SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN 12 THPT - BẢNG B CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 4.0 Điều kiện 5 3 x ≤ 0,5 Phương trình tương đương ( ) 3 3 2 5 3 2 5 3x x x x + = − + − 0,75 Do hàm số f(t) = t 3 + 2t đồng biến trên R, 0,75 ( ) ( ) 5 3f x f x= − nên x = 5 3x− 0,75 2 2 0 0 5 3 3 5 0 x x x x x x ≥ ≥ ⇔ ⇔ = − + − = 0,75 Vây phương trình có nghiệm 3 29 2 x − + = 0.5 2 4,0 Từ y = m - x thay vào phương trình còn lại ta được : 3 2 0 (1)x mx m− + = 0,5 Xét hàm số 3 2 ( )f x x mx m= − + trên ¡ 0.5 Để hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với Ox (*) 0,5 Ta có 2 ( ) 3 2f x x mx ′ = − ; 0 ( ) 0 2 3 x f x m x = ′ = ⇔ = 1 (*) ⇔ 2 2 3 3 0 2 (27 4 ) 0 2 (0). ( ) 0 3 3 3 2 m m m m m f f m ≠ < − ⇔ − < ⇔ < > 1 Vậy 3 3 2 m ≤ − hoặc 3 3 2 m ≥ là giá trị cần tìm. 0,5 3 2.0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 ) ≥ 36xyz 0.5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 2 2 2 3 x y z (1) 0.5 Và 9+ x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 ≥ 12 4 4 4 12 x y z hay 9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 ≥ 12 3 xyz (2) 0.5 Trang 1/ 4 - 12 THPT - B¶ng B Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 ) ≥ 36xyz (đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1 0,5 4 2,0 Đặt t = x – 1 Khi 1x → thì 0t → 0.25 ( ) 2 2 1 2 2 1 0 os( 1) cos lim lim 2 1 x t x t e c x e t I x x t − → → − − − = = − + 0.25 = 2 2 2 0 1 1 cos lim t t e t t t → − − + ÷ ÷ 0.5 Do 2 2 0 1 lim 1 t t e t → − = 0.25 2 2 2 0 0 2sin 1 cos 2 lim lim t t t t t t → → − = 0.25 2 2 0 2sin 1 2 lim 2 4 2 t t t → = ÷ 0,25 Suy Vậy I = 1+ 1 3 2 2 = 0.25 5 3.0 Trong mặt phẳng (ABC) : AM cắt BC tại A 1 . BM cắt AC tại B 1 , CM cắt AB tại C 1 Trong (DAA 1 ) : Kẻ đường thẳng qua M song song với AD cắt DA 1 tại A’ 1 Xét tam giác DAA 1 có MA’ // AD nên 1 1 ' MBC ABC S MAMA DA AA S ∆ ∆ = = 1 Tương tự ta có 1 1 ' MAC ABC S MBMB DB BB S ∆ ∆ = = , 1 1 ' MAB ABC MC SMC DC CC S ∆ ∆ = = 0,5 Suy ra ( ) ' ' ' 1 MBC MAC MAB ABC MA MB MC doS S S S DA DB DC + + = + + = không phụ thuộc vào vị trí điểm M 0.5 Trang 2/ 4 - 12 THPT - B¶ng B D C A 1 B A A’ M 6 3.0 1 1 1 . . . 2 3 6 AMNP AMCB V AM AN AP V AM AC AB = = = 1 V AMCB = 1 2 V ABCD (Do M là trung điểm BD) 0,5 ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 nên V ABCD = 2 12 0.5 Suy ra V AMCB = 1 2 2 . 2 12 24 = 0.5 Vậy V AMNP = 1 6 V AMCB = 2 144 (đvtt) 0,5 7 2,0 f(x) Ta có : f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x,y (1) Với x = y =0 ta có f 2 (0) – f(0) =0 ⇒ (0) 0 (0) 1 f f = = 0,5 Với f(0) = 0, từ (1) chọn y = 0 ta có f(x) = 0 x∀ , điều này không xảy ra với 2 x y π = = . Suy ra f(0) = 0 (loại) 0.25 Với f(0) = 1, từ (1) chọn y = -x ta có f(x).f(-x) + sin 2 x = 1 x∀ ∈¡ 0,25 Chọn x = 2 π ta được . 0 2 2 f f π π − = ÷ ÷ ⇒ 0 2 0 2 f f π π = ÷ − = ÷ 0.25 Trang 3/ 4 - 12 THPT - B¶ng B A D M C B N P Nếu 2 f π ÷ = 0 từ (1) chọn y = 2 π .Ta có sinx= cos (*) 2 2 f x x x R π π + = − + ∀ ∈ ÷ ÷ 0.25 Nếu 2 f π − ÷ = 0 từ (1) chọn y = - 2 π . Ta có sinx = cos (**) 2 2 f x x x R π π − = − ∀ ∈ ÷ ÷ 0,25 Từ (*) và (**) suy ra f(x) = cosx x R∀ ∈ . Thử lại thấy hàm số f(x) = cosx thỏa mãn 0.25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 4/ 4 - 12 THPT - B¶ng B . 1 1 ' MBC ABC S MAMA DA AA S ∆ ∆ = = 1 Tương tự ta có 1 1 ' MAC ABC S MBMB DB BB S ∆ ∆ = = , 1 1 ' MAB ABC MC SMC DC CC S ∆ ∆ = = 0,5 Suy ra ( ) ' ' ' 1 MBC MAC MAB ABC MA. THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN 12 THPT - B NG B CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1. = 1 V AMCB = 1 2 V ABCD (Do M là trung điểm BD) 0,5 ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh b ng 1 nên V ABCD = 2 12 0.5 Suy ra V AMCB = 1 2 2 . 2 12 24 = 0.5 Vậy V AMNP = 1 6 V AMCB = 2 144 (đvtt) 0,5 7