HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

GV: Phan Văn Huynh CHUYÊN Đ: II VẤN Đ 1: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 A.LÝ THUYẾT : 1.Khái niệm: Hệ đối xứng loại 1 là hệ khi ta thay x bởi y và y bởi x thì hệ không thay đổi. 2.Cách giải: - Biểu diễn từng phương trình qua x+y và x.y. - Đặt S= x+y và P=x.y ta được hệ mới chứa S và P. - giải hệ tìm S,P . - Các số x, y là nghiệm của phương trình: t 2 – St + P =0 *Chú ý: 1)Hệ có nghiệm khi và chỉ khi : 2 4 0S P− ≥ 2)Nếu (x;y) là nghiệm của hệ thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x = y. B. BÀI TẬP: Bài 1:giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 5 5 x y xy x y + + =   + =  b) 3 3 2 26 x y x y + =   + =  c) 2 2 3 3 30 35 x y xy x y  + =   + =   ĐS: a) (1;2), (2;1) b) (-1;3), (3;-1) c) (2;3), (3;2) Bài 2: giải các hệ phương trình sau: a) 13 6 5 x y y x x y  + =    + =  b) 2 2 11 30 xy x y x y xy + + =   + =  c) 2 2 4 4 2 2 7 21 x y xy x y x y  + + =   + + =   ĐS: a) (2;3), (3;2) b) (5;1), (1;5), (2;3), (3;2) c)(1;2), (2;1), (-2;-1), (-1;-2). Bài 3: giải các hệ phương trình sau: a) ( ) 5 . 6 x x y y x x y y  + + =     + =   b) ( ) 2 3 2 12 6 x x y y xy xy      + =   ÷  ÷        + =   c) 1 1 7 2 3 2 xy x y x y xy  + + =     + =   ĐS:a) 3 1 ; 2 2    ÷   , (2;1) b) (2;1), (-2;-1). Bài 4. giải các hệ phương trình sau: a) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 2 3 6 x y x y xy x y  + = +    + =  b) 2 2 2 8 2 4 x y xy x y  + + =   + =   c) 30 35 x y y x x x y y  + =   + =   ĐS: a) (8;64), (64;8) b) (4;4) c) (9;4), (4;9). 1 GV: Phan Văn Huynh Bài 5. giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 2 2 1 1 5 1 1 9 x y x y x y x y  + + + =     + + + =   b) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 5 1 1 49 x y xy x y x y    + + =   ÷        + + =  ÷     HD:a) Đặt X= 1 x x + , Y= 1 y y + b) Nhân phân phối và đặt tương tự như câu a) ĐS: a) 3 5 3 5 1; , ;1 2 2     ± ±  ÷  ÷  ÷  ÷     b) 7 45 7 45 1; , ; 1 2 2     ± ± − −  ÷  ÷  ÷  ÷     Bài 6. Cho hệ phương trình: 2 2 1x y xy m x y xy m + + = +   + =  Tìm m để hệ trên có một nghiệm thỏa mãn x>0; y>0. ĐS: 1 0 4 2 m m  < ≤   ≥  Bài 7.Tìm m để hệ : 2 1 1 4 6 x y m x y m m  + + − =   + = − +   có nghiệm . ĐS: 6 3 2 2 m m ≥    ≤ ≤  Bài 8. Tìm m để hệ : 2 2 2 4x y x y m + =   + =  có nghiệm. ĐS: 2 2 2 2 m m  ≤ −  ≥   Bài 9.Cho hệ phương trình: 2 2 1 x y m x y xy  + =  + − =  a) giải hệ khi m= 2 ĐS:(1;-1), (-1;1) (1;1) b) Xác định m để hệ có nghiệm. ĐS: 1m ≥ Bài 10. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 1 1 3 x y x x y y m  + =   + = −   ĐS: 1 0 4 m≤ ≤ Bài 11. Cho hệ phương trình: x y m x y xy m  + =   + − =   a) giải hệ khi m= 4 ĐS: (4;4) 2 GV: Phan Văn Huynh b) Tìm m để hệ có nghiệm. ĐS: 0 1 4 m m =   ≤ ≤  Bài 12. Xác định m để hệ : 2 2 2 1 x y xy m x y xy m + + = +   + = +  có nghiệm duy nhất. ĐS: m= 1 hoặc m = 3 4 − Bài 13. Xác định m để hệ : ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 x y m x y  + = +   + =   có đúng hai nghiệm. ĐS: m =0. Bài 14. Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ: 2 2 2 6 x y m x y m + =   + = − +  Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = xy + 2(x+y). ĐS: maxF = 5 khi m= 2 ; minF= - 4 khi m = -1 Bài 15. Cho x, y là các số thỏa điều kiện : x + y =2. Hẫy tìm GTNN của F = x 3 + y 3 . ĐS: minF=2 khi x= y=1. VẤN Đ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 A.LÝ THUYẾT: 1.Khái niệm: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu trao đổi vai trò của x, y thì phương trình này trở thành phương trình kia. 2.Cách giải : - Trừ vế với vế các phương trình đã cho. - Phương trình trên sẽ đưa được về phương trình với đặc điểm là nó có nghiệm x = y ( và cũng có thể có thêm nghiệm khác) - Ứng với từng trường hợp xảy ra, kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ để có 1 hệ con, giải hệ con này. *Chú ý: Nếu (x;y) là nghiệm của hệ thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Vì vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x = y. B.BÀI TẬP . Bài 1. giải các hệ phương trình sau: a) 3 3 1 2 1 2 x y y x  + =   + =   b) 2 2 3 2 3 2 x x y y y x  = +   = +   c) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y y x y x  − = +   − = +   ĐS: a) (1;1), 1 5 1 5 1 5 1 5 ; , ; 2 2 2 2     − + − + − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     b) (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2) c) (0;0), (-3;-3) 3 GV: Phan Văn Huynh Bài 2. giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 3 1 3 1 x y y x  = −   = −   b) 3 3 2 2 x x y y y x  = +   = +   c) 2 2 3 3 x x y y y x  = −   = −   ĐS: a) 3 5 3 5 3 5 3 5 ; , ; 2 2 2 2     + + − −  ÷  ÷  ÷  ÷     b) (0;0),(1;-1),(-1;1), ( ) ( ) 3; 3 , 3; 3− − c)(0;0), (2;2) Bài 3. giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 3 2 3 2 x y x y x y  + =     + =   b) 3 1 1 2 1 x y x y y x  − = −    = +  c) 1 3 2 1 3 2 x y x y x y  + =     + =   ĐS: a) (1;1) b) (1;1), 1 5 1 5 1 5 1 5 ; , ; 2 2 2 2     − + − + − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     c) (1;1),(-1;-1), ( ) ( ) 2; 2 , 2; 2− − Bài 4. giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y  + =    +  =   b) 3 4. 3 4. y x y x x y x y  − =     − =   c) 3 3 3 8 3 8 x x y y y x  = +   = +   ĐS: a) (1;1) b) (-2;-2) c) (0;0), ( ) 11; 11± ± Bài 5.giải hệ phương trình: 3 2 x y x y x y x y  − = −   + = + +   ĐS: (1;1), 3 1 ; 2 2    ÷   Bài 6.giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y x y x y  + − + =   − − − =   Bài 7.giải hệ phương trình: 2 2 3 2 16 2 4 33 xy x y x y x y − − =   + − − =  ĐS: ( ) ( ) 3 3; 2 3 , 3 3; 2 3− + − − − − − + Bài 8. giải và biện luận hệ phương trình: 2 2 1 1 x my y mx  = −   = −   4 GV: Phan Văn Huynh Bài 9. Cho hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 y x y m x x y m  − + =   − + =   a) giải hệ khi m =0. ĐS: (0;0), (2;2) b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: m = 1 2 − VẤN Đ 3: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC Bài 1. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) 2 2 8 1 1 12 x y x y xy x y  + + + =   + + =   HD: Đặt u = x(x+1), v = y(y+1) ĐS: (1;2),(1;-3), (-2;2), (-2;-3), (2;1), (-3;1), (2;-2), (-3;-2). Bài 2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 15 x y x y x y x y  − − =   + + =   HD: Đặt u = x 3 + y 3 , v = xy(x+y) ĐS: (1;2), (2;1) Bài 3. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 4 6 2 0 1 2 3 2 x y x y x y x y x y  + − − + − =   + + =  −  HD: Đặt u = 2x+ y, v = 2x –y ĐS: 3 1 3 1 ; , ; 4 2 8 4      ÷  ÷     Bài 4. Giải hệ phương trình: 3 3 9 5 x y x y  + =   + =   ĐS: (1;64), (64;1) Bài 5. Giải hệ phương trình: 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y  + + + − =     + + =   HD: Đặt u = 1 , 3x v x y y + = + − ĐS:(3;1), (5;-1), ( ) ( ) 4 10;3 10 , 4 10;3 10− + + − . Bài 6. Giải hệ phương trình: 2t anx+cosy osy tanx 9 3 9 81 2 c  =   − =   HD: Đặt u = 9 cosy , v = - 9 2tanx 5 GV: Phan Văn Huynh Bài 7. Giải hệ phương trình : 3 5 3 5 x y y x  + − =   + − =   HD: Đặt u = 3, 3x v y− = − ĐS: (4;4). Bài 8. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3 3 log 2 log 2 2 4 2 3 3 12 xy xy x y x y  = +   + − − =   HD: Đặt u = log 3 (xy) ĐS: ( ) ( ) 3 6;3 6 , 3 6;3 6− + + − Bài 9. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 1 18 1 1 2 x x y x y x y y x x y x y x y y  + + + + + + + + + =   + + + − + + + + − =   ĐS: (4;4) Bài 10.Cho hệ phương trình: 5 2 2 5 x y m x y m  + + − =   − + + =   a) Giải hệ khi m =49 ĐS: (11;11) b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: 7m ≥ Bài 11. Giải và biện luận hệ phương trình: x y xy a x y a  + + =   − =   Bài 12. Giải hệ phương trình: 7 1 78 x y y x xy x xy y xy  + = +    + =  ĐS: (4;9), (9;4) Bài 13. Cho hệ phương trình: 2 2 2 2 x m y m x y m m  + + − = +   − + + = +   a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: m = -2 b) Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt. ĐS: 2m ≠ − Bài 14. Giải hệ phương trình: 2 2 4 128 x y x y x y  + + − =   + =   ĐS: (8;8), (8;-8). Bài 15.Tìm m để hệ sau có nghiệm: 1 1 x y m y x m  + − =   + − =   HD: Đặt u = 1, 1x v y− = − . 6 . Đ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 A.LÝ THUYẾT: 1.Khái niệm: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu trao đổi vai trò của x, y thì phương trình này trở thành phương trình. xảy ra, kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ để có 1 hệ con, giải hệ con này. *Chú ý: Nếu (x;y) là nghiệm của hệ thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Vì vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều. Cho hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 y x y m x x y m  − + =   − + =   a) giải hệ khi m =0. ĐS: (0;0), (2;2) b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: m = 1 2 − VẤN Đ 3: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH