mot ung dung cua mat cau

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA MẶT CẦU TRONG ĐẠI SỐ Nhận xét: 1.Phương trình tổng quát của mặt cầu (S): +++ 222 zyx 2ax+2by+2cz+d=0( )0 222 >−++ dcba Tâm của mặt cầu I(-a;-b;-c),bán kính R= dcba −++ 222 2. +++ 222 zyx 2ax+2by+2cz+d<0( )0 222 >−++ dcba là tập hợp các điểm M(x;y;z) trong không gian nằm trong mặt cầu (S). 3. +++ 222 zyx 2ax+2by+2cz+d>0( )0 222 >−++ dcba là tập hợp các điểm M(x;y;z) trong không gian nằm ngoài mặt cầu (S). Ứng dụng 1:Giải hệ phương trình VD1:Giải hệ phương trình sau 2 2 2 1(1) 2 2 3 0(2) x y z x y z  + + =  − + + =  Lời giải Trong hệ trục toạ độ Oxyz,ta có: Pt(1) là pt của mặt cầu 1 ( )S ,tâm O(0;0;0),bán kính R=1 Pt(2) là pt của mp(P):2x-y+2z+3=0 d(O;(P))=1=R nên (P) tiếp xúc với mặt cầu 1 ( )S ⇒ hệ trên có nghiệm duy nhất,nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm của (P) và 1 ( )S . Gọi (d) là đường thẳng qua O(0;0;0) và ⊥ (P).Phương trình của (d): 2 , 2 x t y t t R z t =   = − ∈   =  Xét hệ 2 2 2 3 0 3 2 1 3 2 2 3 x x y z x t y y t z t z  = −  − + + =    =   ⇒ =   = −     =  = −   .Toạ độ tiếp điểm là 2 1 2 ; ; 3 3 3   − −  ÷   . Vậy,hệ có nghiệm duy nhất (x;y;z)= 2 1 2 ; ; 3 3 3   − −  ÷   VD2:Giải hệ phương trình sau 2008 2009 2010 2 2 2 2007 2008 2009 2008(3) 2 4 6 7 0(4) 2 4 5 0(5) x y z x y z x y z x y z  + + =  + + + + + − =   + + − =  Lời giải Trong hệ toạ độ Oxyz,ta có: Pt(4) là pt mặt cầu 2 ( )S ,tâm ( 1; 2; 3)I − − − ,bán kính R= 21 Pt(5) là pt mp(Q):2x+y+4z-5=0 d(I,(Q))= 21 =R,nên (Q) tiếp xúc với mặt cầu 2 ( )S ,do đó từ pt(4) và pt(5) của hệ,giải tương tự VD1 ta có `1 1 1 x y z =   = −   =  .Thay `1 1 1 x y z =   = −   =  vào pt(3) thấy thoả mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(1;-1;1). VD3:Tìm m để hệ phương trình sau 2 2 2 2 2 1 0 2 2 0 x y z mx m m x y z m  + + − + + − =  + + + − =  có nghiệm thực Lời giải 1 Hệ 2 2 2 ( ) 1 (6) 2 2 0(7) x m y z m x y z m  − + + = − ⇔  + + + − =  +)Nếu 1-m<0 ⇔ m>1.từ pt(6) ⇒ hệ vô nghiệm ⇒ m>1 không thoả mãn +)Nếu 1-m=0 ⇔ m=1,thay vào hệ ta có 2 2 2 1 ( 1) 0 0 2 1 0 0 x x y z y x y z z =   − + + =  ⇔ ⇔ =   + + − =   =  , Hệ có nghiệm ⇒ m=1 thoả mãn +)N ếu 1-m>0 ⇔ m<1 khi đó,trong hệ toạ độ Oxyz Pt(6) là pt của mặt cầu ( ) m S tâm I(m;0;0),bán kính R= 1 m− Pt(7) là pt của mặt phẳng (P’):x+y+2z+m-2=0 Hệ có nghiệm ⇔ ( ) m S và mặt phẳng (P’) c ó điểm chung ⇔ d(I,(P’) ≤ R 2 2 2 1 6 2 1 0 1 1( 1) 2 m m m m m m − ⇔ ≤ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ < < Kết hợp lại,ta có m 1 ;1 2   ∈ −     thì hệ có nghiệm VD4:Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: 1 2 3 6 0 x y z m x y z m  − + − + − =   + + − − =   Lời giải Đặt 2 2 2 1 1 2 2 3 3 X x x X Y y y Y z Z Z z  = −  = +    = − ⇒ = +     = + = −    ,điều kiện , , 0X Y Z ≥ .Khi đó hệ (I) trở th ành 2 2 2 0(8) (9) X Y Z m X Y Z m + + − =   + + =  T ừ pt(9) ⇒ m ≥ 0 +)Nếu m=0,thay vào hệ ta có 2 2 2 0 0 0 X Y Z X Y Z X Y Z + + =  ⇔ = = =  + + =  ,hệ ban đầu có nghiệm duy nhất 1 2 3 x y z =   =   =  Nên m=0 thoả mãn +)Nếu m>0,khi đó,trong hệ toạ độ OXYZ:Pt(8) là ptmp(Q’):X+Y+Z-m=0 Pt(9) là pt mặt cầu 3 ( )S ,tâm O(0;0;0),bán kính R= m Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất ⇔ hệ sau có đúng một nghiệm (X;Y;Z) mà , , 0X Y Z ≥ ⇔ Mặt phẳng (Q’) có đúng một điểm chung với mặt cầu 3 ( )S ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ 3 ( )S cắt các tia OX,OY,OZ lần lượt tại A( m ;0;0),B(0; m ;0),C(0;0; m ). Phương trình mặt phẳng(ABC):X+Y+Z- m =0 Mặt phẳng (Q’)//(ABC) nên mặt phẳng (Q’) có đúng một điểm chung với mặt cầu 3 ( )S ở g óc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ OXYZ ⇔ (Q’) tiếp xúc với 3 ( )S ở góc phần tám thứ nhất của 2 hệ toạ độ 0 ( ;( ') m d O Q R >  ⇔  =  0 3 m m m >   ⇔ −  =   3m ⇔ = Vậy m=0 và m=3 thì hệ có nghiệm duy nhất. Ứng dụng2:Biện luận hệ bất phương trình VD1:Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực duy nhất 2 2 2 2 2 2 2 4 1 0 2 2 0 x y z x y x y z y z m  + + − − + ≤   + + − + − ≤   Lời giải Hệ ⇔ 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) 4(10) ( 1) ( 1) 2(11) x y z x y z m  − + − + ≤   + − + + ≤ +   +)Nếu m+2<0 ⇔ m<-2,từ bpt(11) suy ra hệ vô nghiệm,nên m<-2 không thoả mãn. +)Nếu m+2=0,ta có hệ 2 2 2 2 2 2 0 ( 1) ( 2) 4 1 ( 1) ( 1) 0 1 x x y z y x y z z =   − + − + ≤   ⇔ =   + − + + ≤    = −  ,hệ có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(0;1;-1) Nên m=-2 thoả mãn. +)Nếu m+2>0 khi đó trong hệ toạ độ Oxyz: Tập nghiệm của(10) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu 4 ( )S tâm I(1;2;0),bán kính R=2 Tập nghiệm của(11) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu 5 ( )S tâm I’(0;1;-1),bán kính R’= 2m + Để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất ⇔ 4 ( )S và 5 ( )S tiếp xúc ngoài với nhau ⇔ II’=R+R’ 3 2 2m⇔ = + + ,phương trình vô nghiệm Vậy m=-2 là giá trị cấn tìm VD2:Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất 2 2 2 6 2 2 2 0 2 2 0 x y z x y z x y z m  + + − + − + ≤  + + + =  Lời giải Hệ 2 2 2 ( 3) ( 1) ( 1) 9(12) 2 2 0(13) x y z x y z m  − + + + − ≤ ⇔  + + + =  Tập nghiệm của(12) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu 6 ( )S tâm I(3;-1;1),bán kính R=3 Tập nghiệm của(13) là toạ độ các điểm nằm trên mp(P’):x+2y+2z+m=0 Để hệ trên có nghiệm duy nhất ⇔ mp(P’) tiếp xúc với 6 ( )S ⇔ d(I;(P’))=R 3 3 3 6 12 m m m + ⇔ = =  ⇔  = −  Vậy m=6 và m=-12 là các giá trị cần tìm. Ứng dụng 3:Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức ba biến VD:Cho 1, 2, 3. , ,x y z x y z R≥ − ≥ − ≥ − ∈ thoả mãn 1 2 3x y z x y z+ + + + + = + + Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:f(x,y,z)=x+y+z. Lời giải Gỉa sử m là giá trị bất kỳ thuộc tập giá trị của hàm f(x,y,z),khi đó 3 hệ sau có nghiệm : 1 2 3 1 2 3x y z x y z x y z m x y z m x y z m   + + + + + = + + + + + + + =   ⇔   + + = + + =     (I) Đặt 2 2 2 1 1 2 2 3 3 X x x X Y y y Y z Z Z z  = +  = −    = + ⇒ = −     = − = +    ,điều kiện , , 0X Y Z ≥ . Khi đó hệ (I) trở thành 2 2 2 0(14) 6(15) X Y Z m X Y Z m + + − =   + + = +  (II). Hệ (I) có nghiệm ⇔ hệ(II) có nghiệm(X;Y;Z) mà , , 0X Y Z ≥ .Vì , , 0X Y Z ≥ nên từ (14) suy ra m 0 ≥ .Khi đó,trong hệ toạ độ OXYZ: pt(14) là phương trình mp(R):X+Y+Z-m=0 pt(15) là phương trình mặt cầu (S) tâm O(0;0;0),bán kính R= 6m + Mặt cầu (S)cắt các tia OX,OY,OZ lần lượt tại A( 6m + ;0;0),B(0; 6m + ;0),C(0;0; 6m + ) Phương trình mặt phẳng qua A,B,C là: 1 ( ): 6 0P X Y Z m+ + − + = Mp(R) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:d(O,(R))=R 2 6 3 3 18 0 6( ) 3( ) m m m m m tm m loai ⇔ = + ⇔ − − = =  ⇔  = −  Khi m=6 ta có mp 2 ( ) : 6 0P X Y Z+ + − = tiếp xúc với mặt cầu (S) ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ. Hệ (II) có nghiệm (X;Y;Z) mà , , 0X Y Z ≥ ⇔ mp(R) có diểm chung với mặt cầu (S) ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ ⇔ mp(R) di chuyển trong phần không gian giới hạn bởi mp(P1) và mp(P2) ⇔ 6 6 3 6m m m+ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ .Vậy tập giá trị của hàm f(x;y;z) là [ ] 3;6 Do đó Maxf(x,y,z)=6 Minf(x,y,z)=3 Bài tập áp dụng 1.Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) 2 2 2 2 2 2 4 3 0 4 0 x y z x x y z y m  + + − + ≤   + + − + ≤   b) 2 2 2 4 6 4 0 2 2 1 0 x y z x y x y z m  + + − − + ≤  − + + + =  2.Giải hệ phương trình 2 2 2 3 3 3 6 12 24 x y z x y z x y z + + =   + + =   + + =  3.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 2 4 2 0 2 2 5 0 x y z x y m x y z m  + + − + + =  + − + − =  Phan Quang Sơn –GV Trường THPT Nam Khoái Châu,huyện Khoái Châu,tỉnh Hưng Yên 4 . Pt(7) là pt của mặt phẳng (P’):x+y+2z+m-2=0 Hệ có nghiệm ⇔ ( ) m S và mặt phẳng (P’) c ó điểm chung ⇔ d(I,(P’) ≤ R 2 2 2 1 6 2 1 0 1 1( 1) 2 m m m m m m − ⇔ ≤ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ < < Kết. nhất ⇔ hệ sau có đúng một nghiệm (X;Y;Z) mà , , 0X Y Z ≥ ⇔ Mặt phẳng (Q’) có đúng một điểm chung với mặt cầu 3 ( )S ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ 3 ( )S cắt các tia OX,OY,OZ lần. A( m ;0;0),B(0; m ;0),C(0;0; m ). Phương trình mặt phẳng(ABC):X+Y+Z- m =0 Mặt phẳng (Q’)//(ABC) nên mặt phẳng (Q’) có đúng một điểm chung với mặt cầu 3 ( )S ở g óc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ OXYZ ⇔ (Q’) tiếp xúc với 3 ( )S