ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO ThS. ĐỖ TRỌNG PHÚ Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải GS. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do. Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng các chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng rãi như MATLAB, MAPLE. Các điều kiện cân bằng hoàn toàn lực quán tính và mô men quán tính của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do được trình bày trong một thí dụ áp dụng. Summary: This paper presents a method for deriving the balancing conditions of planar mechanics with multi - degree of freedom. The method has advantage of being suitable for the applications of the widely accessible computer algebra systems such as MATLAB, MAPLE. In the example, the conditions for complete shaking force and shaking moment balaning of a planar eight-bar linkage with 3 degree of freedom are given. CT 2 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Để cân bằng khối lượng cơ cấu phẳng trước hết phải thiết lập được các điều kiện cân bằng. Những điều kiện cân bằng đó sẽ được sử dụng để xác định kích thước và vị trí của các đối trọng hoặc các khâu phụ thêm vào cơ cấu ban đầu để triệt tiêu lực quán tính và mô men quán tính sinh ra bởi các khâu động. Các phương pháp cân bằng cho cơ cấu phẳng một bậc tự do đã được công bố rộng rãi trong nhiều công trình nghiên cứu. Tuy nhiên, các nghiên cứu về cở sở lý thuyết cân bằng cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do vẫn còn hạn chế, chưa có nhiều công trình được công bố. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng tổng quát cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do với cấu trúc bất kỳ. Thuật toán này rất phù hợp với các trình ứng dụng tính toán số hiện đang được sử dụng rộng rãi như MATLAB, MAPLE. Các điều kiện cân bằng của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do sẽ được trình bày trong một thí dụ áp dụng với sự trợ giúp của hệ chương trình tính MAPLE. II. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO Xét hệ nhiều vật phẳng gồm p khâu, dẫn động bằng các khớp quay. Để biểu diễn hệ, sử dụng các hệ toạ độ suy rộng 12 p i i q ,q , ,q ; q = ϕ . Các toạ độ suy rộng này được gọi là toạ độ suy rộng loại 1. Véctơ các toạ độ suy rộng loại 1 có dạng: T 12 p q ,q , ,q ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ q (2.1) Để biểu diễn hệ, cũng có thể sử dụng các toạ độ suy rộng loại 2. Các toạ độ suy rộng loại 2 được chọn như sau: () () ( ) ( ) ( ) iiii 12 ucos,usin,i=1, ,p=ϕ =ϕ (2.2) Véctơ các toạ độ suy rộng loại 2 có dạng: 11 cos ,sin , ,cos ,sin T pp ⎡ ⎤ =ϕϕ ϕϕ ⎣ ⎦ u (2.3) Khi đó vị trí khối tâm của các khâu có thể biểu diễn dưới dạng sau: ; (2.4) *T *T Si xi i xi i x=e e+=+au ua *T *T Si yi i yi i y=e e+=+bu ub Trong đó các véctơ i gồm các phần tử không phụ thuộc vào véctơ toạ độ suy rộng u, và là các hằng số. Tương tự như cách biểu diễn phương trình (2.4), các phương trình liên kết của cơ cấu có thể viết dưới dạng ma trận: i ,ab i * x e i * y e [ ] III ,=Du d D = D D (2.5) Trong đó ma trận D gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu và không phụ thuộc vào véctơ các toạ độ suy rộng u, và d là véctơ hằng. Nếu hệ có r phương trình liên kết, ký hiệu , khi đó cỡ của các véctơ và ma trận lần lượt là: . m = 2p r×m r×1 ,Dd Phân chia các phần tử của véctơ u thành hai nhóm: T TT ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ uvw (2.6) Với v là véctơ hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, (2.5) có thể viết lại dưới dạng: CT 2 [] III I II ⎡⎤ = ⇒+ = ⎢⎥ ⎣⎦ v DD d DvDwd w (2.7) Ma trận được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của véctơ chính là số phương trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu. Cỡ của các véctơ và ma trận có dạng: II D w () () () () r×1 II I m-r ×1 r× m-r r×r ,, ,vwD D Điều kiện cân bằng lực quán tính: pp * ii ii i=1 i=1 d F = ma =0 mv =0 dt −⇒ ∑∑ r r r (2.8) Do là điều kiện đủ, từ (2.8) có thể suy ra: p ii i1 m = 0 = ∑ v (2.9) Viết lại (2.9) dưới dạng: (2.10) pp iSi iSi i=1 i=1 mx =0, my =0 ∑∑ && Từ (2.5), do [ ] III D= D D ta có: III = +=Du D v D w d (2.11) 11 II I II II I −− =− ⇒ = −Dw d Dv w D d D Dv (2.12) Vì d là véctơ hằng số, đạo hàm (2.12) thu được: (2.13) 1 II I − =−wDD & v & Với v là véctơ các toạ độ suy rộng dư loại 2 tối thiểu, phương trình (2.4) có thể viết lại dưới dạng: (2.14) T *TT *TT Si xi iI iII xi iI iII x=e+ e ⎡⎤ ⎡⎤ =+ + ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ v aa avaw w (2.15) T *TT *TT Si yi iI iII yi iI iII y=e+ e ⎡⎤ ⎡⎤ =+ + ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ v bb bvbw w CT 2 ,ab với . Và việc phân chia các phần tử của các véctơ i tương ứng với việc phân chia véctơ u: i = 1,2, ,p i [] [ ] T i iI iII i iI iII ,==aaa bbb T (2.16) Trong đó các véctơ có các thành phần không phụ thuộc vào véctơ u. iI iII iI iII ,,,aa bb Thay (2.12) vào (2.14) và (2.16) ta thu được: TT Si xi i xi i x=e e+=+ g vv g ; (2.17) T Si yi i yi i y=e e+=+hv vh T Trong đó ta đặt: *T1 xi xi iII II e=e − + aDd ; ; *T1 yi yi iII II e=e − + bDd TTT1 i iI iII II I − =− g aaDD , (2.18) TTT1 i iI iII II I − =−hbbDD Đạo hàm (2.17) ta thu được: T Si i Si i x,y== T g v &&& hv & = 0 (2.19) Thay (2.19) vào (2.10) ta có: (2.20) pp TT ii ii i1 i1 m0,m0 == = ∑∑ gv hv && Từ (2.20) thu được các điều kiện đủ cân bằng lực quán tính: pp TT ii ii i1 i1 m0,m == = = ∑∑ gh . Có thể viết lại dưới dạng: (2.21) pp ii ii i1 i1 m0,m == = ∑∑ gh0= ⎤ Điều kiện cân bằng mô men lực quán tính: (2.22) () p iSiSi SiSi Sii i=1 mxy-yx +I =0⎡ϕ ⎣⎦ ∑ & && Viết lại phương trình (2.22): () pp iSiSi SiSi Sii 1 2 i=1 i=1 mxy-yx + I =K+K 0 ϕ = ∑∑ & && (2.23) Trong đó: ; () p 1 i Si Si Si Si i=1 K= m xy yx− ∑ && p 2Si i=1 K= I i ϕ ∑ & (2.24) Thay (2.14), (2.15) và (2.19) vào (2.24) thu được: (2.25) T 11 K =+vSv lv & T 1 & i1 m = =− ∑ hhg () p TTT 1ixiiyii i1 me e = =− ∑ lhg Trong đó: Sg ; (2.26) () p TT 1iiii i Theo cách chọn (2.2), với chú ý rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii ii 22 i12 21 i i i =u u u u cos sin ϕ −=ϕϕ+ && && ϕ (2.27) CT 2 i i Viết lại (2.27) dưới dạng ma trận: () () () () () () () () T ii ii 21 2 i12 ii 12 1 uu u 01 uu = 10 uu u ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ϕ= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ − ⎣⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ && & && (2.28) Khi đó (2.24) có dạng: (2.29) () () () () T ii pp Si12 T 2Sii ii i=1 i=1 Si 21 0Iuu K= I I0 uu ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ϕ= = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥⎣ ⎦⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ∑∑ uHu & & & & Trong đó: (2.30) = ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 1 1 m-r m-r m-r+1 m-r+1 m m m×m 0I | -I 0 | | 0I | -I 0 | H - -| - - - |0I |-I 0 | |0 |-I I 0 Chia H thành ma trận khối: 12 34 m×m ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ HH H HH (2.31) Trong đó: ma trận phản đối xứng cỡ 1 :H ( ) ( ) mr×mr − − 4 :H ma trận phản đối xứng cỡ r×r 2 :H ma trận không hình chữ nhật cỡ ( ) mr×r− 3 :H ma trận không hình chữ nhật cỡ ( ) r× m r − Với chú ý rằng là các ma trận không. Khi đó có dạng: 2 ,HH 3 TT 14 && T 2 & 2 K T T 1 T 2 T 4 K ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ == = + ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ H0 v v uHu vHv wHw 0H w w & & & (2.32) Thế (2.12) và (2.13) vào (2.32) ta có: (2.33) T 22 K =+vSv lv & Trong đó: ( ) ( ) T 11 2 1 II I 4 II I −− =+SH DDHDD ; ( ) ( ) T T1 1 2II4II −− =−lDdHDD I = (2.34) Viết lại (2.23): (2.35) () () () pp TTT iSiSi SiSi Sii 1 2 1 2 i=1 i=1 mxy yx + J = 0−ϕ+++ ∑∑ vS Sv l lv & && & & Từ (2.35) ta thu được các điều kiện đủ để cân bằng mô men lực quán tính là: 12 12 0, 0 + =+=SS ll (2.36) III. CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU 8 KHÂU PHẲNG 3 BẬC TỰ DO Xét cơ cấu phẳng 3 bậc tự do gồm 8 khâu như hình 3.1. Hình 3.1. Mô hình cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do Hệ toạ độ cố định gắn chặt với nền, các hệ toạ độ Oxyz ( ) iii O ξη i=2, ,8 gắn chặt với các khâu . Khối tâm của các khâu tương ứng là: , 2 OA,AB,BE,CD,DO ,EF,FO 3 () 2S2S2 S ξ ,η () 3S3S3 S ξ ,η , () 44 4S S S ξ ,η , ( ) 55 5S S S ξ ,η , ( ) 66 6S S S ξ ,η , ( ) 77 7S S S ξ ,η , ( ) 88 8S S S ξ , η . Các toạ độ suy rộng lần lượt là các góc quay: 2 34567 ϕ ,ϕ ,ϕ ,ϕ ,ϕ ,ϕ và 8 ϕ . Sử dụng các ký hiệu: là độ dài của khâu thứ i l ( ) i i = 2, ,8 , trong đó và ; toạ độ điểm 4 l=BE 41 l=BC () ( ) ( ) 22 33 2O O 3O O 0,0 ,O x ,y ,O x , y 1 Ο≡Ο ; là khối lượng của khâu thứ i; là mô men quán tính khối tâm của khâu thứ i đối với trục đi qua khối tâm ; là ma trận cosin chỉ hướng của khâu thứ i so với hệ toạ độ cố định : (3.1) i m i I i S i A Oxyz ( ii i ii cos sin ,i=2, ,8 sin cos ϕ− ϕ ⎡⎤ = ⎢⎥ ϕϕ ⎣⎦ A CT 2 ) 6 8 Từ điều kiện ràng buộc của hai vòng kín độc lập và , ta có phương trình liên kết của cơ cấu 8 khâu 3 bậc tự do cho trên hình vẽ trên có dạng: l=0 ∑ r r 2 OABCDO O 3 OABEFO O 2 2 3 3 2233414O556 2233414O5566 223344O778 223344O7788 l cos + l cos + l cos = x + l cos + l cos l sin + l sin + l sin = y + l sin + l sin l cos + l cos + l cos = x + l cos + l cos l sin + l sin + l sin = y + l sin + l sin ϕϕ ϕ ϕϕ ⎧ ⎪ ϕϕ ϕ ϕϕ ⎪ ⎨ ϕϕϕ ϕϕ ⎪ ⎪ ϕϕϕ ϕϕ ⎩ (3.2) Theo phương pháp véctơ các toạ độ suy rộng loại 2, căn cứ vào các ma trận cosin chỉ hướng ta chọn véctơ u chứa các toạ độ suy rộng như sau: (3.3) [ ] 2233 44 5 T 66 77 88 cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin , cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin ϕ =ϕϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕϕϕ ϕϕ u 5 Bốn phương trình liên kết (3.2) có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: CT 2 = 8 (3.4) [] III I II ⎡⎤ ==+ ⎢⎥ ⎣⎦ v Du D D D v D w d w [] = ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ = 2341 5 6 23 41 5 6 23 4 7 8 23 4 7 T 02 02 03 03 l0l0l 0-l 0-l 00000 0l 0l 0 l 0 -l 0 -l 0 0 0 0 D l0l0l 00000-l 0-l 0 0l 0l 0 l 0 0 0 0 0 -l 0-l d x ,y ,x ,y -1 I II II =;== ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⇒ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 5 2341 6 5 5 23 41 6 5 23 4 8 7 7 23 4 8 7 7 1 - 000 l l 0 l 0 l 0 -l 0 0 0 -l 0 0 0 1 0- 0 0 l 0l 0l 0 l 0 -l 0 0 0-l 0 0 DDD l0l0l 000-l 0 00-l 0 1 00- 0 l 0l 0l 0 l 0 0 0-l 000-l 1 000- l Với các tọa độ khối tâm đã chọn và các ma trận , các véctơ có thể dễ dàng xác định theo phương trình (2.18). Sau đó thay vào điều kiện cân bằng lực quán tính theo công thức (2.21), ta thu được các điều kiện cân bằng tĩnh: II ,DD I 8 457 S 5417 S 745 S mllη +m l l η +m l l η =0 56 556 S 65 S -m l l η +m l η = 0 ii ,gh 257 257 S 3257 4257 527 S 6257 725 S 8257 mllξ +m l ll +m l ll +m l l ξ +m l l l +m l l ξ + m l l l = 0 (3.5) 357 357 S 4357 537 S 6357 735 S 8357 mllξ +m l ll +m l l ξ +m ll l +m ll ξ + m l l l = 0 (3.6) 45 7 457 S 5417 S 64157 745 S 8457 mllξ +m l lξ +m l ll +m l lξ +m l l l =0; (3.7) 78 76 S 87 S -m l η +m l η = 0 56 56 S 656 65 S -m l ξ -m l l +m l ξ =0; (3.8) 7 76 S 878 87 S -m l ξ -m l l +m l ξ = 0 257 257S 527S 725S mllη +m l l η +m l l η =0; (3.9) 357 357S 537S 735S mllη +m l l η +m ll η = 0 457 ; (3.10) Theo công thức (2.26) ta xác định được và . 1 S 1 l Theo công thức (2.30) ma trận có dạng: H (3.11) = 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 0I 000000000000 -I 0000000000000 000I 0000000000 00-I00000000000 00000I 00000000 0000-I000000000 0000000I 000000 H 000000-I0000000 000000000I 0000 00000000-I00000 00000000000I 00 0000000000-I000 000000000000 14×14 ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 8 8 0I 000000000000-I0 CT 2 4 Theo cách phân chia véctơ u, ta có ma trận tương ứng như sau: 1 ,HH ; ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 2 2 3 3 5 4 5 1 2 4 7 6 7 6 8 8 10×10 0I 00000000 -I000000000 000I 000000 00-I 0000000 0I 00 00000I 0000 -I 0 0 0 H= H= 0000-I00000 000I 0000000I 00 00-I0 000000-I000 000000000I 00000000-I0 (3.12) Theo công thức (2.34) xác định được và . Từ công thức (2.36), triệt tiêu các thành phần hằng số ta xác định được các điều kiện cân bằng động: 2 S 2 l 22 2 22 2 222 222 22 2 22 2 222 257 S2 257 S2 3257 4257 527 S5 527 S5 6257 22 2 22 2 222 22 2 2 22 725 S7 725 S7 8257 257 257 25 7 mllξ +m l l η +mlll +mlll +mllξ +m l l η +m l l l +m l l ξ +m l l η +mlll+Ill+lIl+llI=0 (3.13) 3S3 m η =0 ; ; ; (3.14) 4S4 m η =0 6S6 m η =0 8S8 m η =0 22 22 2 2 2 2 22 3 S357 4357 537 S5 537 S5 6357 22 22 22 2 2 735 S7 735 S7 8357 37 5 35 7 m ξ ll +mlll +mllξ +m ll η +m ll l +m ll ξ +m ll η +mlll +llI +llI =0 (3.15) 22 22 22 22 22 4 S4 5 7 5 41 7 S5 5 41 7 S5 6 41 5 7 7 4 5 S7 22 22 2 2 745 S7 8457 4175 457 m ξ ll +ml lξ +m l l η +m l l l +m l l ξ +m ll η +m l l l +l l I +l l I =0 (3.16) 2222 56 S5 56 S5 65 S6 656 56 mlξ +m l η -m l ξ +m l l +I l =0 (3.17) 2222 78 S7 78 S7 87 S8 878 78 mlξ +m lη -m l ξ +m l l +I l =0 (3.18) 22 2 22 2 222 22 2 22 2 222 357 S3 357 S3 4357 537 S5 537 S5 6357 22 2 22 2 222 22 2 2 2 2 735 S7 735 S7 8357 357 3 57 3 75 mllξ +m l l η +m l l l +m l l ξ +m l l η +m l ll +m l l ξ +m l l η +mlll+Ill+lIl+lIl=0 (3.19) 2 22 2 22 2 2 2 2 22 22 2 4 S457 4 S457 5417 S5 5417 S5 64157 745 S7 22 2 222 22 2 2 22 745 S7 8457 457 417 5 45 7 m ξ ll +mη ll +ml lξ +m l l η +m l l l +m l l ξ +m ll η +m l l l +I l l +l l I +l l I =0 (3.20) 22 22 22 2 22 22 2 2 56 S5 56 S5 65 S6 65 S66 656 65 S6 65 65 mlξ +ml η +m l ξ -2m l ξ l +mll +mlη +I l +l I =0 (3.21) 22 22 22 2 22 22 2 2 78 S7 78 S7 87 S8 87 S88 878 87 S8 87 8 7 mlξ +m l η +m l ξ -2m l ξ l +mll +mlη +I l +l I =0 (3.22) 2222222 5 7 S5 02 5 5 7 02 S5 5 7 02 S5 5 5 7 02 S5 7 5 S7 03 7 22 2 22 2 2 75 03 S7 75 03 S77 75 03 S7 0257 0375 mlη xl+mlyη -m l y ξ l+mlyξ +m l η xl +m l y η -m l y ξ l+mlyξ +y Il +y Il =0 (3.23) 2222222 5 7 S5 02 5 5 7 02 S5 5 7 02 S5 5 5 7 02 S5 7 5 S7 03 7 22 2 22 2 2 7 5 03 S7 7 5 03 S7 7 7 5 03 S7 02 5 7 03 7 5 -m l ξ xl+mlxξ -m l y η l+mlxη -m l ξ xl +m l x ξ -m l y η l+mlxη +x I l +x I l =0 (3.24) 2222222 5 41 7 S5 02 5 5 41 7 02 S5 5 41 7 02 S5 5 5 41 7 02 S5 7 4 5 S7 03 7 22 2 22 2 2 7 4 5 03 S7 7 4 5 03 S7 7 7 4 5 03 S7 02 5 41 7 03 7 4 5 ml lη xl+mllyη -m l l y ξ l+mllyξ +m l l η xl +m l l y η -m l l y ξ l+mllyξ +y Il l +y Il l =0 (3.25) 2222222 5 41 7 S5 02 5 5 41 7 02 S5 5 41 7 02 S5 5 5 41 7 02 S5 7 4 5 S7 03 7 22 2 22 2 2 7 4 5 03 S7 7 4 5 03 S7 7 7 4 5 03 S7 02 5 41 7 03 7 4 5 -m l l ξ xl+mllxξ -m l l y η l+mllxη -m l l ξ xl +m ll x ξ -m l l y η l+mllxη +x Il l +x I l l =0 (3.26) 22 5 S5 02 5 5 02 S5 5 S5 02 5 5 02 S5 02 5 m η xl+myη -m ξ yl+myξ +y I =0 (3.27) 22 5S5025 502S5 5S5025 502S5 025 -m ξ xl+mxξ -m η yl+mxη +x I =0 (3.28) 22 7 S7 03 7 7 03 S7 7 S7 03 7 7 03 S7 03 7 m η xl+myη -m ξ yl+myξ +y I =0 (3.29) 22 7 S7 03 7 7 03 S7 7 S7 03 7 7 03 S7 03 7 -m ξ xl+mxξ -m η yl+mxη +x I =0 (3.30) IV. KẾT LUẬN Tập hợp các điều kiện cân bằng ( ) 3.5 3.10÷ và ( ) 3.13 3.30÷ ta thu được 31 điều kiện cân bằng khối lượng độc lập của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do. Trong đó, từ là 10 điều kiện cân bằng lực quán tính, có thể đạt được bằng cách phân bố lại khối lượng của các khâu hoặc thêm các đối trọng cân bằng vào các khâu. Từ () 3.5 3.10÷ ( ) 3.13 3.30÷ là 21 điều kiện cân bằng mô men quán tính, các điều kiện này chỉ có thể đạt được khi sử dụng các khâu phụ lắp thêm vào cơ cấu. CT 2 Ví dụ trên đã cho thấy lý thuyết cân bằng đề xuất ở trên có thể thích hợp cho việc thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do. Phương pháp này có ưu điểm với các trình ứng dụng tính toán số hiện đang được sử dụng rộng rãi. Tài liệu tham khảo [1]. Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật (Dynamics of Multibody Systems). Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2007. [2]. Nguyễn Phong Điền: Cân bằng lực quán tính, mômen lực quán tính và mômen phát động cơ cấu phẳng. Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 1996. [4]. Lê Tiến Hưng: Thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng của cơ cấu phẳng, cơ cấu không gian và đánh giá bằng tính toán mô phỏng số. Luận văn thạc sĩ. Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2006. [5]. Đỗ Trọng Phú: Cân bằng khối lượng cơ cấu nhiều bậc tự do. Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2008. [7]. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Pham Van Son: Balancing conditions of planar mechanisms with multi-degree of freedom. Vietnam Journal of Mechanics, 27 (2005) 204-212. [8]. Nguyen Van Khang: Über den Massenausgleich in Mehrkörpersystemen. Technische Mechanik, Band 14, H.3-4, S.233-240, Magdenburg 1994. [9]. Jiegao Wang: Kinematic analysis, dynamic analysis and static balancing of spatial parallel mechanisms or manipulators with revolute actuators. Ph.D Thesis. Laval University 1997 ♦ CT 2 . được các điều kiện đủ để cân bằng mô men lực quán tính là: 12 12 0, 0 + =+=SS ll (2.36) III. CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU 8 KHÂU PHẲNG 3 BẬC TỰ DO Xét cơ cấu phẳng 3 bậc tự do gồm 8. hợp các điều kiện cân bằng ( ) 3.5 3.10÷ và ( ) 3.13 3.30÷ ta thu được 31 điều kiện cân bằng khối lượng độc lập của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do. Trong đó, từ là 10 điều kiện cân bằng lực. của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do sẽ được trình bày trong một thí dụ áp dụng với sự trợ giúp của hệ chương trình tính MAPLE. II. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO