Đáp Án Toán HSG Tỉnh NA bổ túc

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN 12 BỔ TÚC THPT CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 5,0 1a 3,0 TXĐ: R \ { } 0 0,25 Sự biến thiên y’ = 2 2 x − , y’ < 0 0x ∀ ≠ hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0 ; 0;−∞ +∞ 0,5 Giới hạn và các đường tiệm cận 0 2 lim x x x + → + = +∞ ; 0 2 lim x x x − → + = −∞ . Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình x =0 0,5 2 2 lim lim 1 1 x x x x x →+∞ →+∞ +   = + =  ÷   ; 2 2 lim lim 1 1 x x x x x →−∞ →−∞ +   = + =  ÷   . Vậy đường tiệm cận ngang có phương trình y =1 0,5 Bảng biến thiên x - ∞ 0 + ∞ y’ - || - y + ∞ 1 1 - ∞ 0,5 Giao điểm của đồ thị với trục hoành (-2;0) Đồ thị không cắt trục tung. Đồ thị nhận điểm I (0;1) làm tâm đối xứng Trang 1/ 5 - 12 THPT - B¶ng A 0.75 1b 2,0 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi A,B chỉ khi phương trình 2 2 (1) x x m x + = + có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 . Hay phương trình 2x 2 + (m-1)x - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 0,25 Điều kiện ( ) 2 1 16 0 2 0 m  ∆ = − + 〉   − ≠   đúng với mọi số thực m. Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B 0,25 Theo Viet ta có 1 2 1 2 1 2 1 m x x x x −  + = −    = −  0.25 Giả sử hoành độ điểm A là x 1 , hoành độ điểm Blà x 2, suy ra A(x 1 ; 2x 1 +m), B(x 2 ; 2x 2 +m) 0,25 AB 2 = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 5x x x x x x− + − = − 0,25 = ( ) 2 2 1 2 1 5 4x x x x   + −   0,25 = 2 1 5 4 2 m   −   − +    ÷       0,25 Trang 2/ 5 - 12 THPT - B¶ng A AB = 2 1 2 5 5 4 20 2 m   −   ⇔ − + =    ÷       1m ⇔ = Vậy m =1 là giá trị cần tìm 0,25 2 5.0 2a 2 Phương trình tương đương với 5.3 x – 9.3 x +27. 3 x = 69 0.5 23.3 69 x ⇔ = 0.5 3 3 x ⇔ = 0,5 1x ⇔ = 0.5 2b 3,0 Phương trình tương đương với 1 – 2 sin 2 x. cos 2 x = 1 – 2sin 2 2x 1,0 2 2 1 1 sin 2 1 2sin 2 2 x x ⇔ − = − 0.5 2 3 sin 2 0 sin 2 0 2 x x ⇔ = ⇔ = 0.5 2x k π ⇔ = 0.5 ( ) 2 x k k Z π ⇔ = ∈ 0.5 3 5,0 3a 3,0 TXĐ: [-2;2] 0,25 y’ = 1 - 2 4 x x − 0,5 y’ = 0 2 4 x x ⇔ − = 0,25 2 2 0 4 x x x ≥  ⇔  − =  0,5 2x ⇔ = y’ không xác định tại x = 2, x = - 2 0,5 y(-2) = -2, y(2) = 2, y( 2 ) = 2 2 0,5 [ ] ( ) min 2 2y y = − = − -2;2 0,25 Vậy [ ] ( ) 2 2 2m y y = = -2;2 ax 0,25 3b 2.0 I = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 6 5 6 lim 4 5 6 x x x x x x x x → − − + − − + − 0,5 Trang 3/ 5 - 12 THPT - B¶ng A ( ) ( ) 2 2 2 5 6 lim 4 5 6 x x x x x x → − + = − + − 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 lim 2 2 5 6 x x x x x x x → − − = − + + − 0,5 ( ) ( ) ( ) 2 3 lim 2 5 6 x x x x x → − = + + − 0.25 1 16 − = 0.25 4 6,0 4a 3,0 f(x) Gọi V, V A , V B , V C , V D theo thứ tự là thể tích của các tứ diện ABCD, MBCD, MCDA, MABD, MABC. Ta có V= V A + V B + V C + V D 0,75 3 . 3 . A A A BCD A A BCD A V V d S d V V h S h = = = 0,75 Tương tự ; ; . B B C C D D B C D V d V d V d V h V h V h = = = 0,75 Suy ra 1. A B C D A B C D A B C D d d d d V V V V h h h h V V V V + + + = + + + = 0.75 Trang 4/ 5 - 12 THPT - B¶ng A A C B D h A M 4b 2,0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 4 4 . . . A B C D A B C D A B C D A B C D d d d d d d d d h h h h h h h h + + + ≥ 0,5 4 1 4 . . . A B C D A B C D d d d d h h h h ⇔ ≥ 0,5 1 . . . 256 A B C D A B C D d d d d h h h h ⇔ ≤ 0,5 1 . . . . . . . 256 A B C D A B C D d d d d h h h h ⇔ ≤ 0,25 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 . 4 A B C D A B C D d d d d h h h h = = = = hay M là trọng tâm tứ diện ABCD. 0,25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 5/ 5 - 12 THPT - B¶ng A . AN KÌ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN 12 BỔ TÚC THPT CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1