Đề và đ.án thi thử Toán TN 2010_5

http://ductam_tp.violet.vn/ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề CÂU I: a) Khảo sát hàm số: 2 5 4y x x= − + b) Cho 2 parabol: 2 5 6y x x= − + và 2 5 11y x x= − − − Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên CÂU II: a) Tìm x , y nguyên dương thỏa phương trình:3x+5y=26 b) Cho a .b .c > 0. Chứng minh rằng : 1 1 1 ( )( ) 9a b c a b c + + + + ≥ CÂU III: a) Giải phương trình :sinx+sin2x+sin3x=0 b) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 2cot 2 C tga tgb g+ = thì tam giác ABC cân CÂU IV: a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt? b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3,4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau? Thí sinh chọn một trong hai câu Va hoặv Vb dưới đây CÂU Va: a) Cho đường tròn 2 2 2 ( ) ( )x a y b R− + − = Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn tại điểm 0 0 ( , )x y có phương trình: 2 0 0 ( )( ) ( )( )x a x a y b y b R− − + − − = b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ của Hyperbol 2 2 2 2 1 x y a b − = đến các tiệm cận của nó là 1 số không đổi CÂU Vb: Cho tứ diện ABCD . Gọi 1 1 1 1 , , ,A B C D tương ứng là các trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Gọi G là giao điểm của 1 1 ,AA BB a) Chứng minh rằng: 1 3 4 AG AA = b) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 , , ,AA BB CC DD đồng quy DAP AN Câu I: a) Khảo sát hàm số: 2 5 4y x x= − + . • Tập xác đònh: D = R • y’= 2x - 5 • BBT: http://ductam_tp.violet.vn/ • Đồ thò: b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol: 2 ( ) : 5 6 1 P y x x= − + và 2 ( ) : 5 11 2 P y x x= − + − - Gọi ( ) ∆ : y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2). - ( ) ∆ tiếp xúc với (P1) và (P2). 2 5 6 2 5 11 2 (5 ) 6 0 2 (5 ) 11 0 2 0 10 4 1 0 1 0 2 10 4 19 0 2 3 3 10 5 x x ax b x x ax b x a x b x a x b a a b a a b a a b b  − + = +  ⇔   − + − = +   − + + − =  ⇔   − − + + =   ∆ =  + + + =   ⇔ ⇔   ∆ =   − − − =   = = −  ⇔ ∨  = − =  co ùnghiệm kép co ùnghiệm kép co ùnghiệm kép co ùnghiệm kép    Vậy phương trình tiếp tuyến chung là: y = 3x - 10 hay y = - 3x + 5 CÂU II: a) Tìm x, y nguyên dương thoả 3x + 5y = 26 Ta có: http://ductam_tp.violet.vn/ 3x + 5y = 26 26 5 1 8 2. 3 3 y y x y − − ⇔ = = − + Ta lại có: • ,x y ∈¢ 1 3 , 1 3 7 5 y y t y t y t x t ∈   ⇔ − = ∈   ∈  ⇔  = − ⇒ = +  ¢ ¢ ¢ 1 3 , 0 7 5 0 7 1 5 3 1 0 (vì t ) t x y t t t t −  • > ⇔  + >  − ⇔ < < ⇔ = − ∨ = ∈ ¢ Vậy: 2 7 4 1 x x y y = =   ∨   = =   b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh 1 1 1 ( )( ) 9a b c a b c + + + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được : 3a b c abc+ + ≥ 1 1 1 1 3 3 a b c abc + + ≥ (vì a, b, c > 0) Nhân vế với vế ta được : 1 1 1 ( ) 9a b c a b c   + + + + ≥     (đpcm) CÂU III: a) Giải phương trình:sinx + sin2x + sin3x = 0 Ta có phương trình 2sin 2 cos sin 2 0 sin 2 (2cos 1) 0 sin 2 0 1 cos 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 2 3 x x x x x x x x k x k k x k x k π π π π π π ⇔ + = ⇔ + = =   ⇔  = −  =   ⇔  = ± +   =  ⇔ ∈   = ± +   ¢ http://ductam_tp.violet.vn/ b) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 2cot 2 C tgA tgB g+ = thì ∆ ABC cân. Ta có: [ ] 2 2cot 2 cos sin( ) 2 2 cos .cos sin 2 cos sin 2 2 cos .cos sin 2 sin 1 2 cos .cos sin 2 sin cos .cos 2 1 1 (1 cos ) cos( ) cos( ) 2 2 1 cos cos cos( ) cos( ) 1 0 C tgA tgB g C A B C A B C C C A B C C A B C A B C A B A B C C A B A B A B A B + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + + − ⇔ − = − + − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = Vậy ABC ∆ cân tại C. CÂU IV: a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt: • Số các số có 1 chữ số: 1 4 A . • Số các số có 2 chữ số phân biệt: 2 4 A . • Số các số có 3 chữ số phân biệt: 3 4 A . • Số các số có 4 chữ số phân biệt: 4 4 A . Vậy số các số cần tìm là: 1 2 3 4 64 4 4 4 4 A A A A+ + + = (số). b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau: Gọi số cần tìm có dạng: 1 2 3 4 5 a a a a a . • Trường hợp 1 : 0 5 a = Số cách chọn các vò trí còn lại: 4 5 A • Trường hợp 2: { } 2,4 5 a ∈ http://ductam_tp.violet.vn/ - 5 a Có 2 cách chọn. - 1 a Có 4 cách chọn (vì 1 a khác 0) - , , 2 3 4 a a a có 3 4 A cách chọn. ⇒ Số các số trong trường hợp 2: 3 2.4. 4 A (số) Vậy số các số cần tìm là: 4 3 2.4. 312 5 4 A A+ = (số) CÂU Va: a) Đường tròn 2 2 2 ( ) ( )x a y b R− + − = (C) • Có tâm I(a, b) bán kính R. • Gọi ( ) ∆ là tiếp tuyến của (C) tại ( , ) 0 0 0 M x y . Ta có: ( , ) ( ) 0 0 M x y MM IM∈ ∆ ⇔ ⊥ , 0 0 0 ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 ( ) ( ) 0 0 ( )( ) ( )( ) 0 0 2 2 ( )( ) ( )( ) 0 0 MM IM x x x a y y y b x a x a a x y b y b b y x a y b x a x a y b y b R x a x a y b y b R ⇔ = ⇔ − − + − − = ⇔ − − + − + − − + − = − + − ⇔ − − + − − = ⇔ − − + − − = uuuuuuruuuur (vì ( , ) ( ) 0 0 0 M x y C∈ ) Vậy phương trình tiếp tuyến tại ( , ) 0 0 x y là: 2 ( )( ) ( )( ) 0 0 x a x a y b y b R− − + − − = b) 2 2 1 ( ) 2 2 x y H a b − = Lấy 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) 0 0 0 0 M x y H b x a y a b∈ ⇔ − = Hai tiệm cận của (H) là: bx - ay = 0 ( ) 1 ∆ và bx + ay = 0 ( ) 2 ∆ Ta có: 0 0 0 0 ( ,( )). ( ,( )) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 bx ay bx ay d M d M a b a b b x a y a b a b c − + ∆ ∆ = + + − = = + (với c là nửa tiêu cận của (H)) http://ductam_tp.violet.vn/ CÂU Vb: a) 3 4 1 AG AA = Gọi I, J là trung điểm của CB, CD và 1 A BI DJ= ∩ . Ta có: 1 D AJ∈ Và: 1 1 1 1 1 3 JD JA A D JA JD AD = = = Tam giác 1 1 GA A GDA: . 1 1 1 3 1 3 4 1 D A GA GA AD AG AA ⇒ = = ⇒ = b) Chứng minh tương tự ta có 1 BB và 1 CC cũng qua G. Vậy 1 AA , 1 BB , 1 CC , 1 DD đồng qui tại G. . http://ductam_tp.violet.vn/ Đ THI THỬ Đ I HỌC NĂM 2010 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đ CÂU I: a) Khảo sát hàm số: 2 5 4y x x= − + b) Cho 2 parabol: 2 5 6y x x= − + và 2 5 11y x x=. ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2). - ( ) ∆ tiếp xúc với (P1) và (P2). 2 5 6 2 5 11 2 (5 ) 6 0 2 (5 ) 11 0 2 0 10 4 1 0 1 0 2 10 4 19 0 2 3 3 10 5 x x ax b x x ax b x a x b x a x b a. 2, 3, 4, 5 có thể lập đ ợc bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đ i một khác nhau: Gọi số cần tìm có dạng: 1 2 3 4 5 a a a a a . • Trường hợp 1 : 0 5 a = Số cách chọn các vò trí còn lại: 4 5 A •