SKKN đạt GVGH năm 2010

I) Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết: Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở phổ thông là nhằm: - Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh - Bồi dưỡng phương pháp tự học - Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống - Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Trong đó việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập là định hướng căn bản, quan trọng. Và để thực hiện được điều này là cả một quá trình dạy học với sự nổ lực cao thầy và trò. Trên cơ sở định hướng trên, bản thân tôi không ngừng trau dồi học hỏi đồng nghiệp nhằm hoàn thiện hơn phương pháp dạy học của mình, bên cạnh đó từng bước nghiên cứu những dạng toán mà bản thân nhận thấy nó có ảnh hưởng nhiều đến quá trình nhận thức của học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy trong chương trình đại số 8 có một mảng kiến thức rất quan trọng, quan trọng không phải chỉ bởi tính cấu trúc của chương trình mà quan trọng hơn là việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp các em có thể giải quyết nhiều dạng toán khác như: Rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình, . . . dạng toán tôi muốn đề cập trong đề tài này chính là “Phân tích đa thức thành nhân tử”. Tuy nhiên thực tế giảng dạy tôi thấy đa số học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn khi phân tích đa thức thành nhân tử, có rất nhiều nguyên nhân nhưng theo tôi nguyên nhân chủ yếu đối với học sinh có học lực từ trung bình trở xuống là việc các em chưa nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đối với học sinh khá, giỏi thì việc nắm vững những phương pháp cơ bản chưa đủ để các em có thể làm được những bài phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ khó hơn, hệ quả là học sinh chưa có kỹ năng tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy tôi luôn đặt câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tượng học sinh đều nắm vững các phương pháp, trên cơ sở đó các em có thể vận dụng một cách thành thạo phương pháp vào để giải toán từ đó khám phá ra những điều thú vị, những ứng dụng có vai trò quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử”. Bởi lẽ đó trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra hệ thống các phương pháp giải với nhiều những ví dụ cụ thể minh họa cho từng phương pháp, do đó giúp các em thấy được sự đa dạng của từng loại toán. Từ đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, có nhiều hứng thú hơn khi học bộ môn toán. II) THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI  Thuận lợi: - Được sự hỗ trợ hội đồng bộ môn sở giáo dục, phòng giáo dục. - Được sự khuyến khích, động viên của ban giám hiệu, các ban ngành đoàn thể. - Được sự hỗ trợ nhiệt tình của các giáo viên trong tổ. Trang 1 - Sách tham khảo tương đối đầy đủ phục vụ tốt cho việc giảng dạy. - Bản thân giáo viên luôn phấn đấu, trao dồi nghiệp vụ, học hỏi đồng nghiệp đi trước để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy. - Sự hợp tác nhiệt tình của học sinh các trường trong huyện Định Quán và trường THCS Thanh Sơn.  Khó khăn: - Bản thân đã trực tiếp giảng dạy bộ môn toán 8 nhiều năm. - Trường THCS Thanh Sơn là trường nằm ở khu vực vùng sâu, vùng xacòn gặp nhiều khó khăn của huyện Định Quán, đa số các em còn phải phụ giúp cha mẹ trong công việc làm nương rẫy nên thời gian đầu tư cho việc học rất ít dẫn đến việc một số học sinh đến lớp không có sự chuẩn bị tốt. - Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình.  Số liệu thống kê: Qua khảo sát khi chưa áp dụng đề tài tôi khảo sát hai lớp 8 1 , 8 2 của trường, tôi thấy học sinh còn rất lúng túng về phương pháp giải, chưa nắm vững phương pháp giải đối với từng dạng bài, quá trình giải chưa chặt chẽ, chưa kết hợp được các phương pháp, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh, hợp lí. Kết quả đạt được như sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém 8 1 5% 12% 63% 20% 8 2 7% 13% 62% 18%  Phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng học sinh lớp 8, 9 trong trường THCS Thanh Sơn. - Ý kiến tham khảo, đóng góp của các đồng nghiệp và các thầy cô bộ môn phương pháp dạy học. III) Nội dung đề tài 1) Cơ sở lý luận thực tiễn Đối với phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa đưa ra bốn phương pháp phân tích đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp các phương pháp trên. Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp có tính trừu tượng cao khi giảng dạy cần biết kết hợp sự hài hòa khai thác các kiến thức mà các em đã học. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết ứng dụng kiến thức cơ bản khi đã có suy đoán suy luận trong các biến đổi cơ bản, biết tận dụng kết quả cách làm của một bài tập để giải nhiều bài tập tương tự. Muốn vậy thật sự giáo viên không chỉ là giải bài tập đó cho ra kết quả mà dẫn dắt, gợi mở hợp lí để học sinh có thể tự tìm ra một cách giải khác bằng các phương pháp dạy học truyền thống như: Đàm thoại, gợi mở, phân tích, thuyết trình,… đến các phương pháp dạy học hiện đại, phân nhóm, trực quan, nêu vấn đề, phân tích đi lên,… Giáo viên cần linh hoạt theo từng đối tượng học sinh sao cho tất cả các đối tượng của lớp học đều có thể vận dụng và tiếp thu tốt nội dung của bài học. Đồng thời tạo không khí hết sức thoải mái trong đối thoại giao tiếp để tránh ức Trang 2 chế cho các em. Đây là một trong các vấn đề hết sức khó khăn ở lứa tuổi các em. Tiếp nhận kiến thức phải đảm bảo sự “Tự nhiên lĩnh hội” không quá sức, không dồn ép. Đòi hỏi người thầy phải đầu tư thời gian lựa chọn một cách truyền thụ khoa học phù hợp nhất. Như vậy, việc linh hoạt kết hợp các phương pháp giảng dạy trong một tiết dạy là vấn đề hết sức quan trọng đối với người thầy. Thậm chí với một bài dạy, một nội dung tùy theo tình hình thực tế học sinh mỗi lớp, người thầy phải biết điều chỉnh phương pháp truyền thụ sao cho có hiệu quả nhất. Không rập khuôn, cứng nhắc trong từng lớp dạy với những đối tượng hoàn toàn có nhận thức, “sức học” khác nhau. 2) Nội dung, biện pháp thức hiện các giải pháp của đề tài Với mong muốn có được kết quả cao trong việc dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó giúp các em vận dụng bài toán này để giải các bài toán khác thì biện pháp thực hiện xây dựng hệ thống bài tập, phân loại các dạng bài toán gắn với các phương pháp giải cụ thể phù hợp với từng đối tượng học sinh. Muốn thực hiện vấn đề này, giáo viên phải vận dụng đưa ra nhiều bài tập xây dựng định hướng thể loại phương pháp giải phù hợp cho mỗi loại. Từ đó khi vận dụng học sinh có thể dễ dàng phán đoán các thể loại rồi biết cách vận dụng phương pháp phù hợp để thực hiện yêu cầu đề bài. Đối với giáo viên: Đây là phần học mà sách giáo khoa trình bày tóm tắt, ngắn gọn song những ứng dụng của phần kiến thức này trong cả chương trình đại số THCS lại rất rộng (hầu hết các bài tập đều ít nhiều vận dụng đến mảng kiến thức này). Đồng thời do cơ chế ràng buộc bởi hạn chế của phân phối chương trình nên số tiết dạy quá ít (giáo viên không có quyền thay đổi thời lượng tiết dạy theo phân phối của SGD, PGD). Vì vậy đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều công sức, tìm tòi tài liệu, lựa chọn bài tập, tìm hiểu đối tượng tiếp thu, trình độ học sinh, cơ sở vật chất,… Vì lý do khách quan, chủ quan nên giáo viên cần phải thật sự đầu tư thời gian, trí tuệ, sắp xếp một cách khoa học, sáng tạo trong các tiết dạy. Đối với học sinh: Xây dựng cho các em có lòng tin vào khả năng thật sự của chính các em, xác định được mục tiêu của học tập không cứng nhắc lệ thuộc quá nhiều vào sách giáo khoa. Biết độc lập suy nghĩ vận dụng, tin tưởng vào sự dẫn dắt truyền đạt của người thầy, lĩnh hội tiếp thu kiến thức được học, không ỷ lại, không vừa lòng với các cách giải sẵn có. Đặt biệt lỗi lớn nhất của học sinh hiện nay là chủ quan, vừa lòng khi các em đã giải được các bài tập của sách giáo khoa. Nên khi gặp các bài tập khác lại lúng túng trong các cách lập luận và dẫn tới không biết giải. Vì các lý do trên khi thực hiện giải pháp đề tài giáo viên thật sự biết chú trọng khai thác, dẫn dắt, không vội vàng áp đặt để các em hứng thú trong tiếp thu và lĩnh hội kiến thức được truyền thụ. Các phương pháp cơ bản: 1) Phương pháp đặt nhân tử chung: Phương pháp: - Tìm nhân tử chung là đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. Trang 3 - Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. - Viết lại nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết lại các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử còn lại trong dấu ngoặc. Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 2 + 5x 3 + x 2 y b) x(x + y) + 6x + 6y c) 12x 2 y – 4xy 4 + 36x 3 y 2 Giải a) x 2 + 5x 3 + x 2 y = x 2 (1 + 5x + y) b) x(x + y) + 6x + 6y = x(x + y) + (6x + 6y) = x(x + y) + 6(x + y) = (x + y)(x + 6) c) 12x 2 y – 4xy 4 + 36x 3 y 2 = 4xy(3x – y 3 + 9x 2 y) Lưu ý: Xác định các hệ số, các biến có trong đa thức tìm ước chung của các hệ số và lũy thừa bậc nhỏ nhất của biến để xuất hiện nhân tử chung. Việc nhìn ra nhân tử chung ở các đa thức trên không mấy khó khăn. Tuy nhiên, nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đối dấu các hạng tử trong đa thức. Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x(x – y) + 6y(y – x) b) 5x(x – 2000) – x + 2000 Giải a) 4x(x – y) + 6y(y – x) = 4x(x – y) - 6y(x – y) = (x – y)(4x - 6y) = 2(x – y)(2x - 3y) b) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 5x(x – 2000) – (x – 2000) = (x – 2000)(5x – 1) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung? 1) 6x 2 – 9x 3 2) y 2 (x 2 + y) – mx 2 – my 2) 2x(x + 1) + 2(x + 1) 4) 3x(x – a) + 4a(a – x) 2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Phương pháp: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 25x 2 – 9 b) 25x 4 – 10x 2 y + y 2 c) 125 – 27x 3 y 3 d) 3 3 1 x x + e) –x 3 + 9x 2 – 27x + 27 Giải Trang 4 a) 25x 2 – 9 = (5x) 2 – 3 2 = (5x – 3)(5x + 3) b) 25x 4 – 10x 2 y + y 2 = (5x 2 – y) 2 c) 125 – 27x 3 y 3 = 5 3 – (3xy) 3 = (5 – 3xy)(25 + 15xy + 9x 2 y 2 ) d) 3 3 1 x x + =       +−       + 2 2 1 1 1 x x x x e) –x 3 + 9x 2 – 27x + 27 = -(x 3 - 9x 2 + 27x – 27) = -(x – 3) 3 Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử là cách làm được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. Lưu ý: Các đa thức cần phân tích thường có cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức: A 2 – B 2 ; (A–B) 2 ; (A+B) 2 ; (A–B) 3 ; (A + B) 3 ; A 3 – B 3 ; A 3 +B 3 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức? 1) 16a 2 – 9b 2 6) (2x +3y) 2 – 2(2x + 3y) +1 2) –a 2 + 4ab – ab 2 7) –x 3 + 3x 2 – 3x +1 3) x 2 – 2x + 1 8) 8 – 12x + 6x 2 – x 3 4) 9x 2 + 6x + 1 9) 8x 3 – y 3 5) 9x 2 – 6xy + y 2 10) (x + y) 2 – 9x 2 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Phương pháp: Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm, sử dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 6x 2 – 6xy + 5y – 5x b) x 2 + 6x + 9 – 4y 2 Giải a) 6x 2 – 6xy + 5y – 5x = (6x 2 – 6xy) + (5y – 5x) = 6x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(6x – 5) b) x 2 + 6x + 9 – 4y 2 = (x 2 + 6x + 9) – 4y 2 = (x + 3) 2 – 4y 2 = (x – 2y + 3)(x + 2y + 3) 4) Phối hợp nhiều phương pháp: Phương pháp: Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên. - Đặt nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3xy 2 – 6xy + 3x b) 3x 3 y – 6x 2 y – 3xy 3 – 6axy 2 – 3a 2 xy + 3xy Giải Trang 5 a) 3xy 2 – 6xy + 3x = 3x(y 2 – 2y + 1) = 3x(y – 1) 2 b) 3x 3 y – 6x 2 y – 3xy 3 – 6axy 2 – 3a 2 xy + 3xy = 3xy(x 2 – 2x – y 2 – 2ay – a 2 + 1) = 3xy[(x 2 – 2x +1) – (y 2 + 2ay + a 2 )] = 3xy[(x – 1) 2 – (y + a) 2 ] = 3xy(x – y – a – 1)(x + y + a – 1) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) x 2 – 1 + 2yx + y 2 2) x 4 - x 3 – x + 1 3) 5a 2 – 5ax – 7a + 7x 4) 7x 2 – 63y 2 5) 36 – 4a 2 + 20ab – 25b 2 6) 2x – 2y – x 2 +2xy – y 2 7) 4x 2 + 1 – 4x – y 2 8) 5x 2 – 4x + 20xy – 8y 9) x 2 (y – x) + x – y 10) x 2 – xy + x – y 11) 3x 2 – 3xy – 5x + 5y 12) 2x 3 y – 2xy 3 – 4xy 2 – 2xy 13) x 2 – 1 + 2x – y 2 14) x 2 + 4x – 2xy – 4y + 4y 2 15) x 3 – 2x 2 + x 16) 2x 2 + 4x + 2 – 2y 2 17) 2xy – x 2 – y 2 + 16 18) x 3 + 2x 2 y + xy 2 – 9x 19) 2x – 2y – x 2 + 2xy – y 2 20) xx 4 1 3 − 21) (2x – 1) 2 – (x + 3) 2 22) x 2 (x – 3) + 12 – 4x 23) x 2 – 4 + (x – 2) 2 24) x 3 – 2x 2 + x – xy 2 25) x 3 – 4x 2 – 12x + 27 26) x3 + 2x 2 + 2x + 1 27) x 4 – 2x 3 + 2x – 1 28) x 2 – 2x – 4y 2 – 4y 29) x 4 + 2x 3 – 4x – 4 30) x 2 (1 –x 2 ) – 4 + 4x 2 5) Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều biến: Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 2 – 8x + 12 Giải Cách 1: (tách hạng tử bậc hai) x 2 – 8x + 12 = 4x 2 – 3x 2 – 8x + 12 = (4x 2 – 8x) – (3x 2 – 12) = 4x(x – 2) – 3(x 2 – 4) = 4x(x – 2) – 3(x – 2)(x + 2) = (x – 2)[4x – 3(x + 2)] = (x – 2)(x – 6) Cách 2: (Tách hạng tử bậc nhất) x 2 – 8x + 12 = x 2 – 2x – 6x + 12 = (x 2 – 2x) – (6x – 12) = x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 6) Trang 6 Cách 3: (Tách hạng tử tự do) x 2 – 8x + 12 = x 2 – 8x + 16 – 4 = (x 2 – 8x + 16) – 4 = (x – 4) 2 – 4 = (x – 4 – 2)(x – 4 + 2) = (x – 2)(x – 6) Qua ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiều số hạng khác thường nhằm mục đích: Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1; 2). Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 3). Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau: Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. Xét đa thức Q(x) = ax 2 + bx + c với a ≠ 0. Nếu có hai số m, n sao cho m.n = a.c; m+n=b thì ax 2 +bx+c=ax 2 +(m+n)x+ a nm. Hay ax 2 + bx + c = a(x + a m )(x + a n ) Áp dụng trrng khi phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx + c với a ≠ 0 thành nhân tử ta làm như sau : - Tìm tích ac - Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. - Chọn hai thừa số có tổng bằng b. - Khi đó hạng tử bx đã được tách thành hai hạng tử bậc nhất. Ví dụ: Phân tích 4x 2 – 4x – 3 thành nhân tử? - Tìm tích ac = 4.(-3) = -12 - Phân tích -12 = -1.12 = 1.(-12) = -2.6 = 2.(-6) = -3.4 = 3.(-4) - Chọn hai thừa số có tổng bằng -4 đó là 2 và -6 Khi đó : 4x 2 – 4x – 3 = 4x 2 + 2x – 6x – 3 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x – 3) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương. Ví dụ: Phân tích 4x 2 – 4x – 3 thành nhân tử? Giải 4x 2 – 4x – 3 = 4x 2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1) 2 – 2 2 = (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x + 1)(2x – 3) Ví dụ: Phân tích 3x 2 – 8x + 4 thành nhân tử? Giải 3x 2 – 8x + 4 = 4x 2 – 8x + 4 – x 2 = (2x – 2) 2 – x 2 = (2x – 2 –x)(2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2) 6) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử: Trang 7 Phương pháp: Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường ta hay đưa về dạng a 2 – b 2 sau khi thêm bớt cùng một hạng tử. Ví dụ: a) 4x 4 + 81 = 4x 4 + 36x 2 + 81 – 36x 2 = (2x 2 + 9) 2 – (6x) 2 = (2x 2 + 9 – 6x)(2x 2 + 9 + 6x) b) x 7 + x 2 + 1 = x 7 – x + x 2 + x + 1 = x(x 6 – 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 3 – 1)(x 3 + 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 3 + 1)(x – 1)( x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)[ x(x 3 + 1)(x – 1) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 5 – x 4 – x 2 – x + 1) Các phương pháp khác: Phương pháp 7: Phương pháp biến đổi biến số (đặt ẩn phụ) Phương pháp: Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản. Phương pháp này còn được áp dụng với những đa thức dạng: A(x).B(x)+C. Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn qua nhau. Nghĩa là A(x) có thể viết dưới dạng của B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 6x 4 – 11x 2 + 3 b) (x 2 + x) 2 – 5(x 2 + x) + 6 c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 d) (x 2 + 8x + 7)(x 2 + 8x + 15) + 15 Giải a) 6x 4 – 11x 2 + 3 Đặt x 2 = y ta có: 6x 4 – 11x 2 + 3 = 6y 2 – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3) Vậy 6x 4 – 11x 2 + 3 = (3x 2 – 1)(2x 2 – 3) b) (x 2 + x) 2 – 5(x 2 + x) + 6 Đặt x 2 + x = y ta có : y 2 – 5y + 6 = (y – 2)(y – 3) Thay x 2 + x = y ta được : (x 2 + x) 2 – 5(x 2 + x) + 6 = (x 2 + x – 2)(x 2 + x – 3) = (x + 2)(x – 1)(x 2 + x – 3) c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = [(x + 2)(x + 5)][(x + 3)(x + 4)] – 24 = (x 2 + 7x + 10)(x 2 + 7x + 12) – 24 Đặt x 2 + 7x + 10 = y ⇒ x 2 + 7x + 12 = y + 2 Ta có : y(y + 2) – 24 = y 2 + 2y – 24 = y 2 – 16 + 2y – 8 = (y – 4)(y + 4) + 2(y – 4) = (y – 4)(y + 6) Thay y = x 2 + 7x + 10 ta được : (y – 4)(y + 6) = (x 2 + 7x + 6)(x 2 + 7x + 16) = (x 2 + x + 6x + 6)(x 2 + 7x + 16) = [x(x + 1) + 6(x + 1)](x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x 2 + 7x + 16) d) (x 2 + 8x + 7)(x 2 + 8x + 15) + 15 Trang 8 Đặt x 2 + 8x + 7 = y ⇒ x 2 + 8x + 15 = y + 8 Ta được : y(y + 8) + 15 = y 2 + 8y + 15 = y 2 + 5y + 3y + 15 = y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) Thay y = x 2 + 8x + 7 ta được : (y + 5)(y + 3) = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 2x + 6x + 12)(x 2 + 8x + 10) = [x(x + 2) + 6(x + 2)](x 2 + 8x + 10) = (x + 2)(x + 6)(x 2 + 8x + 10) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Phân tích các đa thứ sau thành nhân tử : 1) (x 2 + x) 2 – 2(x 2 + x) – 15 2) x 2 + 2xy + y 2 – x – y – 12 3) (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12 4) (x 2 + 10x)(x 2 + 10x + 24) + 12 Phương pháp 8: Phương pháp hệ số bất định. Phương pháp: Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc hai dạng (ax + b)(cx 2 + dx + e) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia. Ví dụ: Phân tích x 3 – 19x – 30 thành nhân tử? Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng: (x + a)(x 2 + bx + c) = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hai đa thức trên ta có :      −= −=+ =+ 30 19 0 ac cab ba Chọn a =2; c = -15 Khi đó b = -2 thỏa mãn 3 điều kiện trên Vậy x 3 – 19x – 30 = (x + 2)(x 2 – 2x – 15) Phương pháp 9: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức. Phương pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Khi đa thức f(x) có nghiệm x = a thì f(x) chứa nhân tử (x – a). Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hạng tử tự do. Ví dụ: Phân tích x 3 + 3x 2 – 4 thành nhân tử Nhận xét : Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có nhân tử x – a) thì nhân tử còn lại có dạng x 2 + bx + c. Suy ra –ac = -4 vậy a là ước của -4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi. Ước của -4 là -1; 1; -2; 2; -4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy 1 là một nghiệm của đa thức. Suy ra đa thức có chứa nhân tử (x – 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x–1). x 3 + 3x 2 – 4 = x 3 – x 2 + 4x 2 – 4 Trang 9 = x 2 (x – 1) + 4(x – 1)(x + 1) = (x – 1)(x 2 + 4x 2 + 4) = (x – 1)(x + 2) 2 Chú ý: Định lí : - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x – 1). - Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử có bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử có bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1). Ví dụ: Đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 có 1 – 5 + 8 – 4 = 0 Suy ra đa thức có một nghiệm là 1 hay chứa thừa số x – 1. Đa thức 5x 3 – 5x 2 + 3x + 9 có (-5) + 9 = 1 + 3 Suy ra đa thức có nghiệm là -1 hay chứa thừa số x + 1. Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ. trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng q p trong đó p là ước của hạng tử tự do, q là ước của hạng tử có bậc cao nhất. Ví dụ: Phân tích đa thức 2x 3 – 5x 2 + 8x – 3 thành nhân tử. Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức có dạng : 2 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 2 1 −− Sau khi thử ta có x = 2 1 là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử (x - 2 1 ) hay (2x – 1). Do đó ta tìm cách tách hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1). 2x 3 – 5x 2 + 8x – 3 = 2x 3 –x 2 – 4x 2 + 2x + 6x – 3 = x 2 (2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1) = (2x – 1)(x 2 – 2x + 3) Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng. Phương pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đ thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định các thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x 2 (y – z) + y 2 (z – x) + z 2 (x – y) Khi ta thay x bởi y thì P = y 2 (y – z) + y 2 (z – x) + z 2 (y – y) =0 Như vậy P chứa thừa số (x – y). Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P có chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa các thừa số (y – z). (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc là 3 đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức x 2 (y – z) + y 2 (z – x) + z 2 (x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn: x = 2; y = 1; z = 0 ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) Suy ra k = -1. Vậy P = -(x – y)(y – z)(z – x) = (y – x)(y – z)(z – x) Trang 10 [...]... thành đề tài theo ý đồ của mình thì kết quả thu được qua phiếu học tập của các em lại là một vấn đề đáng khích lệ Nếu so với thực tế nhìn lại của năm học trước (khi chưa thực hiện giải pháp giảng dạy theo đề tài) thì chất lượng hoàn toàn khác hẳn học sinh trong năm học này các em biết vận dụng kiến thức một cách thật sự linh hoạt Các em giải hầu hết các dạng toán áp dụng rất đa dạng Kiến thức của các em... 5 Điểm dưới 5 Lớp Sỉ Ghi chú số 8 – 10 6.5– . lệ. Nếu so với thực tế nhìn lại của năm học trước (khi chưa thực hiện giải pháp giảng dạy theo đề tài) thì chất lượng hoàn toàn khác hẳn. học sinh trong năm học này các em biết vận dụng kiến. Quán và trường THCS Thanh Sơn.  Khó khăn: - Bản thân đã trực tiếp giảng dạy bộ môn toán 8 nhiều năm. - Trường THCS Thanh Sơn là trường nằm ở khu vực vùng sâu, vùng xacòn gặp nhiều khó khăn của. chưa kết hợp được các phương pháp, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh, hợp lí. Kết quả đạt được như sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém 8 1 5% 12% 63% 20% 8 2 7% 13% 62% 18%  Phạm