bat dang thuc(hot)

BẤT ĐẲNG THỨC L©m quang §¹o T Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức là một trong những chuyên đề khó của chương trình toán THPT bởi phạm vi nghiên cứu về vấn đề này rất rộng. Để giải được bài toán về loại này, đòi hỏi người học không những phải nắm vững lý thuyết, mà còn phải biết cách sử dụng các phép biến đổi, bất đẳng thức phụ,… linh hoạt và sáng tạo. Trong phạm vi bài viết, chúng tôi muốn chia sẻ cùng các em học sinh thân yêu, chia sẻ cùng các bậc thầy cô giáo đáng kính các kinh nghiệm tích góp được trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào Đại học. §1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. BẤT ĐẲNG THỨC: 1. Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số. Ta có:            ⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ − ≤ 2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:            !" #   !"  $%    & &  '(    & & )*   ⇒ >   ⇔ ± ±  ⇔    ⇒ + > +    ⇒ >              +   ! ,   ! ,!    - ! ,   ! ,   + + + ∈ ⇒ > ∈ ≥ ⇒ > ∈ ⇔ > ∈ ⇔ > II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: 1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : 1  ./001234567!8 + +    9+  !   :;<=>9307?30@     ≥ ≥ ≤  ÷  ÷  ÷      Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là :    A +  A+ %!7/0 ! B   % !7/0!        !7/0!   ≥ ≥ ∀ ∈ + ≥ + + ≥ * HÖ qu¶ 1: * HÖ qu¶ 2 : * HÖ qu¶ 3 : 2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm :              ./0123456 ! ! ! A !8         :;<=>9    ≥ + + + ≥ ⇔ = = = III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI 1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số:                          ./00CD12EA ! !A ! 3F!GH8 A  +   A  A     :;<=>9307?30   ," AIC @F AIC  ≤ + + = = = =* :Quy íc 2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số:                                0 ./00J12EA ! ! ! !A ! ! ! 3F!8 A  +  + +   A   A       :;<=>9    ,"6J IG8K ≤ + + + + + + ⇔ = = = * : Quy íc 0 F A0@! = IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ./06L012E7!8  +   :;<=>9307?30      :;<=>9307?30  ≤ + ≥ ≤ + ≤ V. BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC: G;<M>    !    7    ! D!D7D NG;<3NO O 7O   < < + < < + < < + ≤ ≤ ≤ µ        " P + ≥ ≤ 2 VI. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC:                            6 6 6  %  %  %       Q DAD Q DAD Q DAD        + + + = − = − = − = − = − = − + + + 3 §2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi, đánh giá thích hợp :R<60≥!1S<60≥ATQ1U$VGWT!M >! GR0"GX0G;<Y<60G"G;<GZ96JGZIC 8R1U$VG;<GZ0"GX0$[G"G;<Y<60 VÝ dô 1:I12!!3F <60NG;<   +  +  ≥++A A++  ≥#A++A (§HQG TP. HCM -1998) Lêi gi¶i.                            A        A  A  A  Q4Q4GZ A                           A A  A   ⇔ + + ≥ + + ⇔ − + − + − ≥ ⇔ + + − − − ≥ ⇔ + + − − − ≥ ⇔ + − + − ≥ Q4Q4GZ VÝ dô 2: <60K  +  +  +$  +'  ≥A++$+'A 7/06L0!!!$!' (§H Y dîc TP. HCM-1999) Lêi gi¶i.                 A     $ $ ' '  % % % %        $ ' 0R0\GZ     ⇔ − + + − + + − + + − + ≥         ⇔ − + − + − + − ≥  ÷  ÷  ÷  ÷            I12E!!]6^@7++    <60KAAA A <60KI12!!8GZ6J + +VÝ dô 3 : 12Q/M (§HTH TP.HCM -1993) Lêi gi¶i. 8A +++⇔ (2)    ++ .F++ ++           A7F@ ._9AGZ O9AGZ + + ⇔ ⇔ + + > + + 8AAA O9IC>12!!GHQ/M ICI12!!8GZ6J12Q/M ,"!! !65[7/00>0" ._9I12!!8GZ6 ⇒ J12Q/M # # # # # # # # # #    <60  %       + + < + + + VÝ dô 4 : IG8!!QGJ$0`a6J60N (T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ 5/2004) 4 Lêi gi¶i. # # #  8  A  % + ≥ + A # # # #   # #     _759 A %A +    #  #         A   A   ⇔ ≥ + + + ⇔ + − − ≥ ⇔ − − − ≥    AA    A A  ⇔ ≥ ⇔ + ≥ A AGZ AGZ ⇒ # # # # # # # # # # # # # # # #  bME  A  %   + A+ % &IG8        % A# +                 6  +     A  A  A   + ≥ + ≥   + + ≤ + +  ÷ + +   + + + + + = + + + + + + +     @A%          A&I+++ cA#7A%19GD6  + + + + + + + +  Bài tập tự luyện:     = 9 = 9 I=!9  <60 % # 9 = 9 =   ≠ + + ≥ +  ÷   Bµi 1 : (Đề thi vào lớp 10 chuyên của trường Trần Đại Nghĩa TP. HCM năm 2004 ) <60K"= 9 d!F8      9 A= d A= d = d 9 = d ≤ ≤     + + + ≤ + +  ÷  ÷     Bµi 2 : (Đề 148 - Bộ đề tuyển sinh)          I!!QN12$bM <60           #            + + + + + + + ≤  ÷ + + + + +   Bµi 3 : (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/1995)       I=!9!dQN12$bM <60  = =9 9 9 9d d d d= = #A= 9 d+ + + + + + + + ≥ + + Bµi 4 : (Học viện Quan hệ Quốc tế năm 1997) Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng: abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0. (Đề 2 - Bộ đề tuyển sinh) Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy  Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc 5             <60 !         + + ≥ + + ∀ ≠VÝ dô 1 : (ĐH Y dược Tp. HCM-1999) Lời giải.         D$V:9I12$bM!8                + ≥ = ≥ ¸ (1)        bME     + ≥ (2)            + + ≥ (3) Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3) ta có đpcm. = = = = = =  (  <60K7/06L0= B!8 # % ( ( % # e0IG;<=>9f       ∈ + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       VÝ dô 2 : (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ-Năm 2005) Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có: = = = = =  (  (   # ( % ( %         + ≥ =  ÷  ÷  ÷  ÷         (1) Tương tự ta có: = = = (   ( % #     + ≥  ÷  ÷     (2) = = =    % # (     + + ≥  ÷  ÷     (3) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được cho 2, ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. #  #  #     I=!9!d <60K  9  =  d     = 9 9 d d = = 9 d + + ≤ + + + + + VÝ dô 3 : (ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001) Lời giải.    &g$<60Gbh:1     A+ + ≥ + +    #  #  #  #  #  #          D$VA!Gbh A = 9 d =9 9d d= D$V:9IN6[12!Gbh  9  9  =  d  =  d  + + @ = 9 9 d d =  = 9  9 d  d =      @ =9 9d d= = 9 + + ≥ + + + + ≤ + + + + + ≤ + + ¸ ¸   AGD6  d 6 # #  <60K7/0!Q01234563F!Q48 # - i+ ≥ VÝ dô 4 : (ĐH Kinh tế Quốc dân - Năm 1997) Lời giải. # # # # # # # #  # D$VG;<9I123456!8 # - # P i # # P i i AGD6+ = + + ≥ = ¸ I!!QGJ$0`a6J60N <60K     # +       + + ≥ + − + − VÝ dô 5 : (ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000) Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:       A+A+   + − + + − ≤ = (1) bME8 A+A+ ≤ (2) A+A+ ≤ (3) Nhân các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được: #  A+A+A+   A+A+A+ D$VG;<9I12$bM!8     # # +       A+A+A+ ≤ ⇒ ≥ + + ≥ ≥ + − + − ¸ # # # # # # I!! <60    # + + + A + +  + + + +            ≥  ÷  ÷     VÝ dô 6 : (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 6/2003) Lời giải. # # # # # # # # # ./0 !!!8   A   A   A  A    A  A  A  ∀ + ≥ + + ≥ + + ≥ + + + ≥ + + + + + (1) # # # # # # # D$VG;<9I12$bM!8       #  #        + + ≥ = ¸ (2) Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.   I <60+   A ≥VÝ dô 7 : Lời giải. %    D$VG;<9I212$bM!8            +  %    A   A   A − − − − = + + + ≥ = ¸ 7     ( ( ( ( # # # # I!!!$ <60    $        $     $ + + + ≥ + + + VÝ dô 8 : (ĐH Thủy lợi – Năm 1997) Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có:     ( ( ( ( # # ( # ( # #       ( # (  (           + + + + ≥ = ⇒ ≥ − (1)  ( # # # (  bME!8     ≥ (2)  ( # # # (  $ $  ≥ − (3)  ( # # #$ (    $ ≥ − (4) Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm. % % % # IN12E=!9!d$bM <60 *=9dA=+9+d # A=+9 A9 d Ad =≤ + + VÝ dô 9 : (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 1/1996) Lời giải. Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x) Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz 2 + zx 2   * * i *  D$V:9IN612$bMj6127/06k012K =9A= 9 d!127/06k012 #  K d9A= 9 d! =d !d= # A=9d A= 9 d 8A=+9A9+dAd+= i GD6 # :;<=>9307?30= + + + + + + ≥ ⇒ ¸ @9@d     I!!! ,!  <60        +       ∈ ≥ + + > − + + − VÝ dô 10 : (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 8/1996) Lời giải.  A12  A+A D$V:9I12$bMj66J12K  7A127/06k012K!8 A+A A+A ++ +    A  A  A A     + ≥ + + − + −   ⇔ ≥     142 43 ¸      9   +      ≥ − − + + (1) 8      bME!8   +      ≥ − − + + (2)        +      ≥ − − + + (3) Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta có đpcm. AA+@ # :;<=>9307?30 AA+@  ,  AA+@ 34=>9   ⇒ = ∉     Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc    I=!9!dQ12$bM7=9d@ <60K = 9 d #   9  d  =  + + ≥ + + + VÝ dô 1 : (§Ò dù bÞ Khèi D-N¨m 2005) Lêi gi¶i.        D$V:9I012$bM!8 =  9 =  9   = +9 % +9 % 9  d 9  d   9 +d % +d % d  = d  =   d += % += % JN7"bM<a:!Gbh =  9  +9 % + + + ≥ = + + + ≥ = + + + ≥ =   + +   ¸   9  d d  = A= 9 d +d % += %     + + + + + + ≥ + + ÷  ÷  ÷         = 9 d # = 9 d A= 9 d +9 +d += % % + + ⇔ + + ≥ − − + + + # #A= 9 d #  % % # # # # #  # = 9 d # A&I= 9 d@ % % % %  :;<=>9307?30=@9@d@ + + ≥ − ≥ − = − = # # # # # # IN12$bM=!9!d]6^=9d@ <60K += 9  9 d +d =  # # =9 9d d= e0IG;<=>9f + + + + + + ≥ VÝ dô 2 : (§H, C§ Khèi D-N¨m 2005) Lêi gi¶i. ¸D$V:9I12$M!8 9  # # # # # += 9 #  = 9 #=9+ ≥ =  # # += 9 # =9 =9 + ⇔ ≥ A ME!8 # # +9 d # 9d 9d + ≥ A # # +d += # d= d= ≥ A# lC3N!8  # # # # # # # # =9 9d d= =9 9d d= + + ≥  # # # # # =9 9d d= ⇒ + + ≥ A% JN7"M<aA!A!A#7A%8GD6 :;<=>9307?30=@9@d@ = 9 d I=!9!dQ12]6^= + 9 + d @  <60K   #+ % # % # % * + + + + ≥ VÝ dô 3 : (§Ò dù bÞ Khèi A - N¨m 2005) Lêi gi¶i. % = = = % i= = = i9 9 i d d D$VG;<9!8 #+%    % % %  #+%  %  % bME!8 #+%  %  #+%  % = + + + ≥ ⇒ ≥ = ≥ ≥ ¸ ( ) # i i i i % = 9 d = 9 d = 9 d = 9 d JN7"bM<aG;<\!Gbh  #+% #+% #+%  % % %  # % % % * % * + + + + ≥ + + ≥ ≥ = :;<=>9307?30=@9@d@ VÝ dô 4:<60K7/06L0=!9!d$M7=+9+d@F i=9d =9+9d+d= +=9d (ĐH Tây Nguyên Khối A, B-Năm 2000) Lời giải. D$V:9!8¸ # @=+9+d+=+9+d * =9d≥ (1)    # =9+9d+d= # = 9 d≥ (2) Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác, ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) 10