tich phan 12

ASử dụng cách đổi biến thông thờng : Nếu hàm dới dấu tích phân chứa một căn thức, ta thờng đặt một biến mới cho căn thức đó. Bài 1: a. I = 1 0 2 dx x + : * Đặt t= x ; Đ S : 2-4ln 3 2 b. 2 3 2 5 4 dx I x x = + *Đặt t = 2 4x + . Dẫn tới ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 3 1 4 2 2 4 tdt dt I t t t t = = + Đ S : I 1 5 ln 4 3 = ữ 0.1277 c. 2 3 1 1 dx I x x = + * Đặt t= 3 1 ;t x= + Dẫn tới 3 2 3 1 1 1 1 1 ln 3 1 1 3 1 2 t I dt t t t = = ữ + + Đ S : 1 2 2 1 ln ln 0.3565 3 4 2 1 ữ ữ ữ + d. 4 2 7 9 dx x x + * Đặt t = 2 9;x + Dẫn tới: 5 5 2 4 4 1 1 1 9 6 3 3 dt I dt t t t = = ữ + Đ S : 1 7 ln 6 4 Bài 2: a. 1 0 1 xdx x + * Đặt t= x Dẫn tới: I = 1 1 3 2 0 0 2 2 2 1 1 1 t dt t t dt t t = + ữ + + Đ S : 5 2ln 2 3 b. 7 3 0 2 1 x dx x + + * Đặt 3 1;t x= + . Dẫn tới I= ( ) 2 4 1 3 t t dt+ Đ S : 31 3 3 23.1 5 2 + = ữ c. 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ * §Æt t = 1x − ; § S : 11 4ln 2 3 − d. 7 3 3 0 1 3 1 x I dx x + = + ∫ *§Æt 3 2 3 3 1; 3 1;3 3t x t x t dt dx= + = + = § S : 46 15 Bµi 3: a. I= ln3 0 1 x dx e + ∫ * §Æt t = 1 x e + § S : ( ) 2 1 ln 3 2 1 + − b. ln5 2 ln 2 1 x x e I dx e = − ∫ * §Æt t= 1 x e − § S : 20 3 c. I = ln 2 2 0 1 x x e dx e + ∫ * §Æt t= 1 x e + DÉn tíi: ( ) 3 3 2 2 3 2 1 2 3 2 t t dt t   − = −  ÷   ∫ § S : 2 2 3 d. ln8 2 ln3 1. x x I e e dx= + ∫ ; * §Æt 1; x t e= + . DÉn tíi: ( ) 3 5 3 4 2 2 3 2 2 2 5 3 t t I t t dt   = − = −  ÷   ∫ § S: 284 15 Bµi 4: a. I = 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ . * §Æt t = 3 2 1 x+ ; DÉn tíi I = ( ) 2 5 2 4 1 2 3 3 1 2 2 5 2 t t t t dt   − = −  ÷   ∫ § S : 141 20 b. I = 4 5 2 2 1 1 x dx x x − − + − ∫ * §Æt t = 2 1 1 x x + − ; § S : ( ) 1 6 1 2ln 2 1 ln 2 6 1   − − −   +   c. I = 1 2 3 0 2 1 x dx x+ + ∫ * §Æt t = 3 1x + ; § S: 2 2 2 2 1 2ln 3 3   + − −  ÷  ÷   d. I = 7 3 0 2 1 x dx x + + ∫ * §Æt 3 2 3 1; 1;3t x t x t dt dx= + = + = . DÉn tíi I= ( ) 2 4 1 3 t t dt+ ∫ § S : 31 3 3 23.1 5 2   + =  ÷   Bµi 5: a. I = 9 3 1 1x xdx− ∫ . * §Æt t = 3 1 x− ; DÉn tíi: ( ) 0 4 7 3 6 2 0 3 3 2 4 7 t t t t dt −   − = −  ÷ −   ∫ § S : 468 7 − b. 3 3 2 0 1I x x dx= + ∫ * §Æt t = 2 1 ;x + DÉn tíi: ( ) 2 5 3 4 2 1 2 1 5 3 t t I t t dt   = − = −  ÷   ∫ § S : 58 15 c. I = 1 3 0 1x x dx− ∫ *§Æt t = 3 2 3 1; 1;3x t x t dt dx− = − = § S : 9 28 − d. 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ * §Æt t = 2 1 ;x− § S : 2 15 e. 1 5 2 0 1I x x dx= − ∫ *§Æt 2 1t x= − ; DÉn tíi ( ) 1 4 2 2 0 2 1t t t dt− + ∫ § S : 8 105 f. 3 2 5 0 1.I x x dx= + ∫ *§Æt 2 1t x= + ; § S : 848 105 Bµi 6: a. I = 1 3 0 1x x dx− ∫ *§Æt t = 3 2 3 1; 1;3x t x t dt dx− = − = § S : 9 28 − b. I = 1 x dx x + ∫ * §Æt 2 1 ; 1 ;2t x t x tdt dx= + = + = § S : 1 1 2 1 ln 1 1 x I x C x + − ⇒ = + + + + + c. I = 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x dx x π + + ∫ * §Æt t= 1 3cos x+ ; DÉn tíi I ( ) 1 2 2 2 2 1 2 4 1 2 1 9 9 2 t dt t dt   = − + = +  ÷   ∫ ∫ § S : 34 27 d. 3 2 1 ln ln 1 e x I dx x x = + ∫ * §Æt 2 1 ln 1; ln 1; 2t x t x tdt dx x = + = + = ; DÉn tíi I = ( ) 2 5 3 4 2 1 2 2 2 2 1 2 1 5 3 t t t t dt t   − + = − +  ÷   ∫ § S : 16 15 B. Mét vµi c¸ch ®æi biÕn kh¸c: Bµi 7: a. 3 1 3 3 1 3 x I dx x x − − = + + + ∫ ; * §Æt 1 1t x= + + DÉn tíi I ( ) ( ) 3 3 1 1 3 1 3 2 4 t t dt t dt t t − −   = = − +  ÷   ∫ ∫ § S : -8+6ln3 b. I = 2 2 1 1 dx x x+ + ∫ *ViÕt l¹i I = 2 2 1 1 3 2 4 dx x   + +  ÷   ∫ *§Æt t = 2 1 1 3 2 2 4 x x     + + + +  ÷  ÷     DÉn tíi : I = 5 7 2 3 3 2 5 7 5 2 7 2 ln ln 3 3 2 3 3 2 dt t t + + +   + = =  ÷  ÷ +   + ∫ c. I = ( ) ( ) 1 0 1 8 dx x x+ + ∫ *ViÕt l¹i I = 1 2 2 0 9 7 2 2 dx x     + −  ÷  ÷     ∫ *§Æt t = 2 2 9 9 7 2 2 2 x x       + + + −  ÷  ÷  ÷       DÉn tíi : I = 11 3 2 2 9 2 2 2 11 3 2 11 6 2 2 ln ln 9 9 4 2 2 2 2 dt t t + + +   + = =  ÷  ÷ +   + ∫ d. I = 1 2 0 1x dx+ ∫ *§Æt t =x+ 2 1x + ; DÉn tíi : I = ( ) 2 2 1 2 1 2 3 3 1 1 1 1 1 2 1 . 4 4 t dt t dt t t t + + +   = + +  ÷   ∫ ∫ § S : I = ( ) ( ) 3 2 2 1 1 ln 1 2 8 2 2 3 2 2 + + + − + e. I = 1 2 0 1 dx x + ∫ . * §Æt t = x+ 2 1x + DÉn tíi : ( ) 1 2 1 ln 1 2 dt I t + = = + ∫ f. I = 1 2 1 1 1 dx x x − + + + ∫ * §Æt t =x+ 2 1x + ; DÉn tíi : I = ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 t dt t t + − + + ∫ . BiÕn ®æi : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 b c a b c t a b t a t a b c a b b t t t t t t t a c + = =   + + + + +   = + + = ⇒ + = ⇒ = −   + + +   = =   I = ( ) 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ln 2ln 1 1 2 1 2 2 1 dt t t t t t t + − +     − + = − − + + =  ÷  ÷ +     − ∫ Bµi 8: a. I = ( ) 1 0 1 1 1 nn n dx x x+ + ∫ *§Æt 1 1 ; n x t = + DÉn tíi I ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 n t d t n − = − − ∫ § S : 1 2 n b. I = 1 2 1 3 2 4 1 dx x x − ∫ . * §Æt x = 2 1 sin ; 2 cos 2 cos t dx dt t t = DÉn tíi:I=2 3 6 3 2 6 dt t π π π π = ∫ § S : 3 π c. I = 2 2 1 1 dx x x + ∫ * §Æt = t = 1 x DÉn tíi: ( ) 2 1 2 1 2 ln 1 ln 1 1 5 2 I t t + = + + = + d. I = 4 3 2 3 2 4x dx x − ∫ *§Æt x= 2 ;0 sin 2 4 t t π < ≤ ; DÉn tíi I = 6 2 4 cos 2tdt π π − ∫ § S : 3 24 16 π − Bµi 9: a. 2 2 2 0 a I x a x dx= − ∫ . * §Æt x = asint DÉn tíi I = ( ) 4 2 2 0 0 1 cos 4 . 4 8 4 a dx x d x π π    ÷ −  ÷  ÷   ∫ ∫ § S : 4 16 a π b. ( ) 1 3 2 0 1I x dx= − ∫ . * §Æt x = sint DÉn tíi 2 2 4 0 0 1 1 cos 4 cos 2cos 2 1 4 2 t I xdx t dt π π +   = = = + +  ÷   ∫ ∫ § S : 3 16 π c. = 2 0 cos 7 cos 2 x dx x π + ∫ . Lu ý : 7+cos2x=8-2sin 2 x= 2 sin 8 1 2 x     −    ÷       . *§Æt sin 1 ; cos 2 2 x t dt xdx= = 1 2 2 0 0 x t π ⇔ I = 1 2 2 0 1 1 2 1 dt t− ∫ * L¹i ®Æt t =cosu DÉn tíi I= 3 2 1 sin sin 2 udu u π π − ∫ § S : 2 12 π d. I = 2 2 2 3 1 dx x x − ∫ . * §Æt tant = 2 1x − ; DÉn tíi I= 4 6 12 dt π π π = ∫ Bµi 10. a. I = 1 2 ln 2 e x dx x + ∫ . * §Æt t = 2+lnx DÉn tíi I = 3 1 2 2 1 2 t dt ∫ § S : ( ) 1 3 3 2 2 3 − b. I = 3 4 cos sin 3 sin 2 x x dx x π π + + ∫ . Lu ý 3+sin2x=2 2 -(sinx-cosx) 2 = 2 2 sin cos 2 1 2 x x   −   −    ÷       * §Æt t = ( ) sin cos 1 ; cos sin 2 2 x x dt x x dx − = + . DÉn tíi I = ( ) 3 1 4 2 0 2 2 1 dt t − − ∫ § S : 1 3 3 ln 0.185 2 5 3 + ≈ − Bµi 11: a. I = ( ) 1 5 0 1 1 x dx x − + ∫ *ViÕt l¹i I = ( ) 1 2 0 1 1 . 1 1 x dx x x − + + ∫ . *§Æt t = 1 1 x x − + DÉn tíi: I= 0 1 3 2 1 0 1 1 . 0 3 3 t t tdt t dt− = = = ∫ ∫ b. 3 2 2 2 3 2 9 2x dx x + ∫ . Lu ý 2 2 2 3 9 2 2. 2 x x   + = +  ÷   . *§Æt x = [ ] 3 tan ; 0; / 2 2 t t π ∈ DÉn tíi : I= ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 du u u du du du u u u u u u   + − = =  + ÷  ÷ − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ § S : I 2 3 2 2 ln 2 2 2 2 3 + = − + c. I = 2 3 2 2 0 1 x dx x− ∫ . * §Æt x = sint ; DÉn tíi: ( ) 3 4 2 0 cos 4 4 (1 cos ) cos cos 3 0 0 t I t d t t π π π = − − = − + ∫ § S : 8 5 2 12 − d. 2 3 0 1 3 2 x I dx x + = + ∫ . * §Æt t = 3 3 2x + ; DÉn tíi: ( ) 3 2 4 2 1 3 I t t dt= + ∫ § S : 3 3 1 42 32 4 3 5 5 2 I     = − +    ÷  ÷       =2.3237 Bµi 12: a. I = 1 0 1x xdx− ∫ ; * §Æt t = 1 x− § S : 4 15 b. ( ) 1 2 0 1 1 x I dx x x = + + ∫ . * §Æt 1;t x= + § S : 16 11 2 3 − c. 3 2 1 ln ln 1 e x I dx x x = + ∫ * §Æt ln 1;t x= + § S : 16 15 d. 2 6 3 5 0 1 cos .sin cosI x x xdx π = − ∫ * §Æt 6 3 1 cos ;t x= − DÉn tíi: ( ) ( ) 1 1 6 5 6 12 0 0 1 .2 2I t t t dt t t dt= − = − ∫ ∫ § S : 12 91 Bµi 13: a. I = ( ) ( ) 2 3 4 a b a b dx x a x b + + − − ∫ . Víi 0<a<b; * §Æt x = a+(b-a)sin 2 t, t ∈ 0; 2 π       DÉn tíi I = ( ) 2 4 1 sin 4 6 4 4 b a t t π π −   −  ÷   § S : ( ) 2 3 4 12 8 b a π   − = +  ÷  ÷   b. ( ) ( ) 3 2 5 4 1 2I x x dx= − − ∫ *§Æt x=1+sin 2 t; dx = sin2tdt. DÉn tíi I = ( ) 4 6 1 1 cos 4 8 t dt π π − ∫ § S : 1 3 8 12 8 π   +  ÷  ÷   c. I = 3 2 2 2 4 3 dx x x − − − − − ∫ ViÕt l¹i I = ( ) 3 2 2 2 1 2 dx x − − − + ∫ * §Æt x+2 =sint; DÉn tíi I= 6 0 6 dt π π = ∫ d. I = ( ) ( ) 2 0 1 2 dx x x+ + ∫ *§Æt t = 1 2x x+ + + DÉn tíi 2 3 1 2 2 dt I t + + = ∫ § S : 2 3 2ln 1 2 + + e. I = ( ) ( ) 3 5 1 2 dx x x − − + + ∫ *§Æt t = ( ) ( ) 1 2x x− + + − + DÉn tíi I = 1 2 2 3 2 dt t + + − ∫ § S :I = 2 3 2ln 1 2 + + . =cosu DÉn tíi I= 3 2 1 sin sin 2 udu u π π − ∫ § S : 2 12 π d. I = 2 2 2 3 1 dx x x − ∫ . * §Æt tant = 2 1x − ; DÉn tíi I= 4 6 12 dt π π π = ∫ Bµi 10. a. I = 1 2 ln 2 e x dx x + ∫ . *. 2 12 − d. 2 3 0 1 3 2 x I dx x + = + ∫ . * §Æt t = 3 3 2x + ; DÉn tíi: ( ) 3 2 4 2 1 3 I t t dt= + ∫ § S : 3 3 1 42 32 4 3 5 5 2 I     = − +    ÷  ÷       =2.3237 Bµi 12: a x x xdx π = − ∫ * §Æt 6 3 1 cos ;t x= − DÉn tíi: ( ) ( ) 1 1 6 5 6 12 0 0 1 .2 2I t t t dt t t dt= − = − ∫ ∫ § S : 12 91 Bµi 13: a. I = ( ) ( ) 2 3 4 a b a b dx x a x b + + − − ∫ . Víi 0<a<b;