x 2 = 4 ⇔ 5x 5x x⇔ 4 – 32x2 + 256 – 125x4 = 100x2 1 24 x⇔ 4 +132x2 – 256 = 0 x⇔. 4 x 4 k. x − l. 4 x = ⇔ k. . ( Th a mãn ñi u ki n (*) ). 4 2 2. Gi i phương trình: 2log3 (x2 – 4) + 3 log 3 ( x 2) 2 - log3 ( x -2)2 = 4 x 2 − 4 0 ði