Đã biết trên các mặt cắt VCB qua khỏi 1 điểm K cho trước của vật thể chịu tải trọng nói chung ứng suất sẽ có giá trị khác nhau tuỳ theo phương của mặt cắt, chỉ có trong các trường hợp đặ
Trang 1BÀI GIẢNG
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN
I- MỤC ĐÍCH:
Nắm được khái niệm TTƯS và lý thuyết bền làm cơ sở giải các bài toán cơ bản theo điều kiện bền
II- YÊU CẦU:
- Nắm được TTƯS phẳng, định luật đối ứng, phương chính, ứng suất chính
Sử dụng thành thạo vòng tròn Mor ứng suất
- Nắm được thuyết bền và phạm vi ứng dụng
III- THỜI GIAN : 06 tiết.
Lý thuyết : 04 tiết ; Bài tập : 02 tiết
IV- VẬT CHẤT ĐẢM BẢO :
Phòng học và các thiết bị kèm theo
Bài giảng
Tài liệu tham khảo :
* LÊ HOÀNG TUẤN- BÙI CÔNG THÀNH SBVL
Tập 1 NXB Trường ĐH Bách khoa Tp HCM
* NGUYỄN VĂN NHẬM – ĐINH VĂN MIỄN SBVL
NXB ĐH và Trung học chuyên nghiệp
V- PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN :
1) Giờ lý thuyết :
Giảng viên: Chỉ dẩn tài liệu nghiên cứu và diễn đạt những điều cần chú ý
Học viên: Chú ý nghe và ghi những điều cần thiết
2) Giờ bài tập :
Giảng viên : Tổ chức kiểm tra 15 phút, gợi ý, giải đáp thắc mắc, ra bài tập
Học viên : Làm bài kiểm tra và tự giải quyết bài tập
I KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐIỂM :
Thời gian: 15 phút
Phương pháp: thuyết trình
Đã biết trên các mặt cắt VCB qua khỏi 1 điểm K cho trước của vật thể chịu tải trọng nói chung ứng suất sẽ có giá trị khác nhau tuỳ theo phương của mặt cắt, chỉ có trong các trường hợp đặc biệt rất hiếm giá trị ứng suất như nhau trong tất cả các phương
Ta gọi “tập hợp tất cả những giá trị ứng suất pháp () và ứng suất tiếp () trên các
mặt cắt cùng đi qua 1 điểm là trạng thái ứng suất tại điểm đó”.
Khi nghiên cứu ứng suất tại 1 điểm K ta thường tưởng tách ra tại K 1 phân tố diện tích hình hộp VCB, các mặt của nó vuông góc với các trục toạ độ
Trong trường hợp tổng quát trên các mặt có 9 thành phần ứng suất :
x , y , z , xy , xz , yx , yz , zx , zy
Theo định luật đối xứng :
xy yx , yz zy , xz zx
Trang 2Do đó chỉ còn có 6 thành phần độc lập (3 tp ứng suất pháp – 3 tp ứng suất tiếp) Như hình 4.1
Người ta đã chứng minh được rằng tập hợp tất cả
ứng suất trên các mặt của phân tố hình hộp đặc trưng
hoàn toàn cho trạng thái ứng suất tại 1 điểm của vật
thể chịu tải Tập hợp các ứng suất này gọi là tenxơ
ứng suất
đó gọi là phân tố chính, các mặt của nó gọi là mặt
chính.Ứng suất tác động lên mặt chính gọi là ứng suất
chính, pháp tuyến của mặt chính gọi là phương chính
Tại 1 điểm bất kỳ của vật thể chịu tải ta luôn tìm
được 3 mặt chính vuông góc nhau
Qui ước ký hiệu ứng suất chính là 1 , 2 và 3 thoả mãn: 1> 2>3 và 3 <0.
Trạng thái ứng suất được qui định như sau :
- Nếu cả 3 ứng suất chính đều khác 0 ta gọi là trạng thái ứng suất khối
- Nếu 1 trong 3 ứng suất chính bằng 0 ta gọi là trạng thái ứng phẳng
- Nếu 2 trong 3 ứng suất chính bằng 0 ta gọi là trạng thái ứng suất đơn
II TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG
Thời gian : 50 phút
Phương pháp : Thuyết trình
1) Phương pháp giải tích :
Thời gian: 20 phút
Phương pháp: Thuyết trình
a) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ // trục z:
(Xem trục z trùng với trục có ứng suất chính bằng 0 và mặt có pháp tuyến z là mặt chính, vì có zx = zy = 0) Để đơn giản ta biểu diễn phân tố đang xét bằng hình chiếu của toàn bộ phân tố lên mặt Oxy (Hình 4.3)
Cắt phân tố bằng 1 mặt cắt nghiêng // với trục z có pháp tuyến tạo với trục x một góc ( hình 4.4 ) được xem là dương nếu quay trục x đến pháp tuyến ngoài theo chiều ngược kim đồng hồ Ngược lại là âm
y
z x
y
x
yz
yx
Hình 4-1
xz
xy
zx
zy
y
x z
Hình 4-2
3 1 1
2
2
1 1
2
2
2
2
Trang 3Xét cân bằng phân tố, thiết lập các phương trình hình chiếu lên trục u, v :
0 cos dz dx
sin dz dy sin
dx dz cos
dy dz dz ds F
yx
xy y
x u
u
(1)
0 cos dx dz
sin dy ds cos
dy dz sin
dz dx dz ds F
y
x xy
yx uv
v
(2) Thay yx xy; dx ds sin ; dy ds cos và lưu ý:
2
2 1
2
2
cos
;
cos sin , ta xác định được ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ // với trục z:
2
y x y x u
2 2
2 ysin xycos
x
uv (3)
b) Ứng suất chính và phương chính:
- Phương trình
Gọi o là góc hợp bởi trục x và phương chính Giá trị o phải thoả mãn sao cho:
uv = 0
y x
xy o
tg
y x xy
Hay
2 2
2 o k o k
Hình 4-3
y
x
y
x
yx
xy
y
x z
x x
y
y
xy
yx
Hình 4.4
x
y
u
uv
yx
xy
x y
z
v
u ds
dx
u
v
u
uv x
xy
y yx
dx
Trang 4Vậy luôn tìm được 2 nghiệm o khác nhau góc /2 Như vậy ta luôn có 2 mặt chính vuông góc với nhau và // với trục z Trên mỗi mặt chính có 1 ứng suất chính
- Ứng suất chính
Thay vào trên để tính ứng suất chính với chú ý:
o
o o
o o
tg cos
; tg
tg sin
2 1
1 2
2 1
2 2
2 2
2
1
y x min
Ứng suất chính cũng là những ứng suất có giá trị cực trị Thật vậy:
y x
xy 0
2 tg 0 d
d
Từ (4) ta có: maxmin x y
Hay tổng ứng suất pháp theo 2 phương vuông góc nahu là 1 hằng số
c) Ứng suất tiếp cực trị:
Ứng suất tiếp cực trị đạt được trên các mặt thoả mãn 0
d
d uv
Từ (3) ta có: cos 2 2 sin 2 0
2
2 d
d
xy y
x
xy
y x tg
2
2 (5)
o
g cot tg
2
1 2
4
o k , trong đó là góc nghiêng của mặt cắt có ứng suất cực trị o là góc nghiêng của mặt chính Thay (5) vào (3) ta có giá trị của ứng suất tiếp cực trị:
4 2
1
xy y
x min
(6)
2) Phương pháp đồ thị – Vòng tròn Mo ứng suất :
Thời gian: 20 Phút Phương pháp: Thuyết trình
a) Phương trình vòng tròn ứng suất – Vòng Mo ứng suất :
Từ (3) ta có :
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
cos sin
sin cos
xy y
x uv
xy y
x y
x u
(7)
Cộng 2 vế của chúng :
2
2 2
2
2
y x uv y
x
2
2
2 y A ; x y xy R
x
Ta có :u A2 2uv R 2 (9)
Trang 5Nếu ta chọn trục tung là uv, trục hoành là uthì (9) là phương trình đường tròn có tâm nằm trên trục hoành (hoành độ A) và bán kính R Như vậy tất cả các giá trị của uvà
uv
của một trạng thái ứng suất tại 1 điểm biểu thị bằng toạ độ của điểm trên đường tròn (9) Đường tròn đó gọi là đường tròn ứng suất hay vòng tròn Mo ứng suất
b) Cách vẽ : Khi có 1 phân tố ở TTƯS mà ta đã biết x , y , xy thì cách dựng vòng tròn ứng suất như sau:
+ Lập hệ trục toạ độ với trục hoành , trục tung theo 1 tỷ lệ nhất định
+ Lấy điểm E(x, 0); F (y, 0); D (x, xy); D’ (y, yx)
+ Nối DD’ cắt trục hoành tại C Lấy C làm tâm vẽ đường tròn có bán kính
CD ta có được vòng tròn ứng suất cần tìm
+ Tất cả giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt // với trục Z của phân tố đều biểu thị bằng toạ độ những điểm trên vòng tròn (vòng tròn ứng suất).(Cho Học viên tự chứng minh)
c) Sử dụng vòng tròn Mo để xác định ƯS trên mặt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến tạo với phương x 1 góc :
x
x
y
y
xy
xy
Hình 4-5
x
D(x,xy) P(y,xy)
D’(y,yx))
F
y
C
xy
O
x
x
y
y
xy
yxx
1
2
uv
u
Hình 4-6
2
y
min
u
x
Max= 1
u
min
2
uv
Max
Max= 1
Max
Min
21 2
1
2 P
M
A E
C
G F B
J O
I
Min
Trang 6- Cách tìm u và uv :
- Vẽ vòng tròn ứng suất khi biết x , y , xy
- Vẽ cực P ( y, xy)
- Vẽ tia PM // pháp tuyến u của mặt cắt nghiêng
- Toạ độ M ( u, uv) đã được xác định
- Chứng minh : Ta có:
2 Sin 2 RSin 2
Cos 2 RCos 2
2 2 Cos R 2
CG OC OG
1 1
y x
1 y
x
2 CE
2 Cos
y x y x
2 Sin 2
Cos 2
2
Tương tự:
uv xy
y x
1 1
1
2 Cos 2
Sin 2
2 Cos 2 Sin R 2 Sin 2 Cos R 2
2 Sin R GM
- Xác định ứng suất chính và phương chính:
Ta đã biết ứng suất chính là ứng suất trên mặt chính có = 0 Trên vòng tròn Mor ta thấy 2 điểm A và B có tung độ bằng 0 Vậy hoành độ của A và B là ứng suất chính và phương PA, PB là phương chính của ứng suất này Ta xác định các phương chính với trục
x là 1 và 2 như sau:
-
Max y
xy 1
OA FO
ED FA
ED BE
DE Tg
-
min y
xy 2
OF BO
FP BF
FP Tg
- Phương có ứng suất tiếp cực trị:
Nhìn vào vòng tròn Mor ta thấy 2 điểm I và J là 2 điểm có lớn nhất và nhỏ nhất Vậy tung độ của I là giá trị Max và J là giá trị Mịn Từ P vẽ tia PI, PJ ta có các phương pháp tuyến của những mặt cắt có Max và Min Những mặt này tạo với mặt chính 1 góc
450
Chú ý: - Khi lấy các điểm của các ứng suất đã biết cũng như các giá trị
ứng suất cần tìm ta phải lấy cả dấu theo hệ trục toạ độ của đồ thị
- Chiều dương của các góc là chiều từ phương ngang lấy ngược chiều kim đồng hồ
d) Hai trường hợp đặc biệt:
- Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
Theo cách vẽ vòng tròn ứng suất ta thấy rằng luôn luôn có 2 điểm A và B tức là có Max
và Min , hay nói cách khác phân tố trên luôn luôn là phân tố ở TTƯS phẳng (có 2 ứng suất
A B
P
C
Max
min
Max
min
Hình 4-6
Trang 7- Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý:
Khi trên các mặt của phân tố hình chỉ có ứng suất tiếp người ta thường gọi là phân tố ở TTƯS trượt thuần tuý
Xây dựng vòng Mo của trạng thái trượt thuần tuý ta tìm được một số đặc điểm của trạng thái.1 3 xy
- Phương chính tạo với phương mặt trượt thuần tuý góc 450
- Ứng suất tiếp trên mặt trượt là ứng suất tiếp cực trị
- Ứng suất pháp trên 2 mặt cắt bất kỳ vuông góc nhau bằng nhau về trị số nhưng ngược về dấu
III KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT KHỐI :
Thời gian: 10 phút Phương pháp: Thuyết trình Trong các bài toán của SBVL trạng thái ứng suất khối rất ít gặp Bởi vậy ở đây ta chỉ nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của trạng thái ứng suất khối Hình 4-8a biểu thị trạng thái ứng suất khối Các mặt giới hạn của nó là các mặt chính
Trước hết khảo sát mặt nghiêng // phương chính Ví dụ những mặt // 1(Hình 4-8b) Như đã biết là ứng suất trên các mặt này không phụ thuộc vào 1và xác định bởi các giá
1
3 1
2
2 a)
1 3
d) 1
2
2
1
c) 2
2
C O
A B
P
Max
Hình 4-7
Min
Trang 8trị 2 và 3 Nó được xác định bằng toạ độ của 1 điểm nằm trên vòng tròn Mor ứng suất
số 1 đi qua 2 điểm có toạ độ 2và 3
Tương tự ứng suất trên các mặt nghiêng // với 2(Hình 4-8c), biểu thị bằng toạ độ của vòng tròn Mor ứng suất số 2 đi qua 1và 3.Ứng suất trên các mặt nghiêng // với 3
(Hình 4-8d), biểu thị bằng toạ độ của vòng tròn Mor ứng suất số 3 đi qua 1và 2.(Hình 4-9)
Có thể chứng minh được rằng ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ được biểu thị bằng toạ
độ của điểm D ( , ) nằm trong miền giới hạn của 3 vòng Mor (phần gạch chéo)
Bằng giải tích có thể xác định được và theo công thức:
2 2 3 3 2 2 2 2 1 1
2 3 3 2 2 2 2 1 1
cos cos
cos
cos cos
cos
1; 2; 3 là các góc hợp bởi pháp tuyến của mặt nghiêng với phương của 1, 2,
3
tương ứng Dể dàng nhận thấy ứng suất tiếp cực trị (max) là tung độ của điểm D nằm trên vòng tròn Mor số 2 có giá trị:
2
2
1
IV - QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Thời gian: 10 phút Phương pháp: Thuyết trình
1) Định luật Húc tổng quát:
Khi nghiên cứu ứng suất và biến dạng trong kéo nén đúng tâm ta đã đưa ra được quan
hệ giữa ứng suất và biến dạng: E => = / E theo phương Và biến dạng ngang
tỷ đối (theo phương ): ' E
Ở đây chúng ta sẽ thiết lập quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong trường hợp tổng quát nhất ở trạng thái ứng suất khối Với giả thiết ứng suất tuân theo định luật Húc và biến dạng bé Ta tưởng tượng tách từ vật thể biến dạng một phân tố hình hộp, trên các mặt có 9 thành phần ứng suất Như chúng ta đã thừa nhận ứng suất pháp chỉ gây biến dạng dài còn biến dạng góc chỉ bị gây ra do ứng suất tiếp
Sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng ta tính biến dạng dài tỷ đối theo phương x:
x xx xy xz
xx : biến dạng dài tỷ đối theo phương x do x gây ra
xy : biến dạng dài tỷ đối theo phương x do y gây ra
xz : biến dạng dài tỷ đối theo phương x do z gây ra
Hình 4-9
1
12 13 23
1 3
2 D
Trang 9Theo trên ta có:
Tương tự ta nhận được những biến dạng dài tỷ đối theo phương y và z:
z
z x y
y
E
E
1 1
Nếu phân tố được tách ra mà các mặt giới hạn là các mặt chính:
3
1 3 2 2
3 2 1 1
1 1 1
E E E
2) Định luật Húc về trượt:
Xét một phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý và phân tố này ở trong giới hạn đàn hồi Liên hệ giữa biến dạng góc và ứng suất
tiếp (Định luật Húc về trượt):
G
Trong đó: G là môđuyn trượt
: góc trượt tuyệt đối
Quan hệ giữa môđuyn đàn hồi khi trượt và môđuyn đàn hồi
khi kéo nén là: G = 21E
Trong đó: - E là Môđuyn đàn hồi của vật liệu
- µ là hệ số Poat xông
3) Quan hệ giữa biến dạng thể tích và ứng suất:
Chúng ta sẽ thiết lập quan hệ giữa sự thay đổi thể tích
tương đối v và các thành phần tương ứng Khi biến dạng
nói chung thể tích của phân tố thay đổi, sự biến đổi đó chủ
yếu do biến dạng dài gây ra Biến dạng góc cũng làm thay
đổi thể tích song không đáng kể có thể bỏ qua
Xét 1 phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối
Thể tích phân tố trước biến dạng: Vo dl 1 dl 2 dl 3
Và trong trạng thái biến dạng :
E
E
1 E
E
z xz
z y x
x
y xy
x xx
Hình 4-10
Hình 4-11
dl1 dl3
dl2
2
1 3
Trang 10
0
3
3 2
2 1
1 3
2 1
3 3
2 2
1 1 1
1 1
1
1 1
1
V
dl
dl dl
dl dl
dl dl
dl dl
dl dl
dl dl
dl dl V
Bỏ qua các đại lượng VCB bậc cao, ta có: V1V01 1 2 3
biến dạng thể tích tương đối: 1 2 3
0
0
1
V
V V
v
Vậy biến dạng thể tích tương đối bằng tổng biến dạng dài tỷ đối theo 3 phương vuông góc nhau
Thay các giá trị biến dạng của định luật Húc tổng quát vào ta được:
1 2 3
2 1
E
v
Đặt :
3
3 2
1
tb : giá trị ứng suất trung bình
K
E
tb tb v
(
2 1 3
E
K : được gọi là môđuyn biến dạng thể tích.)
Vậy khi 0, 5 thì v 0 biến dạng thể tích không thay đổi Những vật liệu như vậy gọi là vật liệu không nén được
V – THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
Thời gian: 10 phút Phương pháp: Thuyết trình Năng lượng mà vật thể tích luỹ đựoc trong quá trình biến dạng để đưa vật thể về vị trí ban đầu ở dưới dạng thế năng gọi là thế năng biến dạng đàn hồi (kí hiệu U), trị số thế năng tích luỹ trong 1 đơn vị thể tích được gọi là thế năng riêng biến dạng đàn hồi và kí hiệu u Trị số của thế năng biến dạng đàn hồi có thể dễ dàng xác định qua định luật bảo toàn năng lượng: nếu bỏ qua sự mất mát năng lượng vì nhiệt và những yếu tố khác thì thé năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong vật thể bằng tổng công ngoại lực lên hệ:
A = U
Tưởng tượng tách từ vật thể đàn hồi một phân tố giới hạn bởi các mặt chính
Thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong phân tố: dU = dA
2 2
2
3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2
1 dl dl dl dl dl dl dl dl dl
1 1
1 ; dl ; dl
: biến dạng dài tuyệt đối của các phân tố đựoc tính bằng các biểu thức:
3 3 3 2 2 2 1 1
Thay vào trên ta được: 1 2 3 1 1 2 2 3 3
dl dl dl dA
dA
Thế năng biến dạng đàn hồi : 1 1 2 2 3 3
2
1
u