67 hiện nhiệm vụ được thiết kế cho nó tốt tới mức nào? 5.2. Mô tả hiệu suất trong miền thời gian Các mô tả định lượng yêu cầu về hiệu suất trong miền thời gian là những chỉ số quan trọng vì các hệ thống điều khiển đều là những hệ thống trong miền thời gian. Điều đó có nghĩa là, hiệu suất nhất thời hay hiệu suất theo thời gian của hệ thống là mối quan tâm chủ yếu đối với các hệ thống điều khiển. Đ iều cần làm đầu tiên là xác định xem hệ thống có ổn định hay không. Chúng ta sẽ nghiên cứu các kỹ thuật phân tích tính ổn định của hệ thống ở các chương sau. Nếu hệ thống ổn định, đáp ứng của hệ thống với một tín hiệu vào nhất định sẽ cung cấp một số số đo của hiệu suất. Tuy nhiên, do tín hiệu vào thực sự của hệ thống th ường khó xác định, các tín hiệu vào thử (test input signal) chuẩn thường được sử dụng. Phương pháp này rất hữu ích bởi vì tồn tại một tương quan giữa đáp ứng của hệ thống với một tín hiệu vào thử chuẩn và khả năng của hệ thống khi hoạt động ở những điều kiện bình thường. Hơn nữa, việc sử dụng tín hiệ u vào chuẩn cho phép người thiết kế so sánh nhiều thiết kế khác nhau. Nhiều hệ thống điều khiển có các tín hiệu vào cũng tương tự các tín hiệu vào thử chuẩn. Các tín hiệu thử vào chuẩn thường được sử dụng là: (1) tín hiệu nhảy bậc (step), (2) tín hiệu dốc (ramp), (3) tín hiệu parabol và (4) tín hiệu xung đơn vị (unit impulse). Định nghĩa và biến đổi Laplace của các tín hi ệu này được trình bày trong bảng sau. Bảng 5.1. Các tín hiệu vào thử chuẩn Tín hiệu r(t) R(s) Nhảy bậc ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ 0 khi 0 0 khi t tK s K Dốc ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ 0 khi 0 0 khi t tKt 2 s K Parabol ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ 0 khi 0 0 khi 2 t tKt 3 2 s K Xung đơn vị )(lim)( 0 tft ε ε δ → = , ở đó ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >< ≤≤ = ε ε ε ε tt t tf hay 0 khi 0 0 khi 1 )( 1 Dạng tổng quát ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ 0 khi 0 0 khi t tKt n 1 ! +n s n K 68 Với một hệ thống vòng hở có tín hiệu vào là r(t), tín hiệu ra là c(t) và hàm chuyển là G(s): C(s) = G(s)R(s), nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vị δ (t), chúng ta sẽ có R(s) = 1, nghĩa là C(s) = G(s) hay c(t) = g(t). Mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của một hệ thống điều khiển phản hồi được biểu diễn bằng phương trình: )( )(1 )( )( sR sG sG sC + = (5.1) Xem xét một hệ thống phản hồi với hàm chuyển G(s) của quá trình có dạng như sau: )( )( pss K sG + = (5.2) Thay (5.2) vào (5.1), chúng ta có: )()( 2 sR Kpss K sC ++ = (5.3) Viết lại phương trình (5.3) dưới dạng của tỷ số cản ζ và tần số tự nhiên ω n : )( 2 )( 22 2 sR ss sC nn n ωζω ω ++ = (5.4) ở đó, )2( Kp= ζ và K n = ω . Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm nhảy bậc đơn vị, nghĩa là R(s) = 1/s, phương trình (5.4) trở thành: )2( )( 22 2 nn n sss sC ωζω ω ++ = (5.5) Đáp ứng theo thời gian của hệ thống có dạng như sau: )1sin( 1 1 1)( 2 2 θζω ζ ζω +− − −= − tetc n t n (5.6) ở đó ζ ζ θ 2 1 arctan − = . Đồ thị của c(t) với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ được biểu diễn trong Hình 5.1. Chúng ta có thể thấy được trên đồ thị, khi ζ càng giảm, biên độ dao động của đáp ứng càng tăng. Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm xung đơn vị, nghĩa là R(s) = 1, phương trình (5.4) trở thành: 22 2 2 )( nn n ss sC ωζω ω ++ = (5.7) 69 Đáp ứng theo thời gian của hệ thống có dạng như sau: )1sin( 1 )( 2 2 tetc n t n n ζω ζ ω ζω − − = − (5.8) Đồ thị của c(t) với tín hiệu vào là hàm xung đơn vị cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ được biểu diễn trong Hình 5.2. Chúng ta có thể chọn vài số đo hiệu suất từ đáp ứng nhất thời của hệ thống với các tín hiệu vào là tín hiệu nhảy bậc hay tín hiệu xung đơn vị. c(t) ω n t ζ = 0,1 ζ = 0,2 ζ = 0,4 ζ = 0,8 ζ = 1,0 ζ = 2,0 Hình 5.1. Đáp ứng nhất thời của hệ thống với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ Các số đo hiệu suất chuẩn thường được định nghĩa trên cơ sở đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào nhảy bậc (Hình 5.3). Tốc độ của đáp ứng được đo bằng thời gian lên (rise time) T r và thời gian tới đỉnh (peak time) T p . Thời gian lên T r là khoảng thời gian để đáp ứng của hệ thống tăng từ 10% lên 90% của giá trị cuối cùng, còn thời gian tới đỉnh T p là khoảng thời gian để đáp ứng của hệ thống đạt tới mức cực đại. Một số đo nữa là phần trăm quá mức (percent overshoot) P o được định nghĩa như sau: %100× − = fv fvM P p o (5.9) ở đó, M p là giá trị cực đại của đáp ứng và fv là giá trị cuối cùng của đáp ứng. Với tín hiệu vào nhảy bậc, fv thường có giá trị bằng độ lớn của tín hiệu vào. Thời gian quá độ (settling time) T s được định nghĩa là khoảng thời gian cần thiết để hệ thống ổn định trong một khoảng δ nhất định của giá trị cuối cùng fv. 70 Với hệ thống được biểu diễn bằng phương trình (5.4), giá trị của T s với δ bằng 2% của fv là bốn lần giá trị của hệ số thời gian τ của hệ thống: n s T ζω τ 4 4 == (5.10) c(t) ω n t ζ = 0,1 ζ = 0,2 ζ = 0,4 ζ = 0,8 ζ = 1,0 Hình 5.2. Đáp ứng nhất thời của hệ thống với tín hiệu vào là hàm xung đơn vị cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ ζ = 2,0 Để xác định thời gian tới đỉnh T p , chúng ta cần giải phương trình sau: 0 )( = dt tdc (5.11) Biến đổi Laplace của đạo hàm khi các điều kiện ban đầu bằng không là: )( )( ssC dt tdc = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ L (5.12) Thay (5.5) vào (5.12), chúng ta có được phương trình: 22 2 2 )( nn n ss dt tdc ωζω ω ++ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ L (5.13) Lấy biến đổi Laplace nghịch của phương trình (5.13): )1sin( 1 )( 2 2 te dt tdc n t n n ζω ζ ω ζω − − = − (5.14) Từ (5.11) và (5.14), chúng ta có được phương trình cần giải để xác định T p là: 71 0)1sin( 1 2 2 =− − − te n t n n ζω ζ ω ζω (5.15) Vế trái của phương trình (5.15) bằng không khi π1 2 kt n =− ζω với k là một số nguyên. Chúng ta dễ dàng thấy được, khi k = 1, nghiệm của phương trình chính là T p , nghĩa là: π1 2 =− pn T ζω (5.16) hay: 2 1 π ζω − = n p T (5.17) c(t) t T r T p M p fv fv+ δ fv − δ T s Hình 5.3. Các số đo hiệu suất trên đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào nhảy bậc đơn vị Thay (5.17) vào (5.6), chúng ta sẽ tính được giá trị cực đại M p của đáp ứng: θ ζ θ ζ θζω ζ ζωζω ζω sin 1 1 1)πsin( 1 1 1 )1sin( 1 1 1)( 22 2 2 pnpn pn TT pn T pp ee TeTcM −− − − +=+ − −= +− − −== (5.18) 72 ở đó ζ ζ θ 2 1 arctan − = , vì vậy sin θ được tính như sau: 2 2 1 1 arctansinsin ζ ζ ζ θ −= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = (5.19) Thay (5.19) vào (5.18), chúng ta có được giá trị của M p theo ζ và ω n : 2 1π 11 ζζ ζω −− − +=+= eeM pn T p (5.20) Đây là giá trị cực đại của đáp ứng với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị, trong trường hợp này giá trị cuối cùng của đáp ứng là fv = 1. Giá trị phần trăm quá mức P o được tính như sau: 2 2 1π 1 100%100 1 11 ζζ ζζπ −− −− =× −+ = e e P o (5.21) Khi thiết kế hệ thống, chúng ta thường muốn đáp ứng của hệ thống có cả P o và T p càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên, trong khi P o giảm theo chiều tăng của tỷ số cản ζ thì T p lại tăng, như được thể hiện trên đồ thị của ví dụ đang xét (Hình 5.4). Vì vậy, chúng ta cần điều chỉnh lại các yêu cầu ban đầu của P o và T p để có thể xác định được giá trị phù hợp cho ζ . P o ζ T p P o T p 5,0 4,0 3,0 4,8 4,6 4,4 4,2 3,8 3,6 3,4 3,2 Hình 5.4. Đồ thị của các số đo phần trăm quá mức P o và thời gian tới đỉnh T p của đáp ứng hệ thống khi tỷ số cản ζ thay đổi (đặt ω n = 1) Vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống được biểu diễn 73 bằng phương trình (5.4) thể hiện trong Hình 5.5. Đồ thị này cho chúng ta thấy được sự tương quan giữa đáp ứng trong miền thời gian của hệ thống với vị trí các điểm cực của hàm chuyển trong mặt phẳng s thông qua các hệ số ζ , ω n và góc θ . - ζ ω n × × σ i ω ω n 2 1 ζω − n i 0 Hình 5.5. Đồ thị vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống trong mặt phẳng s θ 2 1 ζω −− n i Đồ thị trong Hình 5.4 biểu diễn các số đo hiệu suất của một hệ thống bậc hai. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, các số đo hiệu suất của hệ thống có bậc lớn hơn hai cũng có thể xấp xỉ được bằng đồ thị này. Ví dụ, xem xét một hệ thống bậc ba có hàm chuyển vòng kín như sau: ))(2( )( 22 2 γωζω ω +++ = sss sT nn n (5.22) Phương trình đặc trưng của hệ thống nói trên có hai nghiệm là các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bậc hai biểu diễn bởi phương trình (5.4) và nghiệm thứ ba bằng − γ . Các số đo hiệu suất của hệ thống này sẽ có giá trị xấp xỉ các số đo hiệu suất của hệ thống bậc hai nếu như: ||10|| n ζω γ ≥ (5.23) Khi đó cặp nghiệm của hệ thống bậc hai được gọi là các nghiệm trội (dominant roots) của hệ thống bậc ba. Nói một cách khác, đáp ứng của một hệ thống bậc ba có thể xấp xỉ được bằng đáp ứng của một hệ thống bậc hai nếu độ lớn phần thực của các nghiệm trội nhỏ hơn 1/10 độ l ớn phần thực của nghiệm thứ ba của phương trình đặc trưng. Ví dụ 5.1 Xem xét hệ thống được biểu diễn bằng phương trình (5.3). Chúng ta muốn chọn giá trị các tham số K và p sao cho giá trị phần trăm quá mức P o của đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào nhảy bậc không vượt quá 5% và thời gian quá độ T s không quá 4s. T s được tính theo biểu thức (5.10), do vậy chúng ta có: 1hay 4 4 ≥≤= n n s T ζω ζω (5.24) 74 Sử dụng công thức (5.21), chúng ta tính được điều kiện để P o ≤ 5% là 21≥ ζ hay θ ≤ 45 o . Để thỏa mãn các yêu cầu, đồng thời có được giá trị của T s và T p càng nhỏ càng tốt, chọn giá trị nhỏ nhất có thể cho ζ là 21 và 21 == ζω n . Khi đó, chúng ta có được các giá trị 2 2 == n K ω và p = 2 ζω n = 2. 5.3. Chỉ số hiệu suất Chỉ số hiệu suất (performance index) là một số đo định lượng hiệu suất của một hệ thống và được lựa chọn sao cho phù hợp với các yêu cầu đặt ra cho hệ thống. Sau khi hiệu suất được mong muốn cho hệ thống đã được mô tả một cách định lượng, chỉ số hiệu suất sẽ được tính toán hay đo đạc và được dùng để đánh giá hiệu suất của hệ thống. Trong kỹ thuật điều khiển hiện đại, chỉ số hiệu suất là một khái niệm rất quan trọng và cần thiết cho các hệ thống điều khiển thích nghi, cho việc tối ưu hóa các tham số hệ thống một cách tự động và thiết kế các hệ thống điều khiển tối ưu. Một hệ thống được coi là hệ thống điều khiển tối ưu (optimum control system) khi các tham số của hệ thống được điều chỉnh được điều chỉnh sao cho các chỉ số đạt được cực trị, thường là giá trị cực tiểu. Các chỉ số hiệu suất thường được sử dụng bao gồm: 1. Tích phân của sai số bình phương (ISE): ∫ = T dtteI 0 2 1 )( (5.25) Giới hạn trên T là một giá trị thời gian hữu hạn được chọn sao cho tích phân tiếp cận giá trị ở trạng thái thường trực. Người ta thường chọn T = T s , tức là thời gian quá độ của hệ thống. Chỉ số này thường được dùng để phát hiện ra các hệ thống có tỷ số cản quá lớn hay quá nhỏ so với mức phù hợp. 2. Tích phân của sai số tuyệt đối (IAE): ∫ = T dtteI 0 2 |)(| (5.26) Chỉ số này thường được dùng khi chúng ta quan tâm nhiều hơn tới sai số ở đoạn cuối của đáp ứng nhất thời. 3. Tích phân của thời gian nhân sai số tuyệt đối (ITAE): ∫ = T dttetI 0 3 |)(| (5.27) 4. Tích phân của thời gian nhân sai số bình phương (ITSE): 75 ∫ = T dttteI 0 2 4 )( (5.28) Các chỉ số I 3 và I 4 được dùng vì chúng khuyếch đại sự thay đổi của sai số khi các tham số của hệ thống thay đổi, trong đó chỉ số I 3 phân biệt rõ nhất, cũng có nghĩa là điểm cực tiểu của nó được thể hiện rõ ràng nhất. Ngoài các chỉ số hiệu suất nêu trên, chúng ta có thể định nghĩa các chỉ số khác dưới dạng tổng quát: ∫ = T dtttctrtefI 0 ]),(),(),([ (5.29) ở đó f là một hàm của sai số, tín hiệu vào, tín hiệu ra và thời gian. Ví dụ 5.2 Xem xét một hệ thống điều khiển phản hồi có hàm chuyển của toàn hệ thống như sau: 12 1 )( 2 ++ = ss sT ζ (5.30) Các đồ thị trong Hình 5.6 thể hiện sự biến thiên của các chỉ số hiệu suất của hệ thống khi tỷ số cản ζ biến đổi, với tín hiệu vào là một hàm nhảy bậc đơn vị. Nhìn vào hình vẽ chúng ta thấy được chỉ số I 3 có sự thay đổi rõ ràng nhất, và chỉ số này đạt được giá trị cực tiểu khi tỷ số cản ζ có giá trị khoảng 0,7. Hình 5.6. Đồ thị các chỉ số hiệu suất khi tỷ số cản ζ thay đổi ζ 76 5.4. Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống điều khiển phản hồi Một trong những nguyên nhân chủ yếu của việc sử dụng phản hồi, cho dù làm tăng giá thành và độ phức tạp của hệ thống, là khả năng làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. Như đã được đề cập ở chương trước, sai số ở trạng thái thường trực của một hệ thống vòng kín thường nhỏ hơn vài lầ n so với sai số của hệ thống vòng hở. Chúng ta đã dùng ký hiệu E a (s) để chỉ tín hiệu sai khác được dùng để điều khiển quá trình trong hệ thống vòng kín. Tuy nhiên, sai số thực sự của hệ thống phải là E(s) = R(s) − C(s). Với hệ thống phản hồi như trong Hình 4.1, chúng ta có: )( )()(1 )()()(1 )( )()(1 )( )()( sR sHsG sGsHsG sR sHsG sG sRsE + − + = + −= (5.31) Nếu H(s) = 1: )( )(1 1 )( sR sG sE + = (5.32) Khi đó, E(s) = E a (s). Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống khi H(s) = 1 là: )(1 )( lim)(lim 0 sG ssR tee st ss + == →∞→ (5.33) Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống cho một số tín hiệu vào thử chuẩn khi H(s) = 1 được xác định như sau: − Tín hiệu nhảy bậc: )0(1)(1 )( lim 0 G A sG sAs e s ss + = + = → (5.34) ở đó A là độ lớn của tín hiệu nhảy bậc. Giả sử hàm chuyển G(s) của quá trình có dạng như sau: ∏ ∏ = = − − = Q j j N M i i pss zsK sG 1 1 )( )( )( (5.35) Giá trị N chính là số lần tích phân, hay còn gọi là số định kiểu (type number) của hệ thống, bởi vì sai số ở trạng thái thường trực phụ thuộc vào giá trị này, cụ thể như sau: o Hệ thống kiểu-0 (type-zero): p Q j j M i i ss K A pzK A e + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ = ∏∏ == 1 1 11 (5.36) . đánh giá hiệu suất của hệ thống. Trong kỹ thuật điều khiển hiện đại, chỉ số hiệu suất là một khái niệm rất quan trọng và cần thiết cho các hệ thống điều khiển thích nghi, cho việc tối ưu hóa. thiết kế các hệ thống điều khiển tối ưu. Một hệ thống được coi là hệ thống điều khiển tối ưu (optimum control system) khi các tham số của hệ thống được điều chỉnh được điều chỉnh sao cho các. điều khiển đều là những hệ thống trong miền thời gian. Điều đó có nghĩa là, hiệu suất nhất thời hay hiệu suất theo thời gian của hệ thống là mối quan tâm chủ yếu đối với các hệ thống điều khiển.