Chuyen de BD HSG lop 9 ph­uong trinh vo ti HAY

Chuyên đề : Phơng trình vô tỉ Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng: Dạng1: ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) 0 ( ) ( ) x TXD f x g x f x g x = = (*) Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x) 0 và g(x) 0 VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 3 2 2x x m x x + = + 2 2 2 1 2 3 2 0 3 2 2 0 1 1 x x x x x m x x x m x m + + = + = + = + Để phơng trình có nghiệm thì 1 1 2 0 1m m + Dạng2: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x conghia g x f x g x f x g x = = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0f x VD: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ( 1) x x x x x x x x x x + = = + = = = + Vậy phơng trình có nghiệm x=-1 Dạng3: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0 ( ( ) ( )) ( ) f x conghia f x f x g x h x g x conghia g x f x g x h x + = + = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0h x VD: Giải phơng trình: 4 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 4 1 2 0 2 1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4 (1 )(1 2 ) 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + + + = + = + 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 7 0 7 (1 )(1 2 ) (2 1) 2 x x x x x x x x x x x x + = = + = = + = Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa - Biến đổi phơng trình Các bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: a/ 2 3 0x x = e/ 1 1 2x x + = b/ 2 1 1x x+ + = g/ 15 3 6x x + = c/ 3 4 1x x+ = h/ 4 1 3 4 1x x+ + = d/ 10 3 5x x + + = k/ 2 3 2 2x x x + = Bài2: Giải các phơng trình sau: 2 2 / 4 1 1 2 / 3 4 2 1 3 /( 3) 10 12 a x x x b x x x c x x x x + = + + = + + = / 2 1 1 1 / 2 1 2 1 2 / 6 9 6 9 6 d x x x e x x x x g x x x x = + + = + + = Bài3: Cho phơng trình: 2 1x x m = a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Giải và biện luận phơng trình Bài4: Cho phơng trình: 2 2 3x mx x m+ = a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm Bài5: Giải và biện luận các phơng trình sau: 2 / 3 2 / 1 1 a m x x x b x x a + = + + = II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1: Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ Các phép thởng đặt là: - Nếu bài toán có chứa ( )f x và f(x) thì đặt t= ( )f x , t 0. Khi đó f(x)=t 2 - Nếu bài toán có chứa ( )f x , ( )g x và ( ). ( )f x g x =k(hằng số) thì đặt t= ( )f x , t 0 - Nếu bài toán chứa ( ) ( ), ( ). ( ), ( ) ( )f x g x f x g x f x g x k + = thì đặt t= ( ) ( )f x g x Chú ý: Với các phơng trình căn thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ , nhất thiết phải tìm điều kiện đúng của ẩn phụ. Cách tìm ĐK: - Sử dụng tam thức bậc hai : VD: t= 2 2 2 5 ( 1) 4 2x x x + = + - Sử dụng BĐT: VD: t= 3 6x x+ + + T 2 =( 3 6x x+ + ) 2 (3+x+6-x)(1+1)=18 t 3 2 + T 2 =( 3 6x x+ + ) 2 =3+x+6-x+2 (3 )(6 ) 9 3x x t+ VD1: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 31 11 11 42 0 x x x x + + = + + + = Đặt t= 2 11 11x t+ . Khi đó phong trình có dạng: t 2 +t 42 =0 6 7 t t = = Vì t 11 nên t=6 2 2 2 11 6 11 36 25 5x x x x + = + = = = Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5 VD2: Giải phơng trình : ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 2 1 3 1 1 0x x x+ + + = Giải: Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho ( ) 2 4 1 0x , ta đợc: 4 4 1 1 2 4 0 1 1 x x x x + + + = + Đặt t= 4 4 1 1 1 0 1 1 x x x x t + = + f , Khi đó phơng trình trở thành: 2t+ 2 1 0 1 3 0 2 3 1 0 1 0 2 t t t t t = < + = + + = = < (không thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình vô nghiệm. VD3: Giải phơng trình : ( ) 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2m x x x x x + = + + a) Giải phơng trình với m=1 b) Tìm m để PT có nghiệm. Giải: Điều kiện: 3 2 0 1 1 0 x x x Phơng trình viết lại dới dạng: ( ) ( ) 2 3 2 1 3 2 1 6m x x x x + = + Đặt t= 3 2 1 1x x t + a) x=2 b) m 5 III. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2: - Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x - Phơng pháp này đợc sử dụng đối với những phơng trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 BT thì các BT còn lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn đợc thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. - Khi đó ta thờng đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ hoặc vẫn theo ẩn x có biệt thức là 1 số chính phơng VD: Giải PT: ( ) 3 3 4 1 1 2 2 1x x x x + = + + Giải: Đặt t= 3 2 3 1, 0 1x t t x+ = + . Khi đó PT có dạng: (4x-1)t=2(x 3 +1) + 2x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 2 1 0 4 1 8 2 1 4 3 2 1 4 1 4 3 1 4 2 t x t x x x x t x x x t t + = = = = = = Thay trở lại ẩn x, ta đợc: ( ) 2 3 3 3 3 1 2 1 0 2 2 0 1 2 1 3 2 1 4 1 3 4 4 x x x x x x x x x x = = + = = = + = = Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt IV. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3: - Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ Pt với k ẩn phụ. Trong hệ mới thì k-1 pt nhận đợc từ các mối liên hệ giữa các đại lợng tơng ứng. Chẳng hạn với PT : ( ) ( ) m m a f x b f x c + + = Đặt ( ) ( ) m m m m u a f x u v a b v b f x = + = + = + . Khi đó ta có hệ PT: m m u v a b u v c + = + + = VD: Giải PT: 3 2 1 1x x = Giải: Điều kiện : x-1 0 1x Đặt 3 3 2 2 1 1, 0 u x u v v x v = + = = . Khi đó ta có hệ: 3 2 1 1 u v u v + = + = Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10 Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10 V. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4: - Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ phơng trình với 1 ẩn phụ và 1 ẳn x Dạng1: Phơng trình chứa căn bậc 2 và luỹ thừa bậc 2 2 ( ) , ,ax b c dx e x d ac e bc + = + + + = + = + (*) Cách giải: Điều kiện ax+b 0 Đặt dy+e= , 0ax b dy e+ + . Khi đó chuyển phơng trình về hệ 2pt 2ẩn x,y Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp trên cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu về dạng thoả mãn ĐK(*) VD: Giải PT: 2 1 4 5x x x+ = + + Giải: Điều kiện: x+1 0 1x . PT đợc viết đới dạng: 2 1 ( 1) 1x x+ = + + ở đậy a=b=c=d= 1; 2; 0e = = = . Thoả mãn điều kiện d=ac+ ;e bc = + Đặt y+2= 1, 2 0 2x y y+ + . Khi đó phơng trình đợc chuyển thành hệ 2 2 2 2 2 ( 2) 1 1 ( 2) ( )( 4) ( )( 5) 0 ( 2) 1 1 ( 2) y x y x x y x y x y x y x y y x x y + = + + + = + = + + + + = + = + + = + Do 1; 2x y nên x+y+5>0 0x y x y = = Thay x=y vào PT(1), ta có x 2 +3x+3=0: PT vô nghiệm Vậy PT đã cho vô nghiệm. Dạng2: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3 3 3 ( ) , ,b ay c dy e y d ac e bc + = + + + = + = + Cách giải: Đặt dx+e= 3 ay b+ . Khi đó chuyển PT về hệ 2ẩn 2 PT VD: Giải PT: 3 3 2 3 3 2x x+ = Đặt y= 3 3 2x . Khi đó phơng trình chuyển thành hệ 3 3 2 3 3 2 x y x y y x + = = = Từ đó tìm đợc x=1; x=-2 Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: 2 2 2 2 2 2 2 / 3 3 3 6 3 / 2 5 2 2 2 5 6 1 / 3 2 2 2 6 2 2 /( 5)(2 ) 3 3 a x x x x b x x x x c x x x x d x x x x + + + = + + + = + + + + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 2 2 2 / ( 1) 2 1 2 2 / 1 1 / 2 1 3 1 1 0 n n n e x x x x g x x x x h x x x + = + + = + + + + = Bài2: Cho phơng trình: 1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + + + = a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=3 b/ T×m m ®Ó pt cã nghiÖm c/ T×m m ®Ó pt cã nghiÖm duy nhÊt Bµi3: Cho ph¬ng tr×nh: ( ) 2 2 2 2 2 3 0x x x x m− + − − − = a/ Gi¶i pt víim=9 b/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi4: Cho ph¬ng tr×nh : ( ) ( ) ( ) 1 3 1 4 3 3 x x x x m x + − + + − = − a/ Gi¶i pt víi m=-3 b/ T×m m ®Ó pt cã nghiÖm Bµi 5: Gi¶i c¸c pt sau: . 1 3 /( 3) 10 12 a x x x b x x x c x x x x + = + + = + + = / 2 1 1 1 / 2 1 2 1 2 / 6 9 6 9 6 d x x x e x x x x g x x x x = + + = + + = Bài3: Cho phơng trình: 2 1x x m = a/. T 2 =( 3 6x x+ + ) 2 (3+x+6-x)(1+1)=18 t 3 2 + T 2 =( 3 6x x+ + ) 2 =3+x+6-x+2 (3 )(6 ) 9 3x x t+ VD1: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 31 11 11 42 0 x x x x + + = + + + = Đặt t= 2 11. = < (không thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình vô nghiệm. VD3: Giải phơng trình : ( ) 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2m x x x x x + = + + a) Giải phơng trình với m=1 b) Tìm m để PT có nghiệm. Giải: Điều