HD giai de KHTN -2010 (vong 1)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải hệ phương trình      =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 2) Giải phương trình .183124312 32 ++=+−++ xxxx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. ( ) n nn nn =       + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 30=ACB . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức 4 9 )1)(1( =++ ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP +++= . _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. HD giải đề MễN TON (Vũng 1) Thi gian lm bi: 120 phỳt (Khụng k thi gian phỏt ) Cõu I 3) Gii h phng trỡnh =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 4) Gii phng trỡnh .183124312 32 ++=+++ xxxx H ớng dẫn 1) Cộng cả hai phơng trình ta đợc (2x+3y) 2 =25 Ta có hai hệ =+ =+ 2 532 22 yx yx Và =+ =+ 2 532 22 yx yx Giai ra ta đợc PT có 4 nghiệm 1,-1; 13 7 ; 13 7 2) ĐKXĐ 2 1 x Đặt )0(124);0(12 2 >=+=+ bbxxaax Ta có (1-b)(a-3) =0 b=1 thì 2 1 ;0 21 == xx ;a=3 thì 4 3 =x Cõu II 3) Tỡm tt c cỏc s nguyờn khụng õm (x, y) tho món ng thc ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 4) Vi mi s thc a, ta gi phn nguyờn ca s a l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ a v ký hiu l [a]. Chng minh rng vi mi n nguyờn dng ta luụn cú. ( ) n nn nn = + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 H ớng dẫn 1)Phá ngoặc ( )( ) ( )( ) ( )( ) 25)1)(1(25)1( 25)(12)1(.2512411 22 2222 =++=+++ =++++++=++++++ yxyxxy yxxyyxxyxyyxxyyx vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0) 2) xét )( 1 1 1 1 1 )1()1( 1 )1()1( 1 22 Nk kkkk k kk k kk k kk kk + + =+ + = + + + + = + ++ Thay k lần lợt từ 1 đến n ta có ( ) n n n n n n nn nn = + += + += + ++ ++ 11 1 1 1 1 3.2 7 2.1 3 2 (đpcm) Cõu III Cho ng trũn (O) vi ng kớnh AB = 2R. Trờn ng thng tip xỳc vi ng trũn (O) ti A ta ly im C sao cho gúc 0 30=ACB . Gi H l giao im th hai ca ng thng BC vi ng trũn (O). 3) Tớnh di ng thng AC, BC v khong cỏch t A n ng thng BC theo R. 4) Vi mi im M trờn on thng AC, ng thng BM ct ng trũn (O ti im N (khỏc B). Chng minh rng bn im C, M, N, H nm trờn cựng mt ng trũn v tõm ng trũn ú luụn chy trờn mt ng thng c nh khi M thay i trờn on thng AC. H ớng dẫn j N C H O A B M 1)BC=4R;AC= R32 ;AH= 3R 2) Ta có 0 30 == HABHNA nên 0 180=+ NHCC nên tứ giác CMNH nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp thuộc trung trực HC cố định Cõu IV Vi a,b l cỏc s thc tho món ng thc 4 9 )1)(1( =++ ba , hóy tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 44 11 baP +++= . H ớng dẫn áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy 1; 2 a và 1; 4 ta có 2 1 ":");1( 17 4 1)4()1(17 2 4224 == + +++ aDau a aaa 1; 2 b và 1; 4 ta có 2 1 ":");1( 17 4 1)4()1(17 2 4224 == + +++ bDau b bbb Từ (1)&(2) ta có (*) 17 8 22 ++ ba P Mặt khác Từ GT ta có 4 5 =++ abba Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có 2 1 ":"; 2 1 4 5 )( 2 1 )( 2 3 2 4 1 4 1 2222 22 2 2 ===+=++++ + + + baDaubaabbaba ab ba bb aa Thay Vào (*) ta có 2 17 17 8 2 1 = + P Vây 2 1 2 17 )( === baPMin Ngời gửi : Nguyễn Minh Sang GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP; ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về minhsang5260@gmail.com.vn . 3.2 7 2.1 3 2 H ớng dẫn 1)Phá ngoặc ( )( ) ( )( ) ( )( ) 25 )1)( 1(25)1( 25)(12)1(.2512411 22 2222 =++=+++ =++++++=++++++ yxyxxy yxxyyxxyxyyxxyyx vì x,y không âm nên (x +1)( y +1)= 5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0) 2). thức 4 9 )1)( 1( =++ ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP +++= . _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. HD giải đề MễN TON (Vũng 1) Thi gian. (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải hệ phương trình      =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 2) Giải phương trình .183124312 32 ++=+−++ xxxx Câu II 1)