Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 53 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
53
Dung lượng
1,78 MB
Nội dung
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chủ đề 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC 1. Chứng minh rằng: 50 1 28 1 27 1 26 1 50.49 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 ++++=++++ Hướng dẫn: Đặt A = 50.49 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 ++++ Dễ thấy : A= 50 1 49 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 −++−+−+− . Do đó: A= ++++−++++++ 50 1 6 1 4 1 2 1 2 50 1 49 1 4 1 3 1 2 1 1 1 = ++++−++++++ 25 1 3 1 2 1 1 1 50 1 49 1 4 1 3 1 2 1 1 1 = 50 1 28 1 27 1 26 1 ++++ 2. Cho a,b,c. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 -3abc= (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab+bc-ca) ( THI HSG TPHCM 1998-1999 VÒNG 2) Hướng dẫn: Thay a 3 +b 3 = (a+b) 3 -3ab(a+b) Biến đổi vế trái thành: (a+b) 3 -3ab(a+b)+c 3 -3abc=[(a+b) 3 +c 3 ]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[ (a+b) 2 -c (a+b)+ c 2 ]- 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a 2 +2ab+b 2 -ca-cb+c 2 -3ab) =(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab -bc-ca) 3. Chứng minh rằng nếu a+b+c=abc và 2 111 =++ cba thì 2 111 222 =++ cba . Hướng dẫn: Ta có 2 111 =++ cba Bình phương 2 vế ta có: 4 111 2 111 222 = +++++ cabcab cba ⇔ ( ) 4 2111 222 = ++ +++ abc cba cba ⇔ 2 111 222 =++ cba Vậy nếu a+b+c=abc và 2 111 =++ cba thì 2 111 222 =++ cba 4. Cho 1= + + + + + ba c ac b cb a . Chứng minh rằng : 0 222 = + + + + + ba c ac b cb a THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Hướng dẫn: Nhân hai vế của 1= + + + + + ba c ac b cb a với a+b+c , ta được: ( ) ( ) ( ) cba ba bacc ac acbb cb cbaa ++= + ++ + + ++ + + ++ 222 nên: cbac ba c b ac b a cb a ++=+ + ++ + ++ + 222 Vậy 0 222 = + + + + + ba c ac b cb a 5. Cho a,b,c là ba số khác không và từng đôi một khác nhau cho a+b+c=0. Chứng minh rằng: 9= − + − + − − + − + − c ba b ac a cb ba c ac b cb a Hướng dẫn: Đặt x= c ba z b ac y a cb − = − = − ,, Ta có: ( ) z yx y xz x zy zyx zyx + + + + + += ++++ 3 111 Mà: ( ) ( ) bc cbcba cb a bc babacc cb a c ba b ac cb a x zy 2222 −−− − = −+− − = − + − − = + = ( )( ) ( ) bc cbaa cb cbacb cb a −− = −−− − . . Mà a+b+c=0 ⇒ a –b –c = 2a Vậy bc a x zy 2 2 = + Tương tự, ab c z yx ac b y xz 22 2 , 2 = + = + , Tóm lại ta có abc cba ab c ca b bc a z yx y xz x zy 333222 .22 ++ = ++= + + + + + Biết a=-(b+c)⇒ a 3 =-(b+c) 3 =-[b 3 +c 3 +3bc(b+c)]⇒ a 3 =-(b 3 +c 3 )+3abc Hay : a 3 +b 3 +c 3 = 3abc Vậy : 6 6 y z z x x y abc x y z abc + + + + + = = Do đó : ( ) 9 111 = ++++ zyx zyx 6. Chứng minh rằng nếu: x= ; ba ba + − y= cb cb + − , z= ac ac + − thì : (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ( THI HSG TP. HỒ CHÍ MINH 1987-1988 VÒNG 1) Hướng dẫn: Ta có: (1+x)(1+y)(1+z)= + − + + − + + − + ac ac cb cb ba ba 111 THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC = ac acac cb cbcb ba baba + −++ + −++ + −++ = ac c cb b ba a +++ 2 . 2 . 2 = ( )( )( ) accbba abc +++ 8 (1-x)(1-y)(1-z)= + − − + − − + − − ac ac cb cb ba ba 111 = ac acac cb cbcb ba baba + +−+ + +−+ + +−+ = ac a cb c ba b +++ 2 . 2 . 2 = ( )( )( ) accbba abc +++ 8 Vậy: (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) 7. Cho a, b, c là 3 số thực khác nhau . Chứng minh rằng: 1 −= − + − + + − + − + + − + − + ba ab ac ca ab cb ac ca cb cb ba ba Hướng dẫn: Đặt x= ba a x ba ba − =+⇒ − + 2 1 và x-1= ba b − 2 y= cb b y cb cb − =+⇒ − + 2 1 và y-1= cb c − 2 z= ac c z ac ac − =+⇒ − + 2 1 và z-1= ac a − 2 ⇒(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ⇒ xy+yz+zx=-1 ⇒ ĐPCM 8. Cho a,b, c đôi một khác nhau. Chứng minh: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1−= −− + −− + −− cbba ca baac bc accb ab Hướng dẫn: Đặt : x= cb a − , y= ac b − , z= ba c − ⇒(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ⇒ xy+yz+zx=-1 ⇒ ĐPCM 9. Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện 111 22 =−+− xyyx . Chứng minh rằng: x 2 +y 2 =1 Hướng dẫn: Điều kiện: 11;11 ≤≤−≤≤− yx Ta có: 111 22 =−+− xyyx ( ) ( ) ( )( ) 111211 222222 =−−+−+−⇒ yxxyxyyx ( )( ) 01112 22222222 =−−−+−+−⇒ yxxyyxyyxx ( )( ) ( )( ) 011211 222222 =−−−+−−⇒ yxxyyxyx ( ) ( ) ( )( ) 011211 2222222 =−−−+−−− yxxyyxxyx ( )( ) ( )( ) 011211 222222 =−−−+−−⇒ yxxyyxyx ( )( ) ( ) ( )( ) 011011 22 2 22 =−−−⇒=−−−⇒ xyyxxyyx ( )( ) ( )( ) 11 1111 22222222 222222 =+⇒=+−−⇒ =−−⇒=−−⇒ yxyxyxyx yxyxxyyx THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10. Chứng minh rằng: Nếu ta có : d c b a = thì 44 44 4 dc ba dc ba + + = − − ( THI HSG MIỀN BẮC 1969-1970) Hướng dẫn: Ta có d c b a = ⇔ d b c a = p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : dc ba d b c a − − == ⇒ 4 4 4 4 4 − − == dc ba d c b a (1) Ta lại có : 44 44 4 4 4 4 dc ba d b c a + + == (2) Từ (1) và (2) ⇒ 44 44 4 dc ba dc ba + + = − − 11. Chứng tỏ rằng nếu ta có: c xyz b zxy a yzx − = − = − 222 thì suy ra được : z abc y cab x bca − = − = − 222 ( THI HSG MIỀN BẮC 1971-1972) Hướng dẫn: Ta đặt : c xyz b zxy a yzx − = − = − 222 = k ⇒a = k yzx − 2 , b = k zxy − 2 , c = k xyz − 2 Ta có : x k xyz k zxy k yzx x bca −− − − = − 22 2 2 2 . ⇔ 2 3332 3 k xyzzyx x bca −++ = − (1) Tương tự ta có : 2 3332 3 k xyzzyx y cab −++ = − (2) 2 3332 3 k xyzzyx z abc −++ = − (3) Từ (1), (2) và (3) ⇒ĐPCM 12.Cho A = 100.99 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 ++++ Chứng minh rằng: 6 5 12 7 << A Hướng dẫn: Trước hết ta biến đổi A thành 100 1 53 1 52 1 51 1 ++++ . Do đó: A= ++++ +++ 100 1 77 1 76 1 75 1 52 1 51 1 THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Ta có : 75 1 52 1 51 1 >>> ; 100 1 77 1 76 1 >>> A> 12 7 4 1 3 1 25. 100 1 25. 75 1 =+=+ A< 6 5 3 1 2 1 25. 73 1 25. 50 1 25. 76 1 25. 51 1 =+=+<+ Vậy : 6 5 12 7 << A 13.a) Cho b∈N, b>1. Chứng minh rằng: bb b bb 1 1 11 1 11 2 − − << + − b) Cho S = 2222 9 1 4 1 3 1 2 1 ++++ . Chứng minh rằng: 9 8 5 2 << S Hướng dẫn: a) Ta có: ( ) ( ) 2 1 . 1 1. 1 1. 1 1 11 b bbbbbb bb bb =< + = + −+ < + − Vậy : 1 111 2 + −> bb b (1) Chứng minh tương tự ta được: 2 1 1 1 1b b b < − − (2) Từ (1) va ø(2) suy ra ĐPCM a) p dụng công thức : bb b bb 1 1 11 1 11 2 − − << + − Ta có 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 −<<− 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 −<<− . . . . . . . . . . . . . 9 1 8 1 9 1 10 1 9 1 2 −<<− ⇒ 9 1 1 10 1 2 1 −<<− S Vậy : 9 8 5 2 << S 14. Chứng minh rằng nếu các số nguyên dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 9 111 ≥++ cba (THI HSG TP.HCM 1988-1989 VÒNG 2) Hướng dẫn: Ta có: ( ) b c a c c b a b c a b a cba cba cba ++++++= ++++=++ 3 111111 922233 =+++≥ ++ ++ ++= b c c b a c c a a b b a THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC ⇒ 9 111 ≥++ cba 15. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn bất đẳng thức: 10x 2 +20y 2 +24xy+8x-24y+51≤ 0. ( THI HSG TP.HCM 1991-1992 VÒNG 1) Hướng dẫn : Ta có: 10x 2 +20y 2 +24xy+8x-24y+51≤ 0 ⇔(9x 2 + 24xy +16y 2 )+(x 2 +8x+16)+(4y 2 -24y+36)≤1 ⇔(3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 ≤1 Vì x,y là các số nguyên ⇒ (3x+4y) 2 ∈N , (x+4) 2 ∈N , 4(y-3) 2 ∈N ⇒(3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 ∈N ⇒(3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 =0 (1 ) hoặc (3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 =1 (2 ) Ta có: (1) ⇔ =− =+ =+ 03 04 043 y x yx ⇔ = −= 3 4 y x (2) ⇔ ( ) ( ) =− =+ =+ =− =+ =+ 03 14 043 03 04 143 2 2 y x yx y x yx không tìm được x,y Vậy x=-4 và y=3 thoả mãn 16.Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) c) a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) d) a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 Hướng dẫn: a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b ⇔ 2a 2 +2b 2 +2≥ 2ab+2a+2b ⇔(a 2 -2ab+b 2 )+(a 2 -2a+1)+(b 2 -2b+1) ≥ 0 ⇔( a-b) 2 +(a-1) 2 +(b-1) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b với mọi a,b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) ⇔ a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 -a(b+c+d+e)≥ 0 ⇔ 0 4444 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ +−+ +−+ +−+ +− eae a dad a cac a bab a ⇔ 0 2222 2222 ≥ −+ −+ −+ − e a d a c a b a Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC c) a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) ⇔ a 3 +b 3 - ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b) 2 (a 2 -2ab+b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a+b) 2 (a-b) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) d) a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 ⇔ (a 4 - a 3 b )+(b 4 -ab 3 ) ≥ 0 ⇔ a 3 (a- b )+b 3 (b-a) ≥ 0 ⇔ (a- b )( a 3 - b 3 ) ≥ 0 ⇔ (a- b ) 2 ( a 2 +ab+ b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a- b ) 2 + + 4 3 2 2 2 bb a ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 17.Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc Hướng dẫn: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) ⇔ 2(a+b+c) 2 ≥ 6(ab+bc+ca) ⇔ 2a 2 +2b 2 +2c 2 +4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca≥ 0 ⇔ (a-b) 2 +(a-c) 2 +(b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc ⇔ a 2 +a 2 b 2 +b 2 +b 2 c 2 +c 2 +c 2 a 2 -6abc≥ 0 ⇔ (a-bc) 2 +(b-ac) 2 +(c-ab) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc 18.a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 Hướng dẫn : a) a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 ⇔ 2(a 4 +b 4 ) ≥ ( a 3 +b 3 )(a+b) ⇔ (a-b) 2 0 4 3 2 2 2 ≥ + + b b a Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b = 2 1 b) a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 ⇔3 ( a 4 +b 4 +c 4 ) ≥ ( a 3 +b 3 + c 3 )(a+b+c) ⇔ ( ) ( ) ( ) 0 4 3 24 3 24 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ + +−+ + +−+ + +− a a cacc c bcbb b aba 19.Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng: 21 < + + + + + < ca c cb b ba a Hướng dẫn: Do a,b,c> 0 nên: ( ) ( ) ( )a a b ac a a b a b c a a b< + ⇒ + + < + + + THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC ( ) ( ) ( ) a a c a a b c a b a c a b a b c + ⇒ + + < + + ⇒ < + + + Tương tự ta cũng chứng minh được: cba ba ca a cba ba cb b ++ + < +++ + < + , Ta có : cba ca ba a cba a ++ + < + < ++ (1) cba ba cb b cba b ++ + < + < ++ (2) cba cb ca c cba c ++ + < + < ++ (3) Cộng từng vế của (1) , (2) và (3) ta được : 21 < + + + + + < ca c cb b ba a 20.Cho 4 số dương a,b, c . Chứng minh : 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a Hướng dẫn: Ta có : ca a cba a dcba a + < ++ < +++ db a dcb b dcba b + < ++ < +++ ……………………………………………… Sau đó cộng từng vế của BĐT 21. Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì: a) cba c ab b ac a bc ++≥++ b) 2 cba ac ca cb bc ba ab ++ ≤ + + + + + c) cabcab a c c b b a ++≥++ 333 Hướng dẫn: a) c b a a b c b ac a bc 2≥ +=+ (do a,b,c>0 ) Tương tự: a c ab b ac 2≥+ , b a bc c ab 2≥+ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên b) p dụng bất dẳng thức yxxy yx + ≥ + 4 với x,y >0 , ta có : 4 ba ba ab + ≤ + , 4 cb cb bc + ≤ + , 4 ac ac ca + ≤ + , Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên c) Ta có: a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) với a,b>0 THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC ⇒ ( ) baab b a +≥+ 2 3 Tương tự : ( ) cbbc c b +≥+ 2 3 , ( ) caca a c +≥+ 2 3 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên 22. Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì: a. a b b a a b b a +≥+ 2 2 2 2 b. cba a c c b b a ++≥++ 222 c. 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + Hướng dẫn: a. Ta có: A= ++ +− += +− + a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Do a,b>0 nên A≥ 01122 22 2 2 2 2 ≥ −+ −=+ +− + a b b a a b b a a b b a b. Xét : a b ab b ba b b a 2 2 222 =≥ + =+ (do a,b>0 ) Tương tự: bc c b 2 2 ≥+ , ca a c 2 2 ≥+ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh c. Xét : ( ) ( ) ( ) ( ) a cb cba cb cbacb cb a = + + ≥ + ++ = + + + 4 4 )(4 2 4 22 2 (do b,c>0) Tương tự: b ac ac b ≥ + + + 4 2 , c ba ba c ≥ + + + 4 2 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ⇒ ĐPCM 23.Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2 và ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: 0≤a,b,c≤ 3 4 Hướng dẫn: a+b+c=2 ⇒2-a=b+c ⇒(2-a) 2 =(b+c) 2 ≥ 4bc =4[1-a(b+c)]=4[1-a(2-a)] ⇒(2-a) 2 ≥ 4(a-1) 2 ⇒ a(3a-4)≤ 0 ⇒0≤ a ≤ 3 4 Làm tương tự cho b và c. 24.Cho a, b,c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh : a 2 +b 2 +c 2 ≤ 6 Hướng dẫn: THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Ta có -1 ≤ a,b,c ≤ 2 ⇒ a+1≥ 0 và a-2 ≤ 0 ⇒(a+1)(a-2) ≤ 0 ⇒ a 2 -a-2 ≤ 0 ⇒ a 2 ≤ a+2 Tương tự, ta có b 2 ≤ b+2; c 2 ≤ c+2 ⇒ a 2 +b 2 +c 2 ≤ (a+b+c)+6=6 Vậy a 2 +b 2 +c 2 ≤ 6 25. Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn a+b+c=1 Chứng minh : b+c≥ 16abc Hướng dẫn: Cách 1: b+c≥ 16abc ⇔ b+c≥ 16bc(1-b-c) ⇔b+c≥ 16bc-16b 2 c-16bc 2 ⇔16b 2 c+16bc 2 -16bc+b+c≥ 0 ⇔ c(16b 2 -8b+1)+b(16c 2 -8c+1) ≥ 0 ⇔ c(4b-1) 2 +b(4c-1) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra: b+c≥ 16abc Cách 2: Ta có: b+c=(b+c)[a+(b+c)] 2 ≥ (b+c)4a(b+c)=4a(b+c) 2 Mà (b+c) 2 ≥ 4bc ⇒ 4a(b+c) 2 ≥ 4a.4bc= 16abc Vậy: b+c≥ 16abc 26. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab+bc+ca ≤ a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ca) Hướng dẫn : Ta có (a-b) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 -2ab+b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 +b 2 ≥ 2ab (1 ) Tương tự, ta cũng chứng minh được: b 2 +c 2 ≥ 2bc ( 2 ) ; c 2 +a 2 ≥ 2ac (3) Cộng các bất đẳng thức (1) ,(2) và (3) vế theo vế , ta có : 2(a 2 +b 2 +c 2 ) ≥ 2ab+2bc+2ac ⇔ a 2 +b 2 +c 2 ≥ ab+bc+ca ( * ) Mặt khác, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có : +< +< +< bac acb cba ⇔ +< +< +< bccac babcb caaba 2 2 2 Do đó : a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ca) (**) Từ (*) và (**) ⇒ ab+bc+ca ≤ a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ca) 27.Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác . Chứng minh : a) (p-a)(p-b)(p-c) 8 1 ≤ abc b) ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 .2 111 Hướng dẫn: a) p dụng tính chất : (x-y) 2 ≥ 0 ⇔ 4xy ≤ (x+y) 2 ⇔ xy 2 2 + ≤ yx Ta có: (p-a)(p-b) ( ) ( ) 42 2 2 cbpap = −+− ≤ THANH PHÚ – BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC [...]... (p-c)(p-a) ≤ 4 4 Tương tư,ï ta có: (p-b)(p-c) ≤ abc ⇒ [(p-a)(p-b)(p-c)] ≤ 8 2 1 8 ⇒ (p-a)(p-b)(p-c) ≤ abc 2 b)Theo kết quả chứng minh câu a) ta có : c 4 c2 ⇒ ( p − a )( p − b ) ≥ c 4 1 1 2 p − ( a + b) c Mà p − a + p − b = ( p − a )( p − b ) = ( p − a )( p − b ) 1 1 4 Do đó: p − a + p − b ≥ c ( 1) 1 1 4 Tương tự: p − b + p − c ≥ a ( 2) 1 1 4 + ≥ ( 3) p−c p−a b (p-a)(p-b) ≤ Cộng vế với vế ( 1), ... có: (x+ 1)( y+ 1)( z+ 1) = 1 + ( 1) a + b b + c c + a a + b b + c c + a 2c 2c a − b b − c c − a 2b 1 − 1 − = (x- 1)( y- 1)( z- 1) = 1 − ( 2) a + b b + c c + a a + b b + c c + a b) Đặt x = a+b , a −b a −1 1 ≤ ( 1) a 2 b −1 1 ≤ ( 2) b 2 b −1 a −1 + ≤1 b a a ≥ 2 a −1 ⇒ y= Từ ( 1) và ( 2) ⇒(x+ 1)( y+ 1)( z+ 1)= (x- 1)( y- 1)( z- 1) ⇔xy+yz+xz=-1 2 Từ (x+y+z) ≥ 0 ⇒ x2+y2+z2 ≥ -2( xy+yz+xz) = 2... 200 0) Ta có: 3 3 3 a +b a + b ≥ ÷ 2 2 LỜI GIẢI ⇔ 4(a3 + b 3) ≥ (a + b)3 ⇔ (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0 ⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng Đẳng thức xảy ra ⇔ a = ± b 74 Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (ĐHSP TP HCM khối DE 200 0). .. 0 thì (x + 1) 1 2 + + 1÷ x 2 x2 ≥ 16 (CĐKT Cao Thắng khối A 200 6) LỜI GIẢI Ta có: (x + ⇔ (x + 1 2 + + 1÷ 2 x2 x 1) ≥ 1 1) x + 1÷≥ 2 16 ( 1) ⇔ (x + 1 + 1÷ 2 x 1) ≥ 16 4 (do x > 0) ⇔ (x + 1)2 ≥ 4x ⇔ (x – 1)2 ≥ 0 ( 2) ( 2) ln đúng nên ( 1) được chứng minh 65 Cho 3 số dương a, b, c Ch minh rằng: a+b+ c a +b+ c a+b+ c + + ≥9 a b c (CĐKTKTCN1 khối A 200 6) LỜI GIẢI b c a c... VT ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm) 66 Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh: a 2 b +c 2 + b 2 c +a 2 + c 2 2 a +b ≥ 3 3 2 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) LỜI GIẢI Do a2 + b2 + c2 = 1 nên a b2 + c2 = a 1− a 2 = a2 a(1− a2 ) ( 1) 3 2 2 2 Mà 2a (1 – a ) ⇒ a2.(1 – a 2)2 ≤ 3 2a2 + (1− a2 ) + (1− a2 ) 2 ≤ ÷ = ÷ ÷ 3 3 2 4 ⇒ a(1 – a 2) ≤ 3 3 27 Từ ( 1), ( 2) suy ra: Do đó: a 2 b +c... a2+b2+ c2+ d2+ ac+ bd ≥ 3 ( ad – bc) a2+b2+ c2+ d2+ ac+ bd- 3 ad+ 3 bc ≥ 0 a2+b2+ c2+ d2+ a(c- 3 d)+b(d+ 3 c) ≥ 0 (c − a +b + 2 3d 4 ) + (d − 2 3c 4 ) + a(c- 2 ⇔ b) 3 d)+b(d+ 3 c) ≥ 0 2 c − 3d d + 3c a + + b + ≥0 2 2 S =(a+b)2+(c+d)2-(ac+bd) Nếu S= 3 ⇒ (a+b)2+(c+d)2 = 3 + (ac+bd) c − 3d d + 3c và b = − 2 2 2 2 2 − c + 3cd d + 3cd c +d2 − =− ⇒ ac+bd = 2 2 2 2 − cd + 3d cd... PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO LỚP 10 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC ⇒ a (1 − b ) b (1 − c ) c (1 − a ) ≥ 1 64 (* ) 2 1 1 1 mà 0 < a(1-a) = a − a 2 − a − + ≤ a 4 4 1 ⇒ 0 < a(1-a) ≤ 4 1 1 ⇒ Tương tự , 0 < b(1- b) ≤ , 0 < c(1- c) ≤ 4 4 1 Do đó a (1 − b ) b(1 − c ) c(1 − a ) ≤ mâu thuẩn với 64 ( *) Vậy có ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là sai 40 Cho a,b,c là... c 2 c + ac + a 2 a) Chứng minh P = Q b) Chứng minh P ≥ a+b+c 3 Hướng dẫn : a) Đẳng thức đã cho tương đương với : a3 − b3 b3 − c3 c3 − a3 + 2 + 2 =0 a 2 + ab + b 2 b + bc + c 2 c + ca + a 2 ⇔ (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 b) Từ a) ta có : ( đúng ) a3 + b3 c3 + b3 c3 + a3 + 2 + 2 a 2 + ab + b 2 b + bc + c 2 c + ca + a 2 2 2 2 2 2 2 ( a + b ) a 2 − ab + b 2 + ( b + c ) b 2 − bc + c 2 + ( c + a ) c 2 − ca + a 2 =... dẫn a) XÐt hiƯu H = x + y 4 + z 2 + 1 − 2 x 2 y 2 + 2 x 2 − 2 xz − 2 x 2 = ( x 2 − y 2 ) + ( x − z ) 2 + ( x − 1) 2 H ≥ 0 ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thĨ viÕt H = ( a − 2b + 1) 2 + ( b − 1) 2 + 1 ⇒ H > 0 ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh c) VÕ tr¸i cã thĨ viÕt H = ( a − b + 1) 2 + ( b − 1) 2 ⇒ H ≥ 0 ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh 4 54 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng (x ) 2 + y2 ≥8 ( x − y) 2 2... vµ xy =1 Chøng minh r»ng (x ) 2 + y2 ≥8 ( x − y) 2 2 Hướng dẫn Ta cã x + y = ( x − y ) + 2 xy = ( x − y ) + 2 (v× xy = 1) 2 ⇒ (x 2 + y2 2 ) = ( x − y) 2 2 4 2 + 4.( x − y ) + 4 2 Do ®ã B§T cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi ( x − y ) 4 + 4( x − y ) 2 + 4 ≥ 8.( x − y ) 2 ⇔ ( x − y ) 4 − 4( x − y ) 2 + 4 ≥ 0 2 ⇔ [( x − y ) 2 − 2] ≥ 0 B§T ci ®óng nªn ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh 55 Cho ba sè a,b,c tháa m·n a . = + − − + − − + − − ac ac cb cb ba ba 111 = ac c cb c ba b +++ 2 . 2 . 2 ( 2) Từ ( 1) và ( 2) ⇒(x+ 1)( y+ 1)( z+ 1)= (x- 1)( y- 1)( z- 1) ⇔xy+yz+xz=-1 Từ (x+y+z) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 +y 2 +z 2 ≥ -2( xy+yz+xz) = 2 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ≥ − + + − + + − + ac ac cb cb ba ba 37 có: (p-b)(p-c) 4 2 a ≤ ; (p-c)(p-a) 4 2 b ≤ ⇒ [(p-a)(p-b)(p-c)] 2 2 8 ≤ abc ⇒ (p-a)(p-b)(p-c) abc 8 1 ≤ b)Theo kết quả chứng minh câu a) ta có : (p-a)(p-b) 4 2 c ≤ ⇒ ( )( ) cbpap c. xyyx ( ) ( ) ( )( ) 111211 222222 =−−+−+−⇒ yxxyxyyx ( )( ) 01112 22222222 =−−−+−+−⇒ yxxyyxyyxx ( )( ) ( )( ) 011211 222222 =−−−+−−⇒ yxxyyxyx ( ) ( ) ( )( ) 011211 2222222 =−−−+−−− yxxyyxxyx ( )( )