Tai sao thieu nghiệm, tại sao thừa nghiệm

Lờ Trng Chõu TI SAO THIU NGHIM ? Vi bi toỏn : Tỡm tt c cỏc s õm x v y tha món : (x 2 + y 2 ) (x 2 + 1) = 4x 2 y Mt hc sinh ó gii nh sau : Ta cú : (x - y) 2 0 tng ng x 2 + y 2 2xy (*) Du bng xy ra khi v ch khi x = y. (x - 1) 2 0 tng ng x 2 + 1 2x (**) Du bng xy ra khi v ch khi x = 1. Vỡ 2 v ca (*) v (**) khụng õm nờn (x 2 + y 2 )(x 2 + 1) 2xy.2x . Du bng xy ra Tc l : x = y =1 thỡ (x 2 + y 2 )(x 2 + 1) = 4x 2 y. Vy ch khi x = y v x = 1. Tc l x = y = 1 thỡ (x 2 + y 2 )(x 2 + 1) = 4x 2 y. Nhng ta thy x = y = 0 cng tha món iu kin u bi y ch ? Vy ti sao li gii trờn li thiu nghim ? Nhận xét: - Đ ra in thiu mt t quan trng v cần sa li ú l : Tỡm tt c cỏc s khụng õm x, y tha món (x 2 + y 2 ) (x 2 + 1) = 4x 2 y. Chỗ ớch ỏng sai lm ca li gii làTi sao thiu nghim? Chúng ta cần lu ý rng : Nu a b 0 v c d 0 thỡ ac bd. Nhng khụng th lp lun rng ac = bd tng ng vi a = b v c = d , bi vỡ nu a = b = 0 thỡ õu cn c = d na ! Cỏi sai ca li gii chớnh l mt xớch ny. - Lp lun ỳng phi l : ac = bd T ú ta cú thờm nghim x = y = 0 v phng trỡnh ch cú 2 nghim khụng õm m thụi. Xin gii thiu mt cỏch gii khỏc : Cú th vit phng trỡnh v dng : (x 2 + 1)y 2 - 4x 2 y + x 2 (x 2 + 1) = 0 . Ta cú y = 4x 4 - x 2 (x 2 + 1) 2 = - x 2 (x 2 - 1)2 0 vi mi x. Do ú x, y tha món phng trỡnh : Nh vy ta ó tỡm c tt c cỏc nghim ca phng trỡnh. TI SAO THA NGHIM ? Một số hc sinh ó gii phng trỡnh nh sau : iu kin : Lê Trọng Châu Rõ ràng x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho. Với x ≠ 0 : x = 6 và x = - 10/3 đều thỏa mãn điều kiện. Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là : -Kiểm tra trực tiếp, ta thấy trong tập hợp trên có một giá trị không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Hãy cho biết giá trị đó và nguyên nhân dẫn đến thừa nghiệm trong lời giải trên ? * NhËn xÐt: Không cần thử lại các giá trị của x cũng phát hiện ra điểm mấu chốt của sai lầm chính là : Lưu ý rằng : chỉ khi a ≥ 0 và b ≥ 0. Do đó biến đổi trên chỉ thực hiện được với điều kiện x ≥ 5. Bởi vậy giá trị x = -10/3 phải bị loại và đây chính là nghiệm “từ trên trời rơi xuống” ! Để giải đúng phương trình này chỉ cần xét riêng từng khả năng x ≥ 5 ; x ≤ -3. Với x ≤ -3 thì : Vì x ≤ -3 nên Do đó khả năng này cũng vô nghiệm. Tóm lại : Phương trình có đúng hai nghiệm x = 0 và x = 6. . hợp nghiệm của phương trình là : -Kiểm tra trực tiếp, ta thấy trong tập hợp trên có một giá trị không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Hãy cho biết giá trị đó và nguyên nhân dẫn đến thừa. vy ta ó tỡm c tt c cỏc nghim ca phng trỡnh. TI SAO THA NGHIM ? Một số hc sinh ó gii phng trỡnh nh sau : iu kin : Lê Trọng Châu Rõ ràng x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho. Với x ≠ 0 : x. chính là nghiệm “từ trên trời rơi xuống” ! Để giải đúng phương trình này chỉ cần xét riêng từng khả năng x ≥ 5 ; x ≤ -3. Với x ≤ -3 thì : Vì x ≤ -3 nên Do đó khả năng này cũng vô nghiệm. Tóm