Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 Các bài toán rút gọnbiểu thức: Bài 1: Cho biểu thức: P = + + + 1 1: 1 1 1 2 x x xxxxx x a) Rút gọn P b) Tìm x để P 0 Bài 2: Cho biểu thức A = 13 3 3 3 + + + + + x xxx xxxx a) Rút gọn A nếu x 3 b)Tính giá trị của A khi 529 61 + =x Bài 3: Cho P = + x x xx 1 1 . + + x x xx 1 1 . a. Rút gọn P Tìm x để p < 7 - 34 Bài 4: Với a 0 , a 4, a 9 . Rút gọn biểu thức : + + + + + = 65 2 2 3 3 2 : 2 3 1 aa a a a a a a a P Bài 5: Rút gọn biểu thức: 1 1 : 1 21 + ++ b a a bb với a, b 0; a, b 1 Bài 6: Cho biểu thức 62 3 62 3 + + = a a a a M (với 9,0 aa ) 1) Rút gọn biểu thức M 2) Tìm giá trị của a để M = 4 3)Tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên lớn hơn 10. Tìm giá trị nguyên của M. Bài 7: Cho biểu thức: A = 1 1 1 1 1 + aa a. Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A. Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức a là một số nguyên. Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: a. yx xy yxy y xxy x A + + = 2 Với x > 0, y > 0, x y. b. .324324 ++=B c. 6342534284546 +=C . Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 Bài 9: Cho biểu thức: 42 2 42 2 + + + = a a a a Q ( Điều kiện: )4;0 aa a/ Rút gọn biểu thức Q. b/ Tìm a để Q = 2. Bài 10: Rút gọn biểu thức: + + = 11 1 x x x x x xA Bài 11: Cho biểu thức ( )( ) + + + + ++ = 1a 1 1a 1 : 1a aa 1a2a 2a3a P 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm a để: 1 8 1a P 1 + Bài 12: Cho biểu thức 4 3 2 4 : 2 2 2 x x x x P x x x x x + = + ữ ữ ữ ữ a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P > 0 c) Tính giá trị nhỏ nhất của P Bài 13: Cho biểu thức 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x + + = + ữ + a) Rút gọn P b) Tìm x để P > 1 Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 ii/Các bài toán t ơng giao giữa hai đồ thị: Bài 1: Cho hàm số y = 2x 2 (p) và y = 2x + k (d) . 1)Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số (p) và (d) tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ của tiếp điềm ? 2)Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số (p) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. 3)Trong trờng hợp đồ thị hàm số (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Gọi (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) là tọa độ hai điểm đó. Tính tỉ số: 21 21 xx yy Bài 2: Cho hàm số y = mx 2 a) Xác định m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -3x + 2 tại điểm M có hoành độ bằng 2 . b) Với m tìm đợc ở câu a, chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số và đờng thẳng (d) có phơng trình y = kx -1 luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k. Gọi x 1 , x 2 tơng ứng là hoành độ của A và B, chứng minh 21 xx 2. Bài 3: Cho parabol (P): y = x 2 và đờng thẳng (d): y = 2x + m. a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ với m = 3 b. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d). c. Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Xác định toạ độ tiếp điểm. Bài 4: Cho hàm số y = 2x 2 (P) và y = 2x + k (d) 1. Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số (P) và (d) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ của tiếp điểm? 2. Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Bài 5: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b ( a 0) 1/Tìm a và b để đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm M(1; 5) và N(-1; -1) 2/Trong trờng hợp a, b vừa tìm đợc, điểm P(3;11) có thuộc đờng thẳng đó không? Tại sao? Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 III/ Các bài toán giảI ph ơng trình bậc hai Bài 1: Cho phơng trình: x 2 - 2(m - 1)x + m 2 - 7 = 0. a, Giải phơng trình trên khi m = 2. b, Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt. Bài 2: Cho phơng trình bậc hai ẩn x : x 2 + 2mx - 2m - 3 = 0 (1) 1.Giải phơng trình (1) với m = -1 2.Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m 3.Tìm nghiệm của phơng trình (1) khi tổng các bình phơng của hai nghiệm đó nhận giá trị nhỏ nhất . Bài 3: Cho phơng trình bậc hai x 2 - x-3a -1 = 0 (ẩn x). Tìm a để phơng trình nhận x = 1 là nghiệm . Bài 4: Cho phơng trình x 2 + (1 4a)x + 3a 2 + a = 0 (x là ẩn, a là tham số) 1. Giải phơng trình với a = 2. 2. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của a Bài 5: Cho phơng trình : 2x 2 + (2m 1)x + m 1 = 0 (1) ( với m là tham số) a. Giải phơng trình (1) với m = 2 b. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Tìm m sao cho phơng trình (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 3x 1 - 4x 2 = 11 Bài 6: Cho phơng trình: 2x 2 + (a-1)x + 2a 1 = 0 1/ Giải phơng trình với a = 0 2/Trong trờng hợp a = 2, ta có nhận định phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 2 3 .; 2 1 2121 ==+ xxxx . Điều nhận định trên đúng hay sai ? tại sao ? Bài 7: Cho phơng trình bậc hai, ẩn x: x 2 (2m-3)x + 1 m = 0 (1) a/ Giải phơng trình (1) với m =2. b/ Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1) và A = x 1 2 + x 2 2 +3x 1 x 2 (x 1 +x 2 ). Tìm giá trị của m để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất. Bài 8: Cho phơng trình 04)2(2 22 =+ nxnx a/ Giải phơng trình khi n = 1. b/ Tìm n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. c/ Tìm n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Bài 9: Cho phơng trình: 02)1(2 22 =+++ mxmx Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm? Khi đó hãy tính theo m tổng các lập phơng hai nghiệm của phơng trình. Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 Iv/ Các bài toán giảI bằng cách lập ph ơng trình: Bài 1. Trong phong trào đền ơn đáp nghĩa, đợt một lớp 9A và 9B huy động đợc 70 ngày công để giúp đỡ các gia đình thơng binh, liệt sỹ. Đợt hai lớp 9A huy động đợc vợt 20% số ngày công lớp 9B huy động vựot 15% số ngày công, do đó cả hai lớp đã huy động đợc 82 ngày công. Tính xem đợt một mỗi lớp đã huy động đợc bao nhiêu ngày công. Bài 2. Hai ngời đi xe đạp trên đoạn đờng AB. Ngời thứ nhất đi từ A đến B, cùng lúc đó ngời thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng 4 3 vận tốc của ngời thứ nhất. Sau 2 giờ 30 phút thì hai ngời gặp nhau. Hỏi mỗi ngời đi hết đoạn đờng AB mất bao lâu ? Bài 3. Đờng sông từ thành phố A tới thành phố B ngắn hơn đờng bộ 25 km. Để đi từ A tới B, ôtô đi hết 2 giờ 30 phút, canô đi hết 4 giờ 10 phút. Vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc canô là 22km/h. Tính vận tốc của canô và vận tốc của ôtô. Bài 4. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m 2 . Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 5m 2 . Bài 5. Hai máy bơm cùng bơm nớc vào một cái bể cạn (không có nớc), sau 4 giờ thì bể đầy. Biết rằng nếu để máy thứ nhất bơm đợc một nửa bể, sau đó máy thứ hai bơm tiếp (không dùng máy thứ nhất nữa) thì sau 9 giờ bể sẽ đầy. Hỏi nếu mỗi máy bơm bơm riêng thì mất thời gian bao lâu sẽ đầy bể. Bài 6. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ Hà Tĩnh đến Quảng Bình dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến trớc ô tô thứ hai là 5 2 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Bài 7. Một khu vờn hình chữ nhật có diện tích 900m 2 và chu vi 122m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vờn. v/ Các loại toán khác: Bài 1: Giải phơng trình : 04444 =++ xxxx với 8x Bài 2: Tìm x,y nguyên thoả mãn phơng trình x + x 2 + x 3 = 4y + 4y 2 Bài 3: Cho hệ phơng trình : =++ =+ 5)1( 5)1( 2 ymmx ymxm 1/ Giải hệ phơng trình với m = 2 2/ Tìm giá trị của m để hệ phơng trình trên có nghiệm x = y = -5 Bài 4Cho hệ phơng trình =+ =+ bbyxa abyax 5)2( 42 1. Giải hệ phơng trình khi a = b = 1. 2. Tìm giá trị của a và b để x = 2, y = 5 là nghiệm của hệ phơng trình Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 Bài 5: Giải hệ phơng trình = + = + + 4 3 2 1 3 5 3 1 1 2 yx yx Bài 6: Tính giá trị của biểu thức 347324 ++= A Bài 7: Cho hệ phơng trình =++ =+ 5)1( 5)1( 2 ymmx ymxm a/ Giải hệ phơng trình với m = 2 b/Tìm giá trị của m để hệ phơng trình trên có nghiệm x = y = -5 Bài 8: Cho biểu thức: 1232 ++= xyxyxP với 0;0 yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 9: Tìm x biết: 2827712533 =+ xxx Bài 10: Không sử dụng máy tính bỏ túi,hãy tính giá trị biểu thức: ( ) .200822009.20081 2 +=B VII/ Các bài toán hình học: Bài 1: Cho (O,R) và (O ,R ) (với R>R ) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt đờng tròn O và đ- ờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC . Nối A với M cắt đờng tròn O tại E . a) CM: AMO = NMC b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng . c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A ; trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với A và C) Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại điểm thứ hai là E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại F (F không trùng với D). Chứng minh: 1.Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC 2. Tứ giác ABCF nội tiếp đợc đờng tròn 3. AC là tia phân giác của góc EAF c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O Bài 3: Cho đờng tròn (O; R), điểm M nằm ngoài đờng tròn . Vẽ các tiếp tuyến MC, MD (C, D là các tiếp điểm) và cát tuyến MAB đi qua tâm O của đờng tròn(A ở giữa M và B ). a) Chứng minh : MC 2 = MA . MB b) Gọi K là giao điểm của tia BD và tia CA . Chứng minh 4 điểm B, C, M, K nằm trên một đ- ờng tròn . c) Tính độ dài BK theo R khi CMD = 60 0 . Bài 4: Từ điểm M ở ngoài đơng tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến MA đến đờng tròn. E là trung điểm AM; I, H làn lợt là hình chiếu của E và A trên MO. Từ I vẽ tiếp tuyến MK với (O) a. chứng minh rằng I nằm ngoài đờng tròn (O; R). b. Qua M vẽ cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C ). Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp Chứng minh HA là phân giác của góc BHC và tam giác MIK cân. Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 HD : Ta có OI 2 + IE 2 = OE 2 = OA 2 + EA 2 (1) Mà IE < ME = EA. Vậy IE 2 < AE 2 OI 2 > OA 2 OI > OA = R (2) Từ 2 suy ra điểm I nằm ngoài (O; R) a. Dễ dàng chứng minh đợc MA 2 = MB.MC áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông AMO, ta có MA 2 = MH.MO MBH MOC H 1 = C 1 tứ giác BHOC nội tiếp. b. Từ trên ta có CHO = B 1 = C 1 = H 1 . Vậy BHA = AHC( cùng phụ với các góc bằng nhau) Ta có HA là phân giác góc BHC IK 2 = IO 2 R 2 (3). Từ (1) suy ra OI 2 + IE 2 = R 2 = AE 2 IO 2 R 2 = AE 2 IE 2 = ME 2 IE 2 = MI 2 (4) Từ (3) và (4) suy ra IK = IM, vậy tam giác MIK cân tại I Bài 5: Cho đờng tròn đờng kính AB ;trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A và C ; từ C kẻ đ- ờng thẳng x vuông góc AB trên x lấy điểm D (D C) . Nối DA cắt đờng tròn tại M, nối BD cắt đờng tròn tại N, nối CN cắt đờng tròn tại K. 1/ Chứng minh ADCN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn 2/ Chứng minh AC là phân giác của góc KAD 3/ Kéo dài MB cắt đờng thẳng x tại S. Chứng minh : 3 điểm S, A, N thẳng hàng Bài 6:Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = AN. 1. Chứng minh BN = CM. 2. BN cắt CM tại I. Chứng minh AMIN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn. 3. Khi M và N thay đổi trên cạnh AB và AC (nhng ta luôn có BM = AN) thì I thay đổi trên đ- ờng nào? 4. Giả sử ABCNAM 3 2 == . Tính góc AIC Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC trong đoạn AC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC. Gọi M là trung điểm của AB, từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AC. Nối D với C, DC cắt đờng tròn tâm I tại F (F C). 1. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi 2. Chứng minh ba điểm E, B, F thẳng hàng 3. So sánh hai góc EMF và DAE. 4. Xác định và giải thích vị trí tơng đối giữa đờng thẳng MF với đờng tròn tâm I. Bài 8: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính EF, BC là một dây cung cố định vuông góc với EF, A là một điểm bất kì trên cung BFC ( A B, A C) 1. Chứng minh AE là phân giác góc BAC. 2. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh BD song song với AE 3. Gọi I là trung điểm BD. Chứng minh I, A, F thẳng hàng. 4. M là một điểm trên cung AB sao cho k MB MA = ( k không đổi), qua M vẽ đờng thẳng (d) vuông góc với AC. Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC thì đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Bài9: Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy điểm D sao cho hai đờng tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD bàng nhau. Gọi O, O 1 , O 2 theo thứ tự là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ACD và BCD. Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 a. Chứng minh ba điểm A, O 1 , O thẳng hàng và 3 điểm B, O 2 , O thẳng hàng b. Chứng minh OO 1 .OB = OO 2 .OA Đặt AB = c, AC= b, BC= a. Tính độ dài CD theo a, b, c. Bài 10: Cho tam giác đều ABC, Gọi O là trung điểm cạnh BC, vẽ góc xOy bằng 60 0 sao cho Ox cắt cạnh AB tại M, Oy cắt cạnh AC tại N. Chứng minh rằng a. Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO, suy ra BC 2 = 4.BM.CN b. MO là tia phân giác của góc BMN Đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi góc xOy bàng 60 0 , quay quanh O sao cho tia Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC theo thứ tự tại M và N. Bài 11: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (C thuộc cung AD) sao cho CD = R. Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB ở M. Tiếp tuyến của (O; R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt BD ở K a. Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF vuông b. Xác định tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD. c. Tìm vị trí của dây CD sao cho diện tích tam giác KAB lớn nhất Bài 12(QB): Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính MN, bán kính bằng R .Lấy điểm C( khác M và N) trên nửa đờng tròn này và điểm D (khác N và C) trên cung NC . Gọi H là giao điểm của MD và NC ; E là giao điểm của MC và ND. a/ Chứng minh tứ giác ECHD là tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh MNEH . c/ cho CD = R. Tính góc MEN d/ Gọi I là trung điểm EH. Chứng minh rằng: DI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính MN. Bài 13: Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định, đờng kính CD di động(hai đờng thẳng AB và CD không trùng nhau).Tiếp tuyến của (O)tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F. a/ Chứng minh: 2 4. RBFBE = . b/ Chứng minh: CEFD là tứ giác nội tiếp. c/ Gọi I là trung điểm của EF và K là giao điểm của AI và CD.Chứng minh rằng khi CD di động thì K chạy trên một đờng cố định. Biên soạn: Đồng Đức Lợi . Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 Các bài toán rút gọnbiểu thức: Bài 1: Cho biểu thức: P = + + + 1 1: 1 1 1 2 x x xxxxx x a). Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 Bài 9: Cho biểu thức: 42 2 42 2 + + + = a a a a Q ( Điều kiện: )4;0 aa a/ Rút gọn biểu thức Q. b/ Tìm a để Q = 2. Bài 10: Rút gọn biểu thức: + + = 11 1 x x x x x xA Bài. P b) Tìm x để P > 1 Biên soạn: Đồng Đức Lợi Trờng THCS Cảnh Dơng Tổng hợp các dạng toán lớp 9 ii/Các bài toán t ơng giao giữa hai đồ thị: Bài 1: Cho hàm số y = 2x 2 (p) và y = 2x + k (d)