Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 22 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
22
Dung lượng
286,5 KB
Nội dung
CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu): ( ) dtytyISE r 2 0 )(minmin ∫ −= ∞ Integral of square error Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)| <= M Giảm năng lượng tiêu hao ∫ ∞ 0 2 )(min dttu Chỉ tiêu chất lượng toàn phương: ( ) dttuteJ ∫ += ∞ 0 22 )()(min λ Ví dụ : Tìm K để cực tiểu ISE r e u K 1/s y TỐI ƯU THAM SỐ Hàm truyền sai số Ks s sR sE + = )( )( Với tín hiệu vào hàm nấc: e(t) = e - Kt K dtteISE 2 1 min)(minmin 2 0 = ∫ = ∞ Kết quả là K phải vô cùng Dùng chỉ tiêu ( ) 22 1 )()(min 0 22 K K dttuteJ += ∫ += ∞ J cực tiểu khi suy ra K = 1, J = 1 0) 22 1 ( =+ K KdK d 0 1 32 2 >= ∂ ∂ K J K ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI (LQR) LINEAR QUADRATIC REGULATOR Khảo sát vấn đề duy trì trạng thái của hệ thống ở giá trị là 0, chống tác động nhiễu, đồng thời với cục tiểu tiêu hao năng lượng [ ] , 2 1 min )0(, 0 0 dtRuuQxxJ Cxy xxBuAxx TT ∫ += = =+= ∞ Q là ma trận đối xứng xđd hay bán xđd, thường là ma trận chéo R là ma trận đối xứng xđd, thường là ma trận chéo Chọn luật điều khiển hồi tiếp trạng thái u = - Kx, K là hằng số, thay vào biểu thức của J ∫ += ∞ 0 )( 2 1 xdtRKKQxJ TT Tính K dùng phương trình Lyapunov, chọn hàm Lyapunov là J: PxxxdtRKKQxtxV T t TT 2 1 )( 2 1 ))(( = ∫ += ∞ Đạo hàm theo thời gian V(x(0)) = J = x T (0)Px(0) ∫ += ∞ 0 )( 2 1 xdtRKKQxJ TT ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI [ ] [ ] )()( 2 1 )()( 2 1 |)( 2 1 )( txRKKQtxxRKKQx xRKKQxxV TTTT t TT +−∞+∞= += ∞ Gỉa sử chọn K để hệ ổn định, x(∞) →0 [ ] )()( 2 1 )( txRKKQtxxV TT +−= Mặt khác ( ) [ ] xBKAPPBKAxxPxPxxxV TTTT )()( 2 1 2 1 )( −+−=+= Suy ra [ ] xRKKQxxBKAPPBKAx TTTT )( 2 1 )()( 2 1 +−=−+− Ma trận P thỏa phương trình Lyapunov )()()( RKKQBKAPPBKA TT +−=−+− ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI • Giải phương trình Lyapunov ta được các phần tử của ma trận P theo các phần tử của ma trận K chưa biết • Sau đó ta tính J = V(x(0)) = là hàm theo các phần tử của ma trận K )0()0( 2 1 Pxx T • Để J cực tiểu ta giải phương trình hay 0 = ∂ ∂ ij k J • Suy ra ma trận K, luật điều khiển u = - Kx • Xét ổn định của ma trận A-BK • Nêú muốn điêù chỉnh ngõ ra y=cx ta chọn Các bước giải bài toán tối ưu 0 = ∂ ∂ ij k P ∫ += ∞ 0 )( 2 1 xdtRKKQCCxJ TTT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ RICCATI Đặt R = Γ T Γ, Γ là ma trận vuông không suy biến Phương trình Lyapunov viết lại là: 0])([])([ 0)()( 111 =+−Γ−ΓΓ−Γ++ =ΓΓ++−+− −−− QPBPBRPBKPBKPAPA KKQBKAPPBKA TTTTTTT TTTTT Lấy đạo hàm phương trình theo k ij và dùng tính chất 0 = ∂ ∂ ij k P Ta suy ra 0)])(())([( 11 =Γ−ΓΓ−Γ ∂ ∂ −− PBKPBK k TTTTT ij Cực tiểu xảy ra khi số hạng trong ngoặc là 0 PBRPBK PBK TTT TT 111 1 )( )( −−− − =ΓΓ= Γ=Γ Phương trình Lyapunov trở thành phương trình đại số Riccati 0 1 =+−+ − QPBPBRPAPA TT VÍ DỤ1 kyu dtuyJ uyy −= ∫ += +−= ∞ 0 22 )( Các thông số của bài toán: A = -1, B = 1, Q = 2, R = 2 Phương trình Riccati A T P + PA - PBR -1 B T P + Q = 0 -P – P - 0.5 P 2 + 2 = 0 Giải phương trình bậc hai theo P và chọn nghiệm dương )12(2 −= P Luật điều khiển tối ưu : )()12()()( 1 tytPyBRtu T −−=−= − Phương trình hệ kín: )(2)( tyty −= VÍ DỤ2 [ ] xy uxx 01 1 0 00 10 = + = Tìm luật điều khiển u duy trì x 1 = r, x 2 = 0 u = - k 1 (x 1 -r) - k 2 x 2 cực tiểu chỉ tiêu ∫ +−= ∞ 0 22 1 ))(( dturxJ Đặt biến mới 22 11 ~ ~ xx rxx = −= 2; 00 02 = = RQ Phương trình Riccati: A T P + PA - PBR -1 B T P + Q = 0 VÍ DỤ2 [ ] = + − + 00 00 00 02 10 2 1 1 0 00 10 01 00 2212 1211 2212 1211 2212 1211 2212 1211 pp pp pp pp pp pp pp pp 02 2 0 2 02 2 12 2 22 2212 11 2 12 =+− =− =+− p p pp p p Cuối cùng : 2121 1 2)()( ~ 2)( ~ )( ~ 222 222 xrxtxtxtxPBRu P T −−−=−−=−= = − VÍ DỤ 3 Điều khiển tối ưu với tích phân Trở lại ví dụ 1 ta muốn thêm vào khâu tích phân để tính chống nhiễu tốt hơn kyu dtuyJ uyy −= ∫ += +−= ∞ 0 22 )( Đặt biến mới z(t) 2, 20 02 0 1 , 01 01 )( )()( 21 0 222 = = = − = −−= ∫ ++= = +−= ∞ RQ BA zkyku dtuzyJ tytz uyy [...]... + 0.7071i -0.7071 - 0.7071i MATLAB Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 2 >> ptttk = ss (A - B*k, B*k(1,1), C, 0) >> t = 0:0.1:10; 5 4 3 >> r = 2*ones (size(t)); >> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]); >> plot (t, y) >> hold on 2 1 0 -1 -2 >> u = -k*x' + k (1,1) *r; -3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> plot(t,u) Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 0 5 >> ptttk = ss...VÍ DỤ 3 Điều khiển tối ưu với tích phân Phương trình Riccati −1 1 p11 p12 p11 + 0 0 p p22 p12 12 p − 11 p12 p12 1 1 02 [1 p22 p12 −1 p22 1 p 0] 11 p12... đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 0 5 >> ptttk = ss (A - B*k,[0; 0], C, 0) 4 3 >> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]); >> plot (t, y) >> hold on 2 1 0 -1 -2 >> u = -k*x‘; >> plot (t,u) -3 -4 -5 0 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU HỆ RỜI RẠC x ( k +1) = Fx (k ) + Gu (k ); x (0) = x 0 y ( k ) = Cx (k ) [ 1 ∞ T J = ∑ x (k )Qx (k ) + u T (k ) Ru (k ) 2 k =0 u ( k ) = −Kx (k ) ] Phương trình Riccati rời rạc P = Q + F... P =3 K =2 / 3 1/s VÍ DỤ 7 • Điêù khiển đối tượng 1/(s+1) với tín hiệu đặt yr = hằng số, cực tiểu 1 ∞ ~2 ~ J = ∑ y ( k ) +u 2 ( k )] [ 2 k =0 G(z)=0.632/(z-0.368) y(k+1)=0.368y(k)+0.632u(k) F=0.368, G=0.632, Q=1, R=1 Phương trình Riccati: P=Q+FTPF-FTPG (R+GTPG) -1 GTPF =1+0.135P-0.054P2/(1+0.4P) P=1.11 K= (R+GTPG) -1 GTPF=0.18 1/N=-C(F-GK-1) -1 G N=1.18 VÍ DỤ 8 • Điêù khiển con lắc ngược, vơí pttt tuyến... 8 • Điêù khiển con lắc ngược, vơí pttt tuyến tính hóa 0 4.4537 A= 0 − 0.5809 x = θ θ z [ 1 0 0 0 − 0.3947 0 0 0 , b = 0 0 0 1 0 0 0 0.9211 z ] T Tính luật điều khiền trạng thái vớí khâu tích phân, cực tiểu [ 1 ∞ T T ∑ x (k )Qx(k ) + u (k ) Ru (k ) 2 k =0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Q = 0 0 100 0 0, R = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 J= ] • • • . )12(2 −= P Luật điều khiển tối ưu : )()12()()( 1 tytPyBRtu T −−=−= − Phương trình hệ kín: )(2)( tyty −= VÍ DỤ2 [ ] xy uxx 01 1 0 00 10 = + = Tìm luật điều khiển u duy. = 2.8284 2.0000 2.0000 2.8284 e = -0.7071 + 0.7071i -0.7071 - 0.7071i MATLAB Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 2 >> ptttk = ss (A - B*k, B*k(1,1), C, 0) >> t = 0:0.1:10; >>. -k*x' + k (1,1) *r; >> plot(t,u) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 0 >> ptttk = ss (A - B*k,[0; 0], C, 0) >> [y, t, x]