Cac chuyên đề về giới han

P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu I. lý do chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đa ra những phơng pháp mới giúp cho việc giải bài toán đó ngắn gọn hơn là rất cần thiết. Từ đó tạo sự lý thú cho học sinh khi học tập môn toán. Trong bài viết này tôi xin đợc trình bày một phơng pháp mới để tính giới hạn của hàm số đó là phơng pháp Dùng đạo và phơng pháp tách bộ phận kép để tìm một số bài toán giới hạn đặc biệt. II. Mục đích: Giúp cho học sinh nắm đợc một phơng pháp mới để tính giới hạn . III. Đối tợng nghiên cứu: Phơng pháp này có thể phù hợp cho các đối tợng là học sinh lớp 11 và 12 sau khi đã đợc học về định nghĩa đạo hàm của hàm số và hàm số mũ và hàm số loga (tùy mức độ nhận thức của học sinh). IV. Cơ sở lý luận: Dựa vào thực tế giảng dạy. Vận dụng các phơng pháp giảng dạy cho phù hợp với từng đối tợng học sinh. Dựa vào một số tài liệu có sẵn. Trờng THPT Phù Cừ 1 Năm học 2007 - 2008 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Nội DUNG Bài toán tính giới hạn của hàm số thơng gặp trong các kỳ tuyển sinh học sinh thờng sử dụng các phơng pháp khử dạng vô định đã học ngoài ra, còn một phơng pháp khác mà sách giáo khoa không đề cập đến, đó là dùng định nghĩa đạo hàm và phơng pháp tách bộ phận kép để tính giới hạn, phơng pháp này dùng cho một lớp bài toán khá rộng trong chơng trình. Xin đa ra và phân tích một số bài tập minh họa cho hai phơng pháp này. Phần một dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số Bài toán 1: tính giới hạn: 1 75 lim 2 3 2 1 + = x xx L x ( ĐHTC-Kế toán, Hà nội, 2001) Lời giải Đặt ( ) 3 2 75 += xxxf ( ) 01 = f tính ( ) ( ) 3 2 2 / 73 2 52 1 + = x x x xf ( ) 12 5 6 1 4 1 1 / == f suy ra ( ) ( ) ( ) = + = 1lim 1 1 lim 1 1 x x fxf L x x ( ) 24 5 2 1 / = f Nhận xét: Nếu dùng phơng pháp gọi số hạng vắng để khử dạng vô định, ta đi đến 2 bài toán mới nhng lời giải dài dòng 1 72 lim 1 25 lim 2 3 2 1 2 1 + + = x x x x L xx Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 2 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 2: tính giới hạn x xx L x sin 112 lim 3 2 0 ++ = (ĐHQG Hà nội, 2000) Lời giải đặt ( ) 3 2 112 ++= xxxf ( ) 00 = f Ta viết lại ( ) ( ) x x x fxf L x sin 0 0 lim 0 = vì 1 sin lim 0 = x x x , suy ra L= ( ) 0 / f . ( ) 3 22 / )1(3 2 12 1 + + = x x x xf ( ) 10 / = f . Vậy L = 1 Nhận xét. Nếu sử dụng phơng pháp gọi số hạng vắng, ta có bài toán mới khá phức tạp: x x x xx L x sin . )11()112( lim 3 2 0 +++ = Bài toán 3: tính giới hạn: xx xx L x + ++ = 243 sin121 lim 0 ( ĐH GTVT, 1998 ) Lời giải Đặt ( ) xxxf sin121 ++= ( ) 00 = f và ( ) 00 / = f . ( ) xxxg += 243 ( ) 00 = g và ( ) 4 1 0 / =g Ta viết lại ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim / / 0 == = xg xf x gxg x fxf L x Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 3 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp nhân liên hợp, ta có cách giải phải biến đổi dài dòng. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 0 24312sin1 24312sin2sin1 lim xxxx xxxxx L x ++++++ ++++++ = Bài toán 4: tính giới hạn: x ee L xx x sin lim sin2sin 0 = (ĐH Hàng hải - 1999) Lời giải Đặt ( ) xx eexf sin2sin = ( ) 00 = f Ta viết lại x x x ee L xx x sin 0 lim sin2sin 0 = vì 1 sin lim 0 = x x x , suy ra L= ( ) 10 / =f . Nhận xét: Có thể giải bằng cách khác: = x e x e xL xx x sin 1 2sin 1 cos2lim sin2sin 0 Dùng định lí 1 1 lim 0 = x e x x cũng đi đến kết quả L = 1 Bài toán 5: tính giới hạn: 1sin2 1tan lim 2 3 4 = x x I x Lời giải Đặt: ( ) 1tan 3 = xxf 0 4 = f ( ) 1sin2 2 = xxg 0 4 = g Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 4 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Suy ra 3 1 2 3 2 4 4 / / == = g f L Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp nhân liên hợp, ta có cách giải phải biến đổi dài dòng. Bài toán 6 : tính giới hạn: ( ) x xx L x 2008512008 lim 9 2 0 + = Lời giải đặt ( ) ( ) 2008512008 9 2 += xxxf ( ) 00 = f ( ) ( ) ( ) 9 7 2 9 / 519 20085 512 x x xxxf + = Ta lại có ( ) ( ) ( ) 9 2008.5 0 0 0 lim / 0 == = f x fxf L x Nhận xét: Nếu bài toán trên không dung định nghĩa đạo hàm ta viết lại: ( ) + + = x x xx L x 1512008 lim 9 2 0 ( 1 ) Ta phải chứng minh bài toán quen thuộc sau đây: n a x ax n x = + 11 lim 0 bằng cách đặt n axt += 1 .Từ đó áp dụng vào ( 1 ) để có kết quả. Thật khó khăn phải không các bạn ! Bài tập tham khảo Tính các gới hạn sau: 1) ( ) 0lim > a ax xa ax ax Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 5 P han TuÊn Anh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2) xx xx x −− − → − −+ 1 3 2 22 622 lim 3) x xxx x 3 33 2 0 11 lim +−++ → 3) 2 cos3 lim 2 x x x ax − → ( §H SP Hµ néi || - 2000 ) 4) 2 3 0 3121 lim x xx x +−+ → ( §H Thñy lîi - 2001 ) Trêng THPT Phï Cõ N¨m häc 2007 - 2008 6 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Phần hai Phơng pháp tách bộ phận kép để tìm giới hạn của phân thức chứa căn Phơng pháp ; Muốn tìm giới hạn ( ) ( ) ( ) ( ) *lim k nm ax ax xgxf T = có dạng 0 0 (m, n, k là các số tự nhiên, { } nmk ,min1 ) Ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức ( ) ( ) k ax xh vào phân thức để tìm giới hạn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xQax xg xQax xf ax xhxgxh ax xhxhxf ax xgxf g k f k k n n k m m k nm + = = + + + = 11 11 )( Trong đó ( ) ( ) xQxQ gf , theo thứ tự là biểu thức liên hợp của ( ) ( ) xhxf m và ( ) ( ) n xgxh Lúc đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xQax xg xQax xf T g k ax f k ax + = 11 lim . lim điều quan trọng là chọn đợc h(x) sao cho các giới hạn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xQax xg xQax xf g k ax f k ax 11 lim; . lim có dạng xác định hay dạng quen thuộc. Dới đây là các ví dụ minh họa. Bài toán 1: tính giới hạn: 3 3 223 0 27279968 lim x xxxxx T x +++++ = Lời giải Đặt ( ) ( ) 2 323 38968 ++=+++= xxxxxxf Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 7 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm ( ) ( ) 3 32 327279 +=++= xxxxxg ở đây h(x) = x + 3 Viết lại ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 33 lim 3 3 3 0 + + + = x xgx x xxf T x Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 3 8 lim 3 8 lim 3 3 lim 3 lim 0 3 3 0 3 2 0 3 0 1 = ++ = ++ = = ++ + = + = xxfxxfx x xxfx xxf x xxf T xx xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 27 1 33 1 lim 33 3 lim 3 lim 3 2 3 2 0 3 2 3 2 3 3 0 3 3 0 2 = ++++ = = ++++ + = + = xgxgxx xgxgxxx xgx x xgx T x xx Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) ta có 27 37 27 1 3 4 =+=T Lu ý: Biểu thức h(x) đợc xác định từ các biểu thức ( ) ( ) xgxf , và đợc gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn dạng (*). một vài số hạng của bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong ( ) ( ) xgxf 11 , ta phải tìm chúng để xác định chính xác biểu thức h(x). thí dụ: Bài toán 2: tính giới hạn: ( ) x xxxxx T x 3 4 3 0 4 1lncos33cos 2 312cos lim ++ ++ = Lời giải Đặt ( ) 2 131 cos 2 312cos 3 2 3 + += ++ = x x xx xf Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 8 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm ( ) ( ) ( ) ;1lncos 4 1lncos33cos 3 4 xx xxx xg += ++ = ở đây h(x) = cosx ta viết lại ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 coscos limlim 3 0 3 0 + = = x xgx x xxf x xgxf T xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 1 cos2 1 . 131 lim cos2 131 lim cos cos lim cos lim 3 0 3 0 2 00 1 = + + = + + = = + = = xxg x x xxgx x xxfx xxf x xxf T xx xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 1 coscos 1 . 1ln lim . coscos 1ln lim coscos cos lim cos lim 3 2 3 2 0 3 2 3 2 0 3 2 3 2 3 0 3 0 2 = ++ + = = ++ + = = ++ = = xgxgxx x x xgxgxxx x xgxgxxx xgx x xgx T x x xx Từ (4), (5), (6) có 12 7 =T . Bài toán 2: tính giới hạn: 2 4 2 0 42122cos lim x xxxx T x + = Lời giải Đặt ( ) ( ) xxxxxxf 22 2 2 sin2122cos == hay ( ) ( ) xxxxf 22 2 2 sin21 = ( ) ( ) 2234 4 2 211641421 xxxxxxxxg +++=+= hay ( ) ( ) ,21)164(1 2234 4 xxxxxgx +++= ở đây h(x) = 1 x Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 9 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Ta viết lại ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 11 lim 2 4 2 0 + = x xgx x xxf T x Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 3 1 sin 21 lim 1 sin2 lim 1 1 lim 1 lim 2 0 2 22 0 2 2 0 2 0 1 = + = + = = + = = xxf x x xxfx xx xxfx xxf x xxf T xx xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 4 5 111 211 64 lim ]111[ 1 lim 111 21164 lim 1 lim 4 3 4 2 4 23 2 2 2 0 4 3 4 2 4 23 2 4 0 4 3 4 2 4 23 2 2234 0 2 4 0 2 = +++ + + = = +++ = = +++ +++ = = xgxgxxgxx x x xx xgxgxxgxxx xgx xgxgxxgxxx xxxx x xgx T x x xx Từ (7), (8), (9) có 4 1 =T . Bài tập tham khảo Tính các giới hạn sau: 1) 2 3 0 3121 lim x xx T x ++ = (ĐH thủy lợi Hà nội 2001) 2) 2 4 232 0 21422cos223 lim x xxxxxx T x +++++ = 3) ( ) 2 3 0 3 311ln521 lim x xxxx T x ++++ = 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 22 3 0 3131121 lim xxxx x T x ++++ = Bài học kinh nghiệm và kết quả Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008 10 [...]...P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Sau khi đa ra phơng pháp trên vào dạy cho học sinh, học sinh lúc đầu còn bỡ ngỡ nhng sau đó các em đã nắm đợc phơng pháp và sử dụng khá thành thạo, qua đó các em có một t duy sáng tạo trong toán học, đặc biệt là các em học sinh khá và giỏi Tuy nhiên bài viết trên mới chỉ đề cập tới hai phơng pháp Bằng phơng pháp t duy các em có thể mở rộng sang phơng pháp khác về. .. pháp t duy các em có thể mở rộng sang phơng pháp khác về tìm giới hạn ví dụ nh phơng pháp nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử hoặc đổi biến số để đa về bài toán quen thuộc, hoặc dùng phơng pháp gọi số hạng vắng Trên đây là kinh nghiệm của tôi xin các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để bài viết hoàn thiện hơn Phù Cừ, ngày 19 5 2008 Ngời viết PHAN TUấN ANH Trờng THPT Phù Cừ 11 Năm học 2007 - 2008 . đề cập tới hai phơng pháp. Bằng ph- ơng pháp t duy các em có thể mở rộng sang phơng pháp khác về tìm giới hạn ví dụ nh phơng pháp nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử hoặc đổi biến số để đa về. Phï Cõ N¨m häc 2007 - 2008 6 P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm Phần hai Phơng pháp tách bộ phận kép để tìm giới hạn của phân thức chứa căn Phơng pháp ; Muốn tìm giới hạn ( ) ( ) ( ) ( ) *lim k nm ax ax xgxf T = . tính giới hạn của hàm số đó là phơng pháp Dùng đạo và phơng pháp tách bộ phận kép để tìm một số bài toán giới hạn đặc biệt. II. Mục đích: Giúp cho học sinh nắm đợc một phơng pháp mới để tính giới