CHUYEN DE HH7. NH 07-08

Người thực hiện: Nguyễn Thế Truyền Trung học cơ sở Thông Hòa BƯỚC ĐẦU HÌNH THÀNH PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 7 I. NGUYÊN NHÂN : Đasố học sinh lớp 7 mới làm quen với bài toán chứng minh hình học. Cho nên, học sinh rất lúng túng trứoc đề bài toán hình học: Không biết bắt đầu từ đâu, không biết liên hệ những điều nói trong đề toán với những kiến thức đã học, không phân biệt được điều đã cho và điều cần tìm. Suy luận hình học kém, chưa hiểu thế nào là chứng minh, cho nên lý luận thiếu căn cứ, không chính xác, không chặt chẽ, lấy diều phải chứng minh là giả thiết. Thậm chí có mâu thuẩn, không nắm được phương pháp cơ bản của giải toán hình học. Học sinh chưa thật sự được rèn luyện các khả năng quan sát, dự đoán suy luận có căn cứ. Vận dụng các kiến thức đã học vào giải toán, thực hành và các tình huống thực tiển còn lúng túng. Trình bày bài giải hình học không tốt, vẽ hình không chính xác rõ ràngo, ngôn ngữ và lý luận tùy tiện. II. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP : 1. Vẽ hình : Khi gặp đề toán ta đọc toàn bộ đề một lần, sau đó đọc và phân tích thật kỷ đề toán rồi vẽ hình ở giấy nháp đễ tìm vò trí tốt nhất của hình vẽ rồi vẽ vào tập.  Vẽ hình phải rỏ ràng: Hình nên vẽ vừa lớn không vẽ nhỏ, khi đề toán có điều kiện ta phải phân tích và vẽ điều kiện cho trước. Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A có µ O B 60= , thì ta vẽ µ O B 60= và µ O A 90= trước, sau đó mới vẽ tiếp các yêu cầu khác.  Vẽ hình phải dễ nhìn: Có những bài toán ta vẽ hình bình thường thì rất khó thấy chi tiết chứng minh, do đó có khi phải đổi vò trí các chữ hoặc kéo dài thêm cạnh nào đó … đễ tạo cho dễ thấy, giúp ta tìm yếu tố chứng minh dễ dàng.  Không vẽ hình đặc biệt: Nếu bài toán không cho chi tiết nào đặc biệt thì ta không nên vẽ đặc biệt. Chẳng hạn: Cho tam giác ABC mà không nói gì thêm thì ta không nên vẽ tam giác ABC vuông, cân, đều hoặc tam giác ABC vuông cân. Gọi M là điểm của đoạn thẳng BC, ta không vẽ M là trung điểm của BC. Cho Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy ta không nên vẽ Oz là tia phân giác của góc · xOy …. Cuối cùng ta nên đánh dấu ký hiệu bằng nhau trên hình vẽ của các đoạn thẳng, các góc…, nếu đề toán cho. Tóm lại: Hình vẽ đẹp, rõ ràng càng dễ nhì. Do đó khi chứng minh ta có thể dự đoán trước. Chẳng hạn chứng minh tam giác cân, tam giác vuông ta có thể dự đoán được tam giác đó cân tại đâu, vuông tại đâu. Muốn thế giáo viên phải hướng dẫn học sinh thật kỷ cách sử dụng dồ dùng học tập (Thước đo góc, Com pa, Eke, thước thẳng). Đồng thời hướng dẩn học sinh các thao tác dựng hình. Trang 1 Người thực hiện: Nguyễn Thế Truyền Trung học cơ sở Thông Hòa Chẳng hạn: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác của góc, đường trung trực của đoạn thẳng, tam giác cân, tam giác đều,… yêu cầu học sinh phải sử dụng com pa và thước thẳng đễ vẽ. Hơn thế nữa để vẽ hình tốt thì đòi hỏi bản thân học sinh phải thuộc các đònh nghóa có liên quan đến hình vẽ. 2. Cách ghi giả thiết , kết luận:  Ghi giả thiết : Ta ghi những chi tiết cần thiết của đề toán cho, phải ghi bằng ký hiệu toán học cho phép, ngoại trừ ký hiệu không có ta phải ghi bằng chữ mà phải viết ngắn gọn. Chẳng hạn : * Tam giác ABC vuông tại A thì ghi ABC∆ có µ O A 90= * AH là đường cao của tam giác ABC thì ghi AH BC⊥ * Cho góc xOy và Ot là phân giác thì ghi · · xOt tOy= * M là trung điểm của AB thì ghi AM = MB  Ghi kết luận: Ta ghi những điều phải chứng minh ở phần kết luận. do đó không cần ghi chữ “ chứng minh “ ngoại trừ các chũ so sánh , tính … ta cũng phải ghi bằng ký hiệu cho phép . 3. Cách tìm phương pháp chứng minh : Mỗi đònh lý đònh nghóa thường có ngầm chứa phần đảo. Ta cố gắng phân tích. Nếu phần đảo đúng thì đó là phương pháp chứng minh. Ví dụ 1 : * Thuận: Tia phân giác của một góc là tia chia góc đó ra hai góc bằng nhau. * Đảo: Tia chia được một góc thành hai góc bằng nhau thì tia đó là tia phân giác. * Phương pháp chứng minh: Vậy chứng minh tia phân giác là chứng minh cái gì? * Chứng minh hai góc bằng nhau. Ví dụ 2: * Thuận: tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. * Đảo: Tam giác nào có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân. * Phương pháp chứng minh: Vậy chứng minh tam giác cân ta phải chứng minh tam giác có điều kiện gì? * Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau. Yếu tố then chốt của bài toán chứng minh hình học là phân tích và phát hiện vấn đề do đó đòi hỏi tư duy phải thật lô gíc. Cho nên giáo viên cần phải hướng dẫn phân tích bài toán theo sơ dồ phân tích đi lên: Đễ chứng minh A ta cần phải chứng minh . Đễ chứng minh B ta cần phải chứng minh C. Đễ chứng minh C ta cần phải chứng minh D …… Sơ đồ : A ⇐ B ⇐ C ⇐ D … Nếu D đã có thì coi như chứng minh xong, lúc đó chỉ cần trình bày ngược lại là xong bài toán. Trang 2 Người thực hiện: Nguyễn Thế Truyền Trung học cơ sở Thông Hòa Rèn luyện thật kỷ cho học sinh khả năng tự tập phân tích một đònh lý ,đònh nghóa, bài toán như thế sẽ tìm phương pháp rất dễ. Tuy nhiên, đôi khi đònh lý có phần đảo không đúng. Ví dụ: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Đảo lại: Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh (Sai) 4. Cách dẩn chứng lý do : Trong chứng minh, mỗi chi tiết đưa ra bắt buộc phải dẫn chứng lý do là tại sao bằng nhau, tại sao song song, tại sao vuông góc… ai cho? Chớ không thể nào bỏ trống lý do đươcï. Ta cũng không nên dùng các từ “Hiển nhiên có” hay “Dễ dàng thấy”. Vì bản chất của toán học là rỏ ràng, chính xác mà các từ ấy thì quá mập mờ. Khi dẫn chứng không nên viết hết nội dung đònh lý mà chỉ ghi phần giả thiết của đònh lý, phần kết luận là chi tiết mà ta đã nêu ở trước. Ví dụ : Chi tiết đề nêu Dẫn cnhứng không nên theo Dẫn chứng nên theo ¶ µ 2 1 O O= ¶ µ µ 2 C A B= + Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau Góc ngoài của tam giác thì bằng tổng hai góc trong không kề với nó ( Đối đỉnh) ( ¶ 2 C làgóc ngoài ABC∆ ) * Chú ý : Trong phần suy luận nếu thấy ý chưa rỏ ta nên dẫn chứng đễ ý được hệ thống hơn : AB// CD xy CD xy AB  ⇒ ⊥  ⊥  ( Hai đường thẳng AB// CD ; xy CD⊥ ) 5. Câu hỏi gợi ý chứng minh : i. Ta phải chứng minh điều gì? ( xem phần kết luận ) ii. Muốn như vậy ta cần chi tiết gì? ( Cần thuộc phương pháp chứng minh ) iii. Chi tiết đó đề có cho chưa? ( Phân tích kỷ đề toán ) * Cách tìm chi tiết chứng minh : Tại sao đề cho…? Ta có chi tiết gì? Chi tiết đó để làm gì? Không lẻ đề cho để chơi? * Ví dụ: Chứng minh hai tam giác bằng nhau. - Học sinh tự phân tích và tìm ra câu hỏi :  Muốn chứng minh hai tam giác bằng nhau ta xem tam giác đó thuộc loại tam giác nào. Nếu loại tam giác thường ta tìm mấy chi tiết? (cạnh – cạnh – cạnh; cạnh – góc – cạnh; góc – cạnh – góc). Nếu hai tam giác vuông ta tìm mấy chi tiết Trang 3 Người thực hiện: Nguyễn Thế Truyền Trung học cơ sở Thông Hòa (2 chi tiết khi có cạnh huyền bằng nhau). Nếu không có cạnh huyền bằng nhau ta chứng minh như thế nào? (Như tam giác thường)  Muốn chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau ta xét xem hai đoạn thẳng đó, hai góc đó là các cạnh, góc của hai tam giác nào? Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau được hay không? Cần các yếu tố nào để chứng minh hai tam giác đó bằng nhau? Từ đó loại trừ các phương pháp không phù hợp và chọn ra phương pháp tối ưu để chứng minh…  Học sinh tự hỏi và tự trả lời để hình thành sơ đồ phân tích đi lên và chứng minh. 6. Cách trình bày bài toán chứng minh : Đây là khâu rất quan trọng của bài toán chứng minh hình học giúp học sinh hình thành cách học môn hình học sau này và các lớp trên. Thầy cô không thể nào chòu được một b toán chứng minh của học sinh là một “Rừng chữ”. Hoặc một “Rừng ký hiệu , công thức……”. Các em phải trình bày sao cho có hệ thống từ câu từng ý. * Mỗi câu chứng minh đề cho thì ta tóm tắt thành một tựa nhỏ và gạch dưới cho phân biệt. * Mỗi chi tiết nêu ra phải dẩn chứng lý do. * Phải viết chữ rõ ràng sạch sẽ, dễ đọc. Nói tóm lại trình bài một bài toán rất quan trọng, các em làm sao thể hiện tính hệ thống và chính xác của toán học mới tốt. muốn thế giáo viên có thể rèn luyện học sinh bằng cách trình bày chứng minh dưới dạng điền vào chổ trống đễ tự các em tìm chi tiết, nêu dẩn chứng rồi suy luận. 7. Một số ví dụ : Trong phần luyện tập các dạng toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau chứng minh đường thẳng là tia phân giác của một góc áp dụng các trường hợp bằng nhau: cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc của hai tam giác cần phải phân tích thật kỷ, vẽ hình chính xác , ghi giả thiết kết luận rõ ràng, hướng dẩn học sinh đònh hướng chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên đễ giúp các em hình thành sơ đồ chứng minh bài toán hình học. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có µ 0 A 90= , trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc µ B cắt AC tại D. 1) So sánh độ dài DA và DE. 2) Tính số đo góc · BED . Trang 4 Người thực hiện: Nguyễn Thế Truyền Trung học cơ sở Thông Hòa Giải GT ABC∆ có µ 0 A 90= , BE= BA ; µ ¶ 1 2 B B= KL 1) So sánh DA và DE 2) Tính · BED  Sơ đồ chứng minh: Dự đoán DA = DE ⇐ ADB EDB∆ = ∆ ⇐ µ ¶ 1 2 B B= , BD: cạnh chung ; BA = BE (xong ) 1) So sánh DA và DE. Ta có : µ ¶ 1 2 B B= ( BD là tia phân giác ) BD : cạnh chung BA = BE ( gt ) Do đó : ABD EBD∆ = ∆ (c-g-c) Suy ra : DA = DE ( Hai cạnh tương ứng ) (xong ). 2) Tính · BED .  Sơ đồ chứng minh : Dự đoán µ µ A E= ⇐ ADB EDB ∆ = ∆ ( Kết quả câu a ) Ta có : ADB EDB ∆ = ∆ (Kết quả câu a ) Suy ra : µ µ A E= ( Hai góc tương ứng ) Mà µ 0 A 90= ( gt ) ⇒ µ 0 E 90= ( xong ) Ví dụ 2: Cho góc · xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A,B thuộc Ox Sao cho OA < OB. Lấy các điểm C, D thuộc Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) AD = BC Trang 5 B A C E D Người thực hiện: Nguyễn Thế Truyền Trung học cơ sở Thông Hòa b) EAB ECD∆ = ∆ c) OE là phân giác của góc · xOy Giải 2 E 1 y O x C D A B GT · xOy ; OC = OA , OD = OB KL a) AD = BC b) EAB ECD∆ = ∆ c) OE là phân giác của góc · xOy  Sơ đồ chứng minh: AD = BC ⇐ COB AOD ∆ = ∆ ⇐ µ O chung, OC = OA , OD = OB.  Trình bày: a) Chứng minh: AD = BC Xét COB AOD ∆ = ∆ có: µ O chung OA = OC (gt) OD = OB (gt) Nên COB AOD ∆ = ∆ (c-g-c) ⇒ AD = BC (Hai cạnh tương ứng) (Xong) b) Chứng minh : EAB ECD∆ = ∆  Sơ đồ chứng minh : EAB ECD∆ = ∆ ⇐ µ µ D B= , ¶ ¶ 2 2 C A= , CD = AB  Trình bày: Ta có: COB AOD ∆ = ∆ ( c-g-c) ⇒ µ µ D B= , · · OCB OAD= (Hai cặp góc tương ứng ) Nên ¶ ¶ 2 2 C A= ( Cùng bù với hai góc bằng nhau ) Trang 6 Người thực hiện: Nguyễn Thế Truyền Trung học cơ sở Thông Hòa Do đó EAB ECD∆ = ∆ ( g-c-g ) (Xong ) c) Chứng minh OE là phân giác của · xOy :  Sơ đồ chứng minh: OE là phân giác ⇐ ¶ ¶ 1 2 O O= ⇐ OCE OAE∆ = ∆ ⇐ EA =EC , OE: cạnh chung, OC = OA  Trình bày : Ta có : EAB ECD∆ = ∆ ( g-c-g ) ⇒ EA = EC OE: cạnh chung OC = OA OC = OA Do đó OCE OAE∆ = ∆ (c-c-c) Nên ¶ ¶ 1 2 O O= Suy ra OE là phân giác của góc · xOy (Xong ) III. Kết quả :  50% học sinh tự giải tốt các bài tập trung bình (Dạng chứng minh hai tam giác bằng nhau ) . Bài tập nâng cao trình bày chứng minh chưa hợp lô gíc.  30% học sinh phải có gợi ý của giáo viên thì mới làm được.  Số còn lại không thuộc lý thuyết nên không tìm được phương pháp chứng minh. IV. Hạn chế : Vì học sinh còn học yếu, không thuộc lý thuyết nên dẩn đến khâu vẽ hình chưa tốt, không tìm được phương pháp chứng minh. Thông Hoà , ngày 20 tháng 01 năm 2008 Người viết NGUYỄN THẾ TRUYỀN Trang 7 . ĐẦU H NH TH NH PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH H NH HỌC 7 I. NGUYÊN NH N : Đasố học sinh lớp 7 mới làm quen với bài toán chứng minh h nh học. Cho nên, học sinh rất lúng túng trứoc đề bài toán h nh học:. dạng toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau chứng minh đường thẳng là tia phân giác của một góc áp dụng các trường hợp bằng nhau: c nh – c nh – c nh, c nh – góc – c nh, góc – c nh – góc của hai. chứng minh…  Học sinh tự hỏi và tự trả lời để h nh th nh sơ đồ phân tích đi lên và chứng minh. 6. Cách tr nh bày bài toán chứng minh : Đây là khâu rất quan trọng của bài toán chứng minh h nh học