SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO HOÀ BÌNH TRƯỜNG THPT CÔNG NGHIỆP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 Mụn: TOÁN - KHỐI A (Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: ( 2 điểm ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1 2) Từ gốc toạ độ kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) ? Viết phương trình của các đường thẳng đó. Câu II ( 2điểm ) 1) Giải phương trình: x x x 2sin1 tan1 tan1 += + − 2) Giải hệ phương trình : =++ =+ 22 1 322 33 yxyyx yx Câu III: (1 điểm ) Tính tích phân : dx x x I ∫ + = 2 1 3 2 )1ln( Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc ASB = α . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD theo a và α . Câu V : (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng 2 9 2 2 22 2 22 2 22333 ≥ + + + + + + + + + ++ acb ac bca cb abc ba abc cba PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần1 hoặc phần2) 1.Theo chương trình nâng cao Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với A(0; 1) . Các đường cao đi qua hai đỉnh B và C lần lượt có phương trình d 1 : 3x + 4y -12 = 0 ; d 2 : 4x - y - 7 = 0 . Tìm toạ độ các điểm B và C. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình (P) : 2x -y -2z + 3 = 0 , (Q): 2x - 6y +3z - 4 = 0 và đường thẳng 21 3 1 : zyx d = − + = . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và(Q) Câu VII.a (1 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển nhị thức Niutơn n x x − 2 2 , Với 0≠x , và n ∈ N, biết rằng tổng các hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển đó bằng 97. 2. Theo chương trình chuẩn Câu VI.b : (2 điểm ) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x - 2y -2 = 0 và điểm A(0;1) , B(3; 4). Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho 2MA 2 + MB 2 là nhỏ nhất. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;7;-1), B(4;2;0) và mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 1 = 0. Viêt phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) Câu VIIb: (1 điểm ) http://kinhhoa.violet.vn Chứng minh rằng trong mặt phẳng toạ độ Oxy bốn điểm biểu diễn các số phức: 4+ (3 + 3 )i ; 2 + (3 + 3 )i ; 1+ 3i ; 3 + i cùng thuộc một đường tròn. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn TOÁN – Khối A Câu Nội dung đáp án Điểm Câu I (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Khảo sát hàm số: y = x 3 + 3x 2 + 1 • Tập xác định: D = • Sự biến thiên: +∞→x lim y = –∞; −∞→x lim = +∞ y' = 3x 2 + 6x = 3x(x +2) , ' 0 0 2 x y x = = ⇔ = − 0,25 Bảng biến thiên x –∞ -2 0 +∞ 0,25 y' + 0 0 + y 5 +∞ -∞ 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –2) và (0; +∞) nghịch biến trên khoảng : (–2; 0) Điểm cực đại: (-2; 5) ; điểm cực tiểu: (0; 1) 0,25 • Đồ thị - Cắt Oy tại điểm (0; 1) - Đi qua các điểm (-3;1) ; (1;5) - Điểm uốn I(-1;3) - Tâm đối xứng I(-1;3) 0,25 2. (1,0 điểm) Từ gốc toạ độ kẻ được Viết được phương trình của đường thẳng d đi qua gốc toạ độ với hsg k y = kx d tiếp xúc với (C) ⇔ 3 2 2 3 1 (1) 3 6 (2) x x kx x x k + + = + = có nghiệm 0,25 http://kinhhoa.violet.vn Thế (2) vào (1) ta được phương trình x 3 + 3x 2 + 1 = x(3x 2 + 6x) ⇔ 2x 3 + 3x 2 - 1 = 0 1 1 2 x x = − ⇔ = 0,25 x = 1 suy ra k = -3 , viết được phương trình tiếp tuyến y = -3x 0,25 x = 1 2 suy ra k = 15 4 , viết được phương trình tiếp tuyến y = 15 4 x 0,25 Câu II (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: Viết được đk −≠ ≠ 1tan 0cos x x 0,25 Biến đổi phương trình đã cho về dang: sinxcos 2 x + sin 2 xcosx + sinx = 0 ⇔ sinx(cos 2 x + sinxcosx + 1) = 0 0,25 Đánh giá được phương trình cos 2 x + sinxcosx + 1= 0 vô nghiệm. 0,25 Kết quả: Tìm được nghiệm x = k π ; k ∈ Z 0,25 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: Hệ đã cho ⇔ =++ =+ )2(22 )1(222 322 33 yxyyx yx Từ (1) và (2) => (2x 3 -x 2 y) + (y 3 -2xy 2 ) = 0 0,25 Biến đổi về phương trình: (y - 2x) ( y- x) (y + x) = 0 ⇔ y = 2x ; y =x ; y =-x 0,25 y =2x thay vào (1) ta đươc pt: 9x 3 =1 ⇔ x = 9 3 3 => y = 2 9 3 3 . y =x thay vào (1) ta đươc pt: 2x 3 =1 ⇔ x = 3 2 1 = y y = -x t hay vào (1) , phương trình vô nghiệm • Kết quả: (x; y) = ( 9 3 3 ; 2 9 3 3 ) hoặc (x; y) = ( 3 2 1 ; 3 2 1 ). 0,5 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: Đặt = += dx x dv xu 3 2 1 )1ln( => − = + = 2 2 2 1 1 2 x v dx x x du 0,25 Suy ra: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ln( 1) ln5 ln 2 1 2 ( 1) 8 2 ( 1) dx dx xdx I x x x x x x − = + + = − + + − + + ∫ ∫ ∫ 0,25 Tính được: I ( ) 2 2 2 1 1 1 ln5 ln 2 ln ln( 1) 1 1 8 2 2 x x= − + + − + 0,25 Tính được: I 1 5 5 ln16 ln5 ln 4 ln5 2 8 8 = − = − 0,25 http://kinhhoa.violet.vn S B A C D O I Câu IV (1,0 điểm) 0,25 Tính được SI = 2 a . cot 2 α ; 0,25 Tính được: SO = 2 sin2 α a α cos ; và diện tích của hình vuông ABCD bằng a 2 0,25 Từ đó tính được V = 2 sin6 cos 3 α α a (đvtt) 0,25 Câu V (1,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức Biến đổi vế trái về dạng: VT = + + + + + + + + + + + + + + abc ba ab abc acb ac ac acb bca cb bc bca 2 222 2 222 2 222 222 - 2 2 2 bc ac ab P bc ac ab + + = ÷ 0,5 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta dược P ≥ 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + + + + + + + + + + + abc ab ab abc acb ac ac acb bca bc bc bca 0,25 => P ≥ 2 + 2 + 2 - 2 3 = 2 9 ( Đpcm) dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b= c 0,25 1. (1,0 điểm) Tìm toạ độ các điểm B, C d 1 có VTCP 1 u ur ( 4; -3) , d 2 có VTCP 2 u uur ( 1; 4) , Viết được pt đường thẳng chứa cạnh AB : x + 4y -4 = 0 0,25 http://kinhhoa.violet.vn Vẽ hình đúng Gọi I là trung diểm của AB ; O là giao điểm của AC và BD Câu VI.a (2,0 điểm) Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 4 4 0 3 4 12 0 x y x y + − = + − = Giải hệ tìm được B(4; 0) 0,25 Viết được phương trình đường thẳng AC : 4x - 3y + 3 =0 0,25 Toạ độ điểm c là nghiệm của hệ 4 7 0 4 3 3 0 x y x y − − = − + = Tìm đươc toạ độ điểm C(3; 5) 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt cầu - Viết phương trình tham số của đường thẳng d: = −−= = tz ty tx 2 3 Vì tâm I của mặt cầu nằm trên đường thẳng d suy ra I(t;-3 -t; 2t) 0,25 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) ⇔ d(I,(P)) = d(I, (Q)) = R ⇔ 7 1414 3 6 + = − tt Tìm đựơc t = 0 , t = 5 12 − 0,25 Với t = 0 , viết được pt mặt cầu : x 2 + (y - 3) 2 + z 2 = 4 . 0,25 Với t = 5 12 − , viết được pt mặt cầu: 25 169 5 24 5 3 5 12 222 = ++ ++ + zyx 0,25 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x 4 Viết được = − n x x 2 2 .)2( 2 . 0 32 0 )(2 ∑∑ = − = − −= − k knk n k k k knk n xC x xC Từ đó tính được hệ số chứa x 4 bằng (-2) 4 1120 4 8 =C 2 2 0,25 Viết được ba só hạng đầu T 1 = n n xC 20 ; T 2 = -2 321 −n n xC , T 3 = 4 622 −n n xC Từ giả thiết suy ra: 9742 210 =+− nnn CCC Tìm được n = - 6 (loại) ; n = 8 0,25 Viết được: 8 2 2 x x − = ÷ 8 16 3 8 0 ( 2) . k k k k C x − = = − ∑ Từ giả thiết tìm được k = 4 0,25 Từ đó tính được hệ số chứa x 4 bằng (-2) 4 1120 4 8 =C 0,25 http://kinhhoa.violet.vn Câu VI.b (2,0 điểm) Cách 2: 1. (1,0 điểm) Tìm toạ độ điểm M Viết được phương trình tham số của đường thẳng d: +−= = ty tx 1 2 Do M nằm trên d suy ra M(2t; -1 + t) 0,25 Tính được 2MA 2 + MB 2 = 15t 2 - 30t + 42 0,25 Viết được 2MA 2 + MB 2 = 15(t - 1) 2 + 27 ≥ 27 , ∀ t 0,25 Suy ra GTNN của 2MA 2 + MB 2 bằng 27 Từ đó suy ra điểm M(2; 0 ) 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phương trình hình chiếu Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 7; -1) và vuông góc với mp(P) là d 1 : −−= += += tz ty tx 21 27 1 Tìm được hình chiếu của A trên (P) là A’(-1; 3; 3) 0,5 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm B(4; 2; 0) và vuông góc với mp(P) là d 2 : ' '2 22 '4 −= += += tz ty tx Tìm được hình chiếu của B trên (P) là B’(3; 0; 2) 0,25 Từ đó suy ra hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(P) là đường thẳng A’B’ có phương trình : −= −= +−= tz ty tx 3 33 41 0,25 Viết được (3; 5;1)AB − uuur , từ đó viết được ptts của AB : 4 3 2 5 x t y t z t = + = − = 0,25 gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) có VTPT , (8;7;11) p n AB n = = uur uuur uur Từ đó viết được pt mp(Q): 8x + 7y + 11z - 46 = 0 0,25 hình chiếu d của đường thẳng AB trên (P) là giao tuyến của hai mp (P) và (Q) nên có VTCP 1 , (4;3; 1) 9 p u n n = = − r uur r 0,25 Tìm được điểm M(3; 0; 2) thuộc đường thẳng d, từ đó viết được pt đt 0,25 http://kinhhoa.violet.vn d: 3 4 3 2 x t y t z t = + = = − Câu VII.b (1,0 điểm) Chứng minh rằng Tìm được các diểm biểu diễn của các số phức đã cho trên mặt phẳng toạ độ lần lượt là: A(4; 3 + 3 ) , B( 2; 3 + 3 ) , C(1 ; 3) , D(3;1) 0,25 Viết được phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm B, C, D l à (x- 3) 2 + (y - 3) 2 = 4 0,5 Chứng minh được điểm A thuộc đường tròn: (x- 3) 2 + (y - 3) 2 = 4 0,25 Chú ý: Mọi lời giải khác, nếu đúng vẫn chấm điểm tối đa. Hết http://kinhhoa.violet.vn . 9x 3 =1 ⇔ x = 9 3 3 => y = 2 9 3 3 . y =x thay vào (1) ta đươc pt: 2x 3 =1 ⇔ x = 3 2 1 = y y = -x t hay vào (1) , phương trình vô nghiệm • Kết quả: (x; y) = ( 9 3 3 ; 2 9 3 3 ). các số phức đã cho trên mặt phẳng toạ độ lần lượt là: A(4; 3 + 3 ) , B( 2; 3 + 3 ) , C(1 ; 3) , D (3; 1) 0,25 Viết được phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm B, C, D l à (x- 3) 2 + (y - 3) 2 . điểm biểu diễn các số phức: 4+ (3 + 3 )i ; 2 + (3 + 3 )i ; 1+ 3i ; 3 + i cùng thuộc một đường tròn. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG