197 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Để chuyển đổi giữa các mô hình theo thời gian liên tục và mô hình theo thời gian rời rạc, dùng các hàm c2d và d2c − sysd = c2d(sysc,ts): chuyển đổi mô hình liên tục sys c thành mô hình rời rạc sys d , ở đó t s là thời gian lấy mẫu. − sysc = d2c(sysd): chuyển đổi mô hình rời rạc sys d thành mô hình liên tục sys c . Khi thực hiện các phép tính toán với các mô hình, các mô hình thường được chuyển đổi một cách tự động về loại mô hình phù hợp với phép tính toán/hàm sẽ được thực hiện. Chú ý: việc chuyển đổi giữa các loại mô hình có thể gây ra sai số, vì vậy cần tránh việc chuyển đổi nếu có thể. A.3.3. Các thao tác với mô hình LTI Phép thao tác Lệnh MATLAB Sơ đồ tương đương Cộng sys = sys1 + sys2 hoặc sys = parallel(sys1,sys2) sys 1 sys 2 + + Trừ sys = sys1 − sys2 sys 1 sys 2 + − Nhân sys = sys1*sys2 hoặc sys = series(sys1,sys2) sys 1 sys 2 Ghép theo hàng sys = [sys1 sys2] sys 1 sys 2 + + 198 Ghép theo cột sys = [sys1 ; sys2] sys 1 sys 2 Phản hồi âm sys = feedback(sys1,sys2,−1) sys 1 sys 2 + − Phản hồi dương sys = feedback(sys1,sys2,+1) sys 1 sys 2 + + A.3.4. Xây dựng mô hình bằng hàm append và connect Chúng ta có thể xây dựng một mô hình bằng cách kết nối nhiều khối (mô hình), sử dụng các thao tác với mô hình được mô tả trong bảng trên. Tuy nhiên, điều có thể thực hiện một cách nhanh chóng hơn bằng cách sử dụng hai hàm append và connect. Giả sử chúng ta muốn xây dựng một mô hình từ các mô hình sys 1 , sys 2 , , sys N . Trước hết, dùng hàm append để gộp các mô hình này vào thành một mô hình có các khối không kết nối với nhau: » sys = append(sys1,sys2, ,sysN); sys 1 sys 2 sys N sys 1 1 2 2 3 Các biến vào và ra của sys là các biến vào và ra của các mô hình sys 1 , sys 2 , , sys N , và được đánh số theo thứ tự xuất hiện của chúng trong hàm append. Sau đó, sử dụng hàm connect để kết nối các khối của mô hình: » sysc = connect(sys,Q,inputs,outputs) ở đó: − Q là ma trận định nghĩa kết nối giữa các khối. Phần tử đầu tiên trên mỗi dòng của ma trận Q là số thứ tự của một lối vào và các phần tử tiếp theo là số thứ tự, với dấu + hoặc −, của các lối ra sẽ được nối đến lối vào đó. Dấu 199 − có nghĩa là tín hiệu sẽ bị trừ đi tại điểm cộng tín hiệu. Các phần tử không được dùng đến của ma trận Q sẽ mang giá trị không. − inputs và outputs là hai vector dùng để xác định những biến vào và ra nào của mô hình sys sẽ là các biến vào và ra của mô hình sys c . Trong ví dụ sau đây, mô hình như trong hình vẽ dưới được xây dựng từ ba mô hình đã được định nghĩa trước là sys 1 , sys 2 và sys 3 : sys 2 sys 3 + − sys 1 1 2 3 4 1 2 3 » sys = append(sys1,sys2,sys3); » Q = [3 1 –3 ; 4 2 0]; » inputs = [1 2]; » outputs = 2; » sysc = connect(sys,Q,inputs,outputs); A.3.5. Trễ của tín hiệu vào CST cho phép tính tới trễ của tín hiệu vào cho các hệ thống theo thời gian liên tục trong giới hạn kiểm soát được. Trong không gian trạng thái, một hệ thống theo thời gian liên tục có độ trễ của các tín hiệu vào đều là τ (tính bằng giây) được mô tả bằng hệ phương trình: )()()( )()( )( τ τ −+= −+= ttt tt dt td DuCxy BuAx x Trong các mô hình sử dụng hàm chuyển, hàm chuyển của hệ thống với độ trễ τ là G(s)e -s τ , ở đó G(s) là hàm chuyển của hệ thống trong trường hợp không có trễ. Nếu mỗi kênh tín hiệu vào có một độ trễ riêng, biểu diễn trong không gian trạng thái có dạng: )]( ; ; )( ; )()()( )]( ; ; )( ; )()( )( 2211 2211 nn nn tutututt tututut dt td τττ τττ −−−+= −−−+= D[Cxy B[Ax x Trong CST, để đặt độ trễ của tín hiệu vào cho một mô hình, ta có thể dùng lệnh set cho thuộc tính InputDelay của mô hình, ví dụ: » G = tf([1 0],[1 2 10]) Transfer function: s s^2 + 2 s + 10 » set(G,’InputDelay’,0.05) % đặt trễ của tín hiệu vào là 0,05 » G 200 Transfer function: s exp(-0.05*s) * s^2 + 2 s + 10 » sys = ss(-1,[1 2],[2 ; 1],0) % mô hình với 2 biến vào, 2 biến ra a = x1 x1 -1 b = u1 u2 x1 1 2 c = x1 y1 2 y2 1 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model. » set(sys,’InputDelay’,[0.01 0.02]) % trễ cho 2 kênh vào là 0,01 và 0,02 » sys a = x1 x1 -1 b = u1 u2 x1 1 2 c = x1 y1 2 y2 1 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Input delays (listed by channel): 0.01 0.02 Continuous-time model. 201 A.4. Phân tích mô hình A.4.1. Đáp ứng của hệ thống theo thời gian Để mô phỏng đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi một mô hình, chúng ta có thể dùng các lệnh sau: − step(sys): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc đơn vị. Để vẽ đồ thị đáp ứng của mô hình sys trong một khoảng thời gian từ 0 đến một thời điểm t, dùng lệnh step(sys,t). Ví dụ: step(sys,1) sẽ vẽ đồ thị c ủa đáp ứng trong 1 giây đầu. − step(sys1,sys2, ): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của các hệ thống biểu diễn bởi nhiều mô hình trong cùng một hình vẽ với tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc đơn vị. − y = step(sys,t): tính toán các giá trị rời rạc của đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc đơn vị, theo vector thời gian t. Điều đó có nghĩa y là một vector mà mỗi phần tử y(i) là giá trị của đáp ứng tại thời điểm t(i). − impulse(sys): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm xung đơn vị. Để vẽ đồ thị đáp ứng của mô hình sys trong một khoảng thời gian từ 0 đến một thời điểm t, dùng lệnh impulse(sys,t). Ví dụ: impulse(sys,1) sẽ vẽ đồ thị của đáp ứng trong 1 giây đầu. − impulse(sys1,sys2, ): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của các hệ thống biểu diễn bởi nhiều mô hình trong cùng một hình vẽ với tín hiệu vào của hệ thống là hàm xung đơn vị. − y = impulse(sys,t): tính toán các giá trị rời rạc của đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm xung đơn vị, theo vector thời gian t. Điều đó có nghĩa y là một vector mà mỗi phần tử y(i) là giá trị của đáp ứng tại thời điểm t(i). − lsim(sys,u,t): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống được biểu diễn bởi một hàm rời rạc u theo vector thời gian t. Điều đó có nghĩa u là một vector mà mỗi phần tử u(i) là giá trị của tín hiệu vào tại thời điểm t(i). Ví dụ, để vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào là hàm u(t) = sin(4 π t) trong khoảng [0,8] với bước thời gian là 0,1s, dùng các lệnh sau: » t = [0:0.1:8]; » u = sin(4*pi*t); » lsim(sys,u,t); Nếu sys là một mô hình rời rạc thì khoảng thời gian giữa các điểm trong t cần phù hợp với khoảng thời gian lấy mẫu của sys. Nếu sys là một mô hình 202 có nhiều biến vào thì u là một ma trận, mỗi dòng tương ứng với một biến vào. − lsim(sys1,sys2, ,u,t): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của các hệ thống biểu diễn bởi nhiều mô hình trong cùng một hình vẽ với tín hiệu vào của hệ thống được biểu diễn bởi một hàm rời rạc u theo vector thời gian t. − initial(sys,x0): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi một mô hình trong không gian trạng thái sys ở điều kiện không có tác động từ bên ngoài (các tín hiệu vào của hệ thống đều bằng không), ở đó x 0 là vector chứa các giá trị khởi đầu của các biến trạng thái. A.4.2. Các điểm không và điểm cực của hàm chuyển Để tính toán và vẽ đồ thị các điểm không và điểm cực của hàm chuyển của một hệ thống, chúng ta có thể dùng các hàm sau: − z = zero(sys): hàm trả về vector z là giá trị các điểm không của hàm chuyển của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys. − p = pole(sys): hàm trả về vector p là giá trị các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys. − pzmap(sys): vẽ đồ thị các điểm không và điểm cực của hàm chuyển của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys trong mặt phẳng s (mặt phẳng phức). A.4.3. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống phản hồi khi hệ số phản hồi thay đổi Trong hệ thống điều khiển phản hồi biể u diễn ở hình vẽ dưới, đáp ứng của hệ thống có thể điều chỉnh được bằng cách thay đổi hệ số phản hồi K. G(s) K R(s) C(s) + − Để vẽ đồ thị quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống trên khi K thay đổi từ 0 đến +∞, sử dụng lệnh sau: » rlocus(sys) ở đó sys là mô hình của hệ thống có hàm chuyển là G(s). Trên đồ thị này, khi chúng ta nhấn chuột vào một điểm trên các đường quỹ tích của các nghiệm, chương trình sẽ hiển thị giá trị của K (gain) và nghiệm của phương trình đặc trưng (pole) tại điểm đó cùng với các giá trị của các số đo hiệu suất của tín hiệu ra tương ứng, bao gồm phầ n trăm quá mức (percent overshoot), hệ số cản (damping) và tần số tự nhiên (frequency) của đáp ứng. 203 A.4.4. Các phương pháp đáp ứng tần số Các hàm và lệnh sau đây của CST được sử dụng cho việc phân tích hệ thống bằng các phương pháp đáp ứng tần số: − freqresp(sys,w): tính toán đáp ứng tần số của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys tại các tần số được chỉ định bởi vector w. Hàm trả về một vector chứa các giá trị của đáp ứng tần số tương ứng với các tần số trong w. − bode(sys): vẽ đồ thị Bode của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys. − nyquist(sys): vẽ đồ thị Nyquist của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys. − nichols(sys): vẽ biểu đồ Nichols của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys. − [gm,pm,wg,wp] = margin(sys): tính toán dự trữ gia lượng và dự trữ pha của một hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys và các tần số tương ứng. Các giá trị trả về bao gồm dự trữ gia lượng gm, dự trữ pha pm, tần số wg tại đó góc pha bằng −180 o và wp là tần số tại đó độ lớn của đáp ứng tần số bằng một. Nếu chúng ta gọi lệnh margin(sys) (không có các biến chứa các giá trị trả về), đồ thị Bode của hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys sẽ được vẽ, trên đó có các đường chỉ ra dự trữ gia lượng (tính theo dB), dự trữ pha và các tần số tương ứng. A.5. Thi ết kế hệ thống điều khiển A.5.1. Thiết kế trong miền tần số Lệnh sisotool của CST sẽ mở một giao diện đồ họa cho phép người sử dụng thiết kế một hệ thống điều khiển phản hồi đơn biến (SISO) bằng các phương pháp bù trong miền tần số, bao gồm phương pháp sử dụng quỹ tích nghiệm và phương pháp bù trên đồ thị Bode. Hệ thống phản hồi được thiết kế bằng sisotool bao gồm bốn thành phần: quá trình G, bộ tiền lọc (prefilter) F, mạch bù C và khối phản hồi H. Mạch bù C có thể được đặt phía trước G (bù nối tiếp) hoặc đặt trên nhánh phản hồi (bù phản hồi). Để thay đổi giữa hai mô hình bù đó, chúng ta chỉ cần nhấn chuột vào nút FS (Feedback Structure) trong cử a sổ con biểu diễn mô hình hệ thống. Nút +/− trong cửa sổ con đó cho phép chuyển đổi giữa hai kiểu phản hồi âm và dương (Hình A.2). Để sử dụng sisotool nhằm thiết kế hệ thống điều khiển phản hồi cho một quá trình được biểu diễn bằng mô hình G, chúng ta có thể sử dụng lệnh sau: » sisotool(G) Khi đó hàm chuyển của bộ lọc F và khối phản hồi H đều sẽ được đặt bằng một. Hàm chuyển khởi đầu của mạch bù C cũng được đặt bằng một. Nếu chúng ta muốn khởi đầu với một mạch bù C có hàm chuyển khác một, sử dụng lệnh sau: » sisotool(G,C) hoặc sử dụng lệnh: 204 » sisotool(G,C,H,F) để gán thêm các mô hình cho khối phản hồi và bộ tiền lọc. Hình A.2. Giao diện đồ họa của SISOtool Sau khi cửa sổ của sisotool đã mở ra, trong cửa sổ đó sẽ hiển thị đồ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống và đồ thị Bode của đáp ứng tần số của hàm chuyển vòng hở. Chúng ta có thể thiết kế trực tiếp trên các đồ thị này bằng cách dùng chuột đặt ví trí cho các điểm cực trong đồ thị quỹ tích nghiệ m hay thay đổi độ lớn của đáp ứng tần số để điều chỉnh dự trữ pha và dự trữ gia lượng trên đồ thị Bode. Hàm chuyển của mạch bù C sẽ được thay đổi tương ứng. Ngoài ra, chúng ta còn có thể thay đổi trực tiếp hàm chuyển của mạch bù C hay bộ lọc F bằng cách chọn Compensators/Edit trên menu của sisotool. Kết quả của nhữ ng thay đổi đó sẽ được thể hiện trên các đồ thị. A.5.2. Thiết kế trong không gian trạng thái Phương pháp thiết kế hệ thống phản hồi trong không gian trạng thái có thể thực hiện được với các hàm sau đây của CST: − ctrb(sys): tính ma trận của tính điều khiển được của một hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys, ở đó sys phải là một mô hình trong không gian trạng thái. − obsv(sys): tính ma trận của tính quan sát được của một hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys, ở đó sys phải là một mô hình trong không gian trạng thái. − place(A,B,p): tính ma trận hệ số phản hồi H để hệ thống điều khiển phản hồi được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái sau đây: 205 BrxBHA x +−= )( dt d có các điểm cực tại các giá trị định trước cho bởi vector p. Nói một cách khác, hàm place sẽ tính ma trận H sao cho p chính là vector với các phần tử chính là các giá trị riêng của ma trận (A − BH). Khác với công thức Ackermann được giới thiệu ở Chương XI vốn chỉ sử dụng được cho các hệ thống đơn biến, hàm place cho phép chúng ta sử dụng phương pháp đặt điểm cực cho cả các hệ thống đa biến. 206 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Richard C. Dorf, Modern Control Systems (5 th edition). Addison-Wesley Publishing, 1989. 2. Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, Modern Control Systems (9 th edition). Addison-Wesley Publishing, 2000. 3. Chi-Tsong Chen, Analog and Digital Control System Design: Transfer Functions, State-Space, and Algebraic Methods. Saunders College Publishing, 1993. 4. Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems (4 th edition). Prentice Hall, 2002. 5. MATLAB Full Product Family Help for Release 12.1. 6. MATLAB Control System Toolbox - User's Guide (Version 4.1). 7. Thomas F. Weiss, MATLAB Tutorial for Systems and Control Theory. MIT, 1999. . nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống phản hồi khi hệ số phản hồi thay đổi Trong hệ thống điều khiển phản hồi biể u diễn ở hình vẽ dưới, đáp ứng của hệ thống có thể điều chỉnh được. A.5. Thi ết kế hệ thống điều khiển A.5.1. Thiết kế trong miền tần số Lệnh sisotool của CST sẽ mở một giao diện đồ họa cho phép người sử dụng thiết kế một hệ thống điều khiển phản hồi đơn biến. place(A,B,p): tính ma trận hệ số phản hồi H để hệ thống điều khiển phản hồi được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái sau đây: 205 BrxBHA x +−= )( dt d có các điểm cực tại các