sở giáo dục và đào tạo Hải dơng kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2009 - 2010 Môn thi: toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Ngày 08 tháng 07 năm 2009 (buổi chiều) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Giải phơng trình: x 1 x 1 1 2 4 + + = b) Giải hệ phơng trình: x 2y x y 5 = = Câu 2: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: ( ) 2 x 2 x A x 4 x 2 = + + với x 0 và x 4 b) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm 2 . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. Câu 3: (2,0 điểm) Cho phơng trình x 2 - 2x + (m - 3) = 0 (ẩn x) a) Giải phơng trình khi m = 3. b) Tính giá trị của m, biết phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x và thỏa mãn điều kiện: 2 1 2 1 2 x 2x x x 12 + = Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác MNP cân tại M có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O; R). Tiếp tuyến tại N và P của đờng tròn lần lợt cắt tia MP và tia MN ở E và D. a) Chứng minh: NE 2 = EP.EM b) Chứng minh: Tứ giác DEPN là tứ giác nội tiếp. c) Qua điểm P kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt đờng tròn (O) tại điểm K (K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN 2 + NK 2 = 4R 2 Câu 5: (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 2 6 8x A = x 1 + Hết Họ, tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: Sở giáo dục và đào tạo Hải d ơng Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học 2009 2010 Môn: Toán hớng dẫn chấm Đề thi chính thức I) H ớng dẫn chung: - Thí sinh làm bài theo cách riêng nhng đáp ứng đợc với yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đợc thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) Đáp án và thang điểm: Câu Đáp án Điểm 1 a) 2.(x 1) 4 x 1 + = + 0,5 Phơng trình có nghiệm: x 1= 0,5 b) x 2y 2y y 5 = = 0,5 Hệ phơng trình có nghiệm là (x; y) = (10; 5) 0,5 2 a) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x A x 2 x 2 x 2 = + + + 2 x x 2 x 2 = + + + 0,5 x 2 1 x 2 + = = + 0,5 b) Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x cm (x > 0) Chiều dài hình chữ nhật là (x + 2) cm. 0,25 Theo bài ra ta có phơng trình: x(x + 2) = 15 0,25 2 x 2x 15 0 + = Ta đợc nghiệm x 1 = 3 (thỏa mãn), x 2 = -5 (loại) 0,25 Vậy chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật lần lợt là 3 cm, 5 cm. 0,25 3 a) Khi m = 3 ta có phơng trình x 2 - 2x = 0 0,5 Tìm đợc nghiệm: x = 0 hoặc x = 2 0,5 b) Phơng trình x 2 - 2x + (m - 3) = 0. Để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì: ' 0 1 m 3 0 m 4 > + > < 0,25 Khi đó 1 2 1 2 x x 2, x x m 3+ = = 0,25 Từ 2 1 2 1 2 1 1 2 2 x 2x x x 12 x (x x ) 2x 12 + = + = 1 2 1 2 2x 2x 12 x x 6 = = Kết hợp với 1 2 x x 2+ = ta đợc x 1 = -2, x 2 = 4 0,25 Từ 1 2 x x m 3 m 3 8 m 5= = = (thỏa mãn) Vậy m = - 5 0,25 4 a) Vẽ hình đúng 0,5 Ta có ã ã NMP ENP = (Góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung NP) 0,25 MEN và NEP có: ã ã NMP ENP = , góc NEM chung MEN đồng dạng với NEP 0,5 b a O y x E D P N M 2 NE ME NE ME.EP EP NE = = 0,25 b) Do tam giác MNP cân tại M nên MN = MP ẳ ẳ MaN MbP = Mặt khác ã ẳ 1 MNx sđMaN 2 = , ã ẳ 1 MPy sđMbP 2 = ã MPy ã MNx= 0,25 Lại do ã ã MPy DPE= (đối đỉnh), ã ã MNx DNE= (đối đỉnh) 0,25 ã DPE = ã DNE tứ giác DNPE nội tiếp. 0,25 c) A K O E D P N M Kẻ đờng kính KA ã 0 KPA 90 AP KP = mà KP MN MN //PA ã NMP = ã MPA ẳ ằ ẳ ẳ ã ã MA NP MAP NPA MNP NMA = = = NA = MP, mặt khác MP = MN MN = NA. 0.5 Tam giác KNA vuông ở N KN 2 + NA 2 = KA 2 KN 2 + MN 2 = 4R 2 0,25 5 Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2 6 8x 2x 2 2x 8x 8 A = 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + + + = = + = + + + + + + A 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A = - 2 khi x = 2. 0,25 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 x 1 2 2x 1 2 2x 1 6 8x 8x 8 8x 8x 2 A = 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + + + + = = = + + + + + A 8 . Vậy giá trị lớn nhất của A = 8 khi x = 1 2 . 0,25 0,25 híng dÉn chÊm M«n To¸n C©u §¸p ¸n §iÓm 1 a) 2.(x 1) 4 x 1− + = + 0,5 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x 1= − 0,5 b) x 2y 2y y 5 = − = 0,5 Hệ phơng trình có nghiệm là (x; y) = (10; 5) 0,5 2 a) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x A x 2 x 2 x 2 = + + + 2 x x 2 x 2 = + + + 0,5 x 2 1 x 2 + = = + 0,5 b) Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x cm (x > 0) Chiều dài hình chữ nhật là (x + 2) cm. 0,25 Theo bài ra ta có phơng trình: x(x + 2) = 15 0,25 2 x 2x 15 0 + = Ta đợc nghiệm x 1 = 3 (thỏa mãn), x 2 = -5 (loại) 0,25 Vậy chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật lần lợt là 3 cm, 5 cm. 0,25 3 a) Đờng thẳng y = 2x + (3 - m) đi qua A(-3; 1) nên ta có: 1 = 2.(-3) + (3 - m) 0,5 Giải và kết luận đúng: m = - 4 0,5 b) Giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ 2 y = 2x + (3 - m) y=x Ta suy ra x 2 - 2x + (m - 3) = 0. 0,25 Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì ' 0 1 m 3 0 m 4 > + > < Khi đó 1 2 1 2 x x 2, x x m 3+ = = 0,25 Từ 2 1 2 1 2 1 1 2 2 x 2x x x 12 x (x x ) 2x 12 + = + = 1 2 1 2 2x 2x 12 x x 6 = = Kết hợp với 1 2 x x 2+ = ta đợc x 1 = -2, x 2 = 4 0,25 Từ 1 2 x x m 3 m 3 8 m 5= = = (thỏa mãn) Vậy m = - 5 0,25 4 a) a) Vẽ hình đúng 0,25 Ta có: ã 0 CAB 90= (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) 0,25 ã ã 0 AEH AKH 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm I) 0,5 Vậy tứ giác AKHE là hình chữ nhật 0,25 b) Tam giác vuông AHC có đờng cao HE nên HC 2 = EC.AC Tam giác vuông AHB có đờng cao HK nên HB 2 = BK.AB (HB.HC) 2 = EC.AC.BK.AB 0,5 Tam giác vuông ABC có đờng cao AH nên AH 2 = HB.HC AH 4 = EC.AC.BK.AB 0,25 Do AKHE là hình chữ nhật nên AH = EK EK 4 = EC.AC.BK.AB 0,25 c) Vẽ Ax là tiếp tuyến của đờng tròn (O), khi đó ta có: ã ã ằ 1 xAB ACB = sđAB 2 = ữ . Mặt khác ã ã HAB ACB = (cùng phụ với góc CAH) ã xAB = ã HAB Do IA = IK AKI cân tại I ã HAB = ã IKA ã xAB = ã IKA KI//Ax (1) 0,25 Do Ax AO (Ax là tiếp tuyến của (O)) KI AO. Do IA = IM, OA = OM nên OI là trung trực của MA OI MA OI MN Tam giác ANO có OI MN, AI NO I là trực tâm NI AO. Vì KI AO, NI AO N, K, I thẳng hàng (2) Từ (1), (2) NK//Ax 0,5 5 Đặt n 19 = p, n - 48 q (p,q N)+ = . 2 2 p n 19, q n 48 (p q)(p q) 67 = + = + = 0,5 p q 1 p 34 vì 67 là số nguyên tố, p > q và p + q > p - q nên p q 67 q 33 n 1137 = = + = = = 0,5 A K O P N M . tại hai điểm phân biệt thì ' 0 1 m 3 0 m 4 > + > < Khi đó 1 2 1 2 x x 2, x x m 3+ = = 0,25 Từ 2 1 2 1 2 1 1 2 2 x 2x x x 12 x (x x ) 2x 12 + = + = 1 2 1 2 2x 2x 12 x. có hai nghiệm phân biệt thì: ' 0 1 m 3 0 m 4 > + > < 0,25 Khi đó 1 2 1 2 x x 2, x x m 3+ = = 0,25 Từ 2 1 2 1 2 1 1 2 2 x 2x x x 12 x (x x ) 2x 12 + = + = 1 2 1 2 2x. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 x 1 2 2x 1 2 2x 1 6 8x 8x 8 8x 8x 2 A = 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + + + + = = = + + + + + A 8 . Vậy giá trị lớn nhất của A = 8 khi x = 1 2 . 0,25 0,25 híng dÉn