Chương I - PHƯƠNG PHÁP ĐẾM doc

1 Chương I PHƯƠNG PHÁP ĐẾM KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.1. Định nghĩa: Một tập hợp làmột bộ sưu tập các vật màta còn gọi làcác phần tử của tập hợp đó. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 2 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.2. Ký hiệu: Ta dùng –các chữ in: A, B, C, , X, Y, Z, để chỉ các tập hợp. –các chữ nhỏ: a, b, c, , x, y, z, để chỉ các phần tử. –ký hiệu x ∈ A để chỉ x làmột phần tử của tập hợp A. Ký hiệu x ∉ A để chỉ x không phải làmột phần tử của tập hợp A. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 3 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.3. Biểu diễn một tập hợp: Để biểu diễn một tập hợp ta thường dùng một trong hai phương pháp sau: 1)Liệt kê: Các phần tử của tập hợp sẽ được liệt kê đúng một lần giữa hai dấu { }; giữa hai phần tử khác nhau sẽ códấu ngăn cách (thường làdấu phẩy, hay chấm phẩy ;) nhưng thứ tự giữa các phần tử này làkhông quan trọng. Vídụ: A = {1, 2, 3, 4}, N = {0, 1, 2, 3, }, Z = {0, ±1, ±2, }, 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 4 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.3. Biểu diễn một tập hợp: 2) Nêu tính chất đặc trưng: Tập hợp sẽ được mô tả như làmột bộ sưu tập gồm tất cả các phần tử x thỏa mãn tính chất đặc trưng p(x) nào đó dưới dạng: A = {x | p(x)} hay A = {x ∈ B | p(x)}. Vídụ: 1) Tập hợp A = {x ∈ R | x 2 –4x + 3 = 0} chính làtập hợp A = {1, 3}. 2) Tập hợp các số hữu tỉ được mô tả như sau: Q = { Z, n ≠ 0} 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 5 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.4. Tập hợp rỗng: Tập hợp rỗng, ký hiệu bởi Φ, làtập hợp không chứa phần tử nào. Vídụ: Các tập hợp A = {x ∈ R | x 2 –4x + 5 = 0} vàB = {x ∈ Z | 2x –1 = 0} đều làcác tập hợp rỗng. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 6 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.5. Tập hợp con vàtập hợp bằng nhau: Cho hai tập hợp A vàB. Ta nói: 1) A làtập hợp con của B, ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A nếu mọi phần tử của A đều làcác phần tử của B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A ⊂ B ⇔∀x ∈ A, x ∈ B. Ký hiệu A ⊄ B hay B A để chỉ A không phải làtập con của B. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 7 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.5. Tập hợp con vàtập hợp bằng nhau: 2) A bằng B, ký hiệu A = B, nếu A làtập hợp con của B và ngược lại, i.e. nếu mọi phần tử của A đều làcác phần tử của B và ngược lại. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A = B ⇔ (A ⊂ B) và(B ⊂ A). ⇔ (∀x ∈ A, x ∈ B) và(∀x ∈ B, x ∈ A). Ký hiệu A ≠ B để chỉ A không bằng B. Vídụ: Xét các tập hợp A = {x ∈ R | x 2 –4x + 3 = 0}, B = {x ∈ R | x(x –1)(x –3) = 0}, C = {0; 1; 2}, D = {0; 1; 2; 3}. Ta thấy A ⊂ B, B ≠ C, C ⊂ D, nhưng B ⊄ A, D ⊄ C. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 8 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 3 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.6. Tập hợp các tập hợp con: Cho tập hợp X. Tập hợp tất cả các tập hợp con của X được ký hiệu là P(X). Như vậy:P(X) = {A | A ⊂ B} Kết quả quen thuộc sau đây cóthể được chứng minh bằng quy nạp theo n: “Nếu tập hợp X có đúng n phần tử thìtập hợp tất cả các tập hợp con P(X) của X sẽ có đúng 2 n phần tử”. Vídụ: Cho X = {a, b, c}. Ta có: P(X) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}}. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 9 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Cho A vàB làhai tập hợp con của tập hợp X. 1.6 Phép giao: Phần giao của A vàB, ký hiệu bởi A ∩ B, làtập hợp tất cả các phần tử của X vừa thuộc A vừa thuộc B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A ∩ B = {x ∈ X | x ∈ A vàx ∈ B}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A vàx ∈ B. Suy ra ∀x ∈ X, x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A hay x ∉ B. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 10 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.7. Phép hợp: Phần hợp của A vàB, ký hiệu bởi A ∪ B, làtập hợp tất cả các phần tử (của X) thuộc A hay thuộc B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A ∪ B = {x ∈ X | x ∈ A hay x ∈ B}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hay x ∈ B. Suy ra ∀x ∈ X, x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A vàx ∉ B. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 11 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.8. Phép hiệu: Phần hiệu của A vàB, ký hiệu bởi A \B, làtập hợp tất cả các phần tử (của X) thuộc A nhưng không thuộc B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A \B = {x ∈ X | x ∈ A vàx ∉ B}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ A \B ⇔ x ∈ A vàx ∉ B. Suy ra ∀x ∈ X, x ∉ A \B ⇔ x ∉ A hay x ∈ B. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 12 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.9. Phép bù: Với A làmột tập con của X, phần bùcủa A trong X, ký hiệu bởi hay C X (A), làtập hợp X\A. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: X\A = {x ∈ X | x ∉ A}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ ⇔ x ∉ A. Suy ra ∀x ∈ X, x ∉ ⇔ x ∈ A. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 13 A A A CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Vídụ: Xét các tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}; A = {0; 1; 2; 3}; B = {1; 2; 4; 5}. Ta có: A ∩ B = {1, 2}; A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; A \B = {0; 3}; B \A = {4; 5}; C X (A) = {4; 5; 6}; C X (B) = {0; 3; 6}. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 14 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.10. Định lý (tính chất của các phép toán): Cho A, B, C làcác tập hợp con của tập hợp X. Khi đó ta có: 1) Tính lũy đẳng: A ∩ A = A vàA ∪ A = A 2) Tính giao hoán: A ∩ B = B ∩ A vàA ∪ B = B ∪ A. 3) Tính kết hợp: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) và(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 15 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.10. Định lý (tính chất của các phép toán): 4) Tính phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) vàA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 5) Công thức De Morgan: Suy ra: A \(B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \C) vàA \(B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \C) 6) Các công thức 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 16 BABABABA ∩=∪∪=∩ & BABAAA ∩== \& PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5 ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ 1.11. Định nghĩa Cho hai tập hợp X, Y ≠∅. Một ánh xạ f từ X vào Y làquy tắc cho ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử duy nhất y của Y màta ký hiệu làf(x) vàgọi là ảnh của x qua ánh xạ f. Ta viết: f : X → Y x f(x) 1.12. Định nghĩa Hai ánh xạ f vàg từ X vào Y được gọi làbằng nhau nếu: ∀x ∈ X, f(x) = g(x) 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 17 a ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ 1.13. Ảnh và ảnh ngược: Cho ánh xạ f từ X vào Y vàA ⊂ X, B ⊂ Y. Ta định nghĩa: 1) Ảnh của A qua f làtập hợp: f(A) = {y ∈ Y |∃x ∈ A, y = f(x)} Ta cũng viết: f(A) = {f(x) | x ∈ A} Như vậy theo định nghĩa, ta có: ∀y ∈ Y, y ∈ f(A) ⇔∃x ∈ A, y = f(x); ∀y ∈ Y, y ∉ f(A) ⇔∀x ∈ A, y ≠ f(x). 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 18 ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ 1.13. Ảnh và ảnh ngược: 2) Ảnh ngược hay tạo ảnh của B bởi f làtập hợp: f –1 (B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} Như vậy theo định nghĩa, ta có: ∀x ∈ X, x ∈ f –1 (B) ⇔ f(x) ∈ B; ∀x ∈ X, x ∉ f –1 (B) ⇔ f(x) ∉ B. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 19 ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ 1.13. Ảnh và ảnh ngược: Chúý: 1) Ta thường dùng ký hiệu Imf để chỉ tập hợp f(X) vàcòn gọi là ảnh của f. 2) Với y ∈ B ta dùng ký hiệu f –1 (y) thay cho f –1 ({y}). Đó chính làtập hợp các phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y (ta thường gọi đây làtập hợp tất cả các nghiệm x trong X của phương trình f(x) = y). Lưu ý rằng tập hợp f –1 (y) cóthể rỗng hay khác rỗng (gồm một hay nhiều phần tử). 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 20 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6 ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ 1.14 Định lý: Giả sử f làmột ánh xạ từ X vào Y. Với A 1 vàA 2 làhai tập hợp con tùy ý của X, B 1 vàB 2 làhai tập con tùy ý của Y. Ta có: 1. f(A 1 ∪ A 2 ) = f(A 1 ) ∪ f(A 2 ); 2. f(A 1 ∩ A 2 ) ⊂ f(A 1 ) ∩ f(A 2 ); 3. f(A 1 \A 2 ) ⊃ f(A 1 ) \f(A 2 ); 4. f –1 (B 1 ∪ B 2 ) = f –1 (B 1 ) ∪ f –1 (B 2 ); 5. f –1 (B 1 ∩ B 2 ) = f –1 (B 1 ) ∩ f –1 (B 2 ); 6. f –1 (B 1 \B 2 ) = f –1 (B 1 ) \f –1 (B 2 ). 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 21 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. 1.15. Đơn ánh: Ta nói f : X → Y làmột đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là: ∀x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x') Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa. f : X → Y làmột đơn ánh ⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x'). ⇔ (∀y ∈ Y, f –1 (y) cónhiều nhất một phần tử). ⇔ (∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) cónhiều nhất một nghiệm x ∈ X. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 22 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. 1.15. Đơn ánh: Suy ra: f : X → Y không là một đơn ánh ⇔ (∃x, x' ∈ X, x ≠ x' vàf(x) = f(x')). ⇔ (∃y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) cóít nhất hai nghiệm x ∈ X. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 23 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. 1.16. Toàn ánh: Ta nói f : X → Y làmột toàn ánh nếu Imf = Y. Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa. f : X → Y làmột toàn ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x)) ⇔ (∀y ∈ Y, f –1 (y) ≠∅); ⇔∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) cónghiệm x ∈ X. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 24 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 7 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. 1.16. Toàn ánh: Suy ra: f : X → Y không là một toàn ánh ⇔ (∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, y ≠ f(x)); ⇔ (∃y ∈ Y, f –1 (y) = ∅); ⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) vô nghiệm trong X. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 25 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. 1.17. Song ánh vàánh xạ ngược: Ta nói f : X → Y làmột song ánh hay làmột tương ứng 1-1 nếu f vừa là đơn ánh vừa làtoàn ánh. Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa. f : X → Y làmột song ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X, y = f(x)); ⇔ (∀y ∈ Y, f –1 (y) có đúng một phần tử); ⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) códuy nhất một nghiệm x ∈ X. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 26 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. 1.18. Song ánh vàánh xạ ngược: Suy ra: f : X → Y không là một song ánh ⇔ f không là một đơn ánh hay không làmột toàn ánh; ⇔∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) vô nghiệm hoặc cóít nhất hai nghiệm x ∈ X. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 27 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. 1.18. Song ánh vàánh xạ ngược: Xét f : X → Y làmột song ánh. Khi đó, theo tính chất trên, với mọi y ∈ Y, tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứng y x làmột ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây làánh xạ ngược của f vàký hiệu f –1 . Như vậy: f –1 : Y → X y f –1 (y) = x với f(x) = y. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 28 a a PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 8 TÍCH CÁC ÁNH XẠ 1.19. Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : X → Y vàg : Y' → Z trong đó Y ⊂ Y'. Ánh xạ tích h của f vàg làánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X → Z x h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = g o f : X → Y → Z x f(x) h(x) = g(f(x)) 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 29 a a a TÍCH CÁC ÁNH XẠ 1.20. Định lý: Xét f : X → Y làmột song ánh. Khi đó: f o f –1 = Id Y f –1 o f = Id X trong đóký hiệu Id X để chỉ ánh xạ đồng nhất X → X định bởi Id X (x) = x, ∀x ∈ X; ta gọi Id X làánh xạ đồng nhất trên X, tương tự Id Y làánh xạ đồng nhất trên Y. 1. Nhắc lại về tập hợp vàánh xạ 23/06/2009 30 Nguyên lý Cộng vàNguyên lý Nhân 1) Nguyên lý Cộng: Giả sử để một hiện tượng xảy ra, có k trường hợp lớn loại trừ lẫn nhau. Biết rằng ở mỗi trường hợp lớn thứ j lại cón j trường hợp nhỏ. Khi đó, số trường hợp nhỏ nói chung để hiện tượng trên xảy ra là: n = n 1 + n 2 + …+ n k . 2. Phép đếm 23/06/2009 31 Nguyên lý Cộng vàNguyên lý Nhân 2) Nguyên lý Nhân: Giả sử để hoàn thành một công việc ta phải tiến hành theo trình tự k bước cótác dụng độc lập. Biết rằng: –Cón 1 cách thực hiện buớc 1. –Sau khi thực hiện bước 1 xong, dùbằng bất cứ cách nào, luôn luôn cómột số lượng không đổi n 2 cách để thực hiện bước 2. –………… –Cuối cùng, sau khi thực hiện xong bước thứ k-1, luôn luôn cómột số lượng không đổi n k cách để thực hiện bước thứ k. Khi đó, số cách để hoàn thành công việc đã cho là: n = n 1 n 2 …n k . 2. Phép đếm 23/06/2009 32 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 9 Giải tích tổ hợp 2.1. Chỉnh hợp Gọi làsốchỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta cócông thức: 2. Phép đếm 23/06/2009 33 ( ) ! ! k n n A nk = − k n A Giải tích tổ hợp 2.2. Hoán vị Gọi P n làsốhoán vị của n phần tử. Ta cócông thức: P n = n! Định lý. Số hoán vị của n phần tử, trong đócón 1 phần tử giống nhau thuộc loại 1, n 2 phần tử giống nhau thuộc loại 2,…, n k phần tử giống nhau thuộc loại k, là: 2. Phép đếm 23/06/2009 34 12 ! !! ! k n nnn Giải tích tổ hợp 2.3. Tổ hợp Gọi làsốtổhợp chập k của n phần tử. Ta có công thức: 2. Phép đếm 23/06/2009 35 k n C ( ) ! !! k n n C knk = − Giải tích tổ hợp 2.3. Tổ hợp Nhận xét: Từ kết quả trên ta suy ra số tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử là Định lý. a) với mọi 0 ≤ k ≤ n; b) với mọi 1 ≤ k ≤ n Công thức nhị thức Newton: Với x, y ∈ R van làsố nguyên dương ta có: 2. Phép đếm 23/06/2009 36 k n C nkk nn CC − = 1 1 kkk nnn CCC − + += 0 () n nknkk n k xyCxy − = += ∑ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 10 Giải tích tổ hợp 2.4. Tổ hợp lặp Cóthể xem một tổ hợp lặp chập k của n loại phần tử a 1 , a 2 ,…, a n làmột nhóm khơng thứ tự gồm k phần tử cóthể trùng nhau được rút ra từ tập {a 1 , a 2 ,…, a n }. Gọi làsốtổhợp lặp chập k của n loại phần tử. Ta có cơng thức: 2. Phép đếm 23/06/2009 37 k n K 1 kk nnk KC +− = Giải tích tổ hợp 2.4. Tổ hợp lặp Hệ quả: Số nghiệm ngun khơng âm (x 1 ,x 2 ,…,x n ) (mỗi x i đều ngun khơng âm) của phương trình x 1 + x 2 +…+ x n = k là: 2. Phép đếm 23/06/2009 38 1 kk nnk KC +− = 2.5. Ngun lý Dirichlet Giả sử cón vật cần đặt vào k hộp. Khi đótồn tại ít nhất một hộp chứa từ vật trở lên, trong đó làsốngun nhỏ nhất lớn hơn hay bằng n/k. Hơn nữa, làsốngun lớn nhất thỏa tính chất trên. 2. Phép đếm 23/06/2009 39 / nk   / nk   / nk   3. Hệ thức đệ quy Mộthệthứcđệquytuyếntínhcấpk làmột hệ thứccódạng: x n = a 1 x n-1 +…+ a k x n-k + f n (1) trongđó: • a k ≠ 0, a 1 ,…, a k-1 làcáchệsốthực • {f n } làmộtdãysốthựcchotrước • {x n } làdãyẩnnhậncácgiátròthực. 23/06/2009 40 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com [...]... y1,…, xk-1 = yk-1 • Nếu hệ thức đệ quy có kèm theo i u kiện ban đầu, ta ph i tìm nghiệm riêng thỏa i u kiện ban đầu đó (*) Khi đó, nghiệm {xn} tương ứng được g i nghiệm riêng ứng v i i u kiện ban đầu (*) 23/06/2009 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 43 23/06/2009 44 11 3 Hệ thức đệ quy 3 Hệ thức đệ quy Ví dụ: Một cầu thang có n bậc M i bước i gồm 1 hoặc 2 bậc G i xn là... (3) là: λ2 - 2λ + 4 = 0 Do đó nghiệm tổng quát của (3) là ( 3) xn = 2n (C1 cos Từ i u kiện ban đầu x1 = 4; x2 = 4 ta suy ra:  1 3 C2 ) = 4  2( C1 +  2 2 Suy ra:   4( − 1 C + 3 C ) = 4 1 2   2 2 (*) có hai nghiệm phức liên hợp là λ = 1± i 3 Ta viết hai nghiệm trên dư i dạng lượng giác: λ = 2(cos nπ nπ + C2 sin ) 3 3 π π ± i sin ) 3 3 23/06/2009 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com... Nghiệm tổng quát Ø M i dãy {xn} thỏa (1) được g i là một nghiệm của (1) • Nhận xét rằng m i nghiệm {xn} của (1) được hoàn toàn xác đònh b i k giá trò ban đầu x0, x1,…, xk-1 Ø Họ dãy số {xn = xn(C1, C2,…,Ck)} phụ thuộc vào k họ tham số C1, C2,…, Ck được g i là nghiệm tổng quát của (1) nếu m i dãy của họ này đều là nghiệm của (1) Trường hợp dãy fn= 0 v i m i n thì (1) trở thành: xn = a1xn-1 +… +akxn-k... Nếu (*) có hai nghiệm phức liên hợp được viết dư i dạng lượng giác : b) Nếu (*) có nghiệm kép thực λ0 thì (2) có nghiệm tổng quát là: λ = r (cos ϕ ± i sin ϕ ) thì (2) có nghiệm tổng quát là: xn = ( A + nB )λ n 0 23/06/2009 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com xn = r n ( A cos nϕ + B sin nϕ ) 59 23/06/2009 60 15 3 Hệ thức đệ quy 3 Hệ thức đệ quy Ví dụ 1: Gi i các hệ thức... +akxn-k (2) Ta n i (2) là một hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất cấp k 23/06/2009 41 23/06/2009 3 Hệ thức đệ quy 3 Hệ thức đệ quy Nghiệm riêng Cho {xn} là nghiệm tổng quát của (1) và v i m i k giá trò ban đầu y0, y1,…, yk-1, tồn t i duy nhất các giá trò của k tham số C1, C2,…,Ck sao cho nghiệm {xn} tương ứng thỏa: 42 Mục đích gi i hệ thức đệ quy • Gi i một hệ thức đệ quy là i tìm nghiệm tổng quát của... cách i hết cầu thang Tìm một hệ thức đệ quy cho xn 23/06/2009 V i n = 1, ta có x1 = 1 V i n = 2, ta có x2 = 2 V i n > 2, để khảo sát xn ta chia thành hai trường hợp lo i trừ lẫn nhau: Trường hợp 1: Bước đầu tiên gồm 1 bậc Khi đó, cầu thang còn n-1 bậc nên số cách i hết cầu thang trong trường hợp này là xn-1 45 23/06/2009 46 3 Hệ thức đệ quy 3 Hệ thức đệ quy Trường hợp 2: Bước đầu tiên gồm 2 bậc Khi đó,... (*) trở thành λ - a1 = 0 nên có nghiệm là λ0 = a1 Phương trình đặc trưng của (2) là phương trình bậc k đònh b i: λk - a1λk-1 - - ak = 0 Khi đó, (2) có nghiệm tổng quát là: xn = Cλ0n (*) 23/06/2009 53 3 Hệ thức đệ quy 23/06/2009 3 Hệ thức đệ quy Ví dụ: Hệ thức đệ quy Phương trình đặc trưng: 2λ - 3 = 0 có nghiệm là λ0 = 3/2  2 xn − 3 xn −1 = 0;   x1 = 1 Do đó nghiệm tổng quát là: là một hệ thức đệ... 23/06/2009 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 54  3 xn = C    2 55 23/06/2009 n 56 14 3 Hệ thức đệ quy 3 Hệ thức đệ quy Trường hợp k = 2: Phương trình đặc trưng (*) trở thành: Từ i u kiện ban đầu x1 = 1, ta có : 3 C ∗ =1 2 2 C= 3 Suy ra: λ2 - a1λ - a2 = 0 a) Nếu (*) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2 thì (2) có nghiệm tổng quát là: Do đó nghiệm của hệ thức đệ quy... đệ quy V i n = 1 ta có x1 = 1 Như vậy số lần chuyển toàn bộ n đóa từ A sang C là: xn-1+ 1 + xn-1 = 2xn-1 + 1 Nghóa là xn = 2xn-1 + 1, ta có hệ thức đệ quy tuyến tính không thuần nhất cấp 1: V i n >1, trước hết ta chuyển n-1 đóa bên trên sang cọc B qua trung gian cọc C (giữ nguyên đóa thứ n dư i cùng ở cọc A) Số lần chuyển n-1 đóa đó là xn-1 Sau đó ta chuyển đóa thứ n từ cọc A sang cọc C Cu i cùng ta... n-2 bậc nên số cách i hết cầu thang trong trường hợp này là xn-2 Theo nguyên lý cộng, số cách i hết cầu thang là xn-1 + xn-2 Do đó ta có: xn = xn-1 + xn-2 Vậy ta có hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất cấp 2: 23/06/2009 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com  xn = xn−1 + xn −2   x1 = 1, x2 = 2 47 23/06/2009 48 12 3 Hệ thức đệ quy 3 Hệ thức đệ quy B i toán Tháp Hà Nội . y 1 ,…, x k-1 = y k-1 (*) Khiđó, nghiệm{x n } tươngứngđượcgọinghiệm riêngứngv i i ukiệnban đầu(*). 3. Hệ thức đệ quy 23/06/2009 43 Mục đích gi i hệthức đệquy •Giảimộthệthứcđệquylàđitìmnghiệmtổng. -2 λ+ 4 = 0 (*) cóhainghiệmphứcliênhợplà 13 i λ=± Ta viếthainghiệmtrêndướidạnglượnggiác: 2(cossin) 33 i ππ λ=± 3. Hệ thức đệ quy 23/06/2009 65 Vídụ3: Do đónghiệmtổngquátcủa(3) là 12 2(cossin) 33 n n nn xCC ππ =+ Từ i ukiệnban. cóhainghiệmphứcliênhợpđược viếtdướidạnglượnggiác: (cossin) ri λϕϕ =± thì(2) cónghiệmtổngquátlà: (cossin) n n xrAnBn ϕϕ =+ 3. Hệ thức đệ quy 23/06/2009 60 PDF created with pdfFactory Pro trial