Xác Suất Thống Kê (phần 24) pot

Đánh giá ước lượng *Ước lượng ít phân tán Cho T 1 , T 2 là các ước lượng của θ. Ước lượng T 1 gọi là ít phân tán hơn T 2 (hay tốt hơn T 2 ) nếu Var(T 1 )  Var(T 2 ) . Ước lượng càng ít phân tán thì sai số càng nhỏ. Đánh giá ước lượng *Ước lượng tốt nhất T được gọi là ước lượng tốt nhất của θ nếu T là ước đúng, và ít phân tán nhất. Example Giả sử chiều cao X ∼ N (µ, σ 2 ). Lấy mẫu X 1 , . . . , X n để ước lượng µ. Xét các thống kê sau: T 1 = X 1 T 2 = X 1 + X 2 2 T 3 = X 1 + 2X 2 3 T 4 = X 1 + . . . + X n n Hỏi ước lượng nào là tốt nhất? Ước lượng hợp lý cực đại Cho mẫu X 1 , . . . , X n trong đó các X i là độc lập nhau và có cùng phân phối F θ . Ta muốn ước lượng tham số chưa biết θ. Người ta lý luận rằng, các quan sát có được từ mẫu thử là các giá trị có xác suất xuất hiện lớn nhất mỗi khi lấy mẫu. Từ lý luận này, ước lượng hợp lý cực đại, hay còn gọi là ước lượng cơ hội cực đại (maximum likelihood estimator) của tham số θ được định nghĩa như sau: Ước lượng hợp lý cực đại Cho mẫu X 1 , . . . , X n trong đó các X i là độc lập nhau và có cùng phân phối F θ . Ta muốn ước lượng tham số chưa biết θ. Người ta lý luận rằng, các quan sát có được từ mẫu thử là các giá trị có xác suất xuất hiện lớn nhất mỗi khi lấy mẫu. Từ lý luận này, ước lượng hợp lý cực đại, hay còn gọi là ước lượng cơ hội cực đại (maximum likelihood estimator) của tham số θ được định nghĩa như sau: Ước lượng hợp lý cực đại Cho mẫu X 1 , . . . , X n trong đó các X i là độc lập nhau và có cùng phân phối F θ . Ta muốn ước lượng tham số chưa biết θ. Người ta lý luận rằng, các quan sát có được từ mẫu thử là các giá trị có xác suất xuất hiện lớn nhất mỗi khi lấy mẫu. Từ lý luận này, ước lượng hợp lý cực đại, hay còn gọi là ước lượng cơ hội cực đại (maximum likelihood estimator) của tham số θ được định nghĩa như sau: Ước lượng hợp lý cực đại Gọi f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) là hàm mật độ xác suất đồng thời của các biến X 1 , X 2 , . . . , X n . Ước lượng hợp lý cực đại của θ là giá trị θ sao cho f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) đạt giá trị lớn nhất. Hàm số f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) được gọi là hàm cơ hội của tham số θ. Như vậy tìm ước lượng hợp lý cực đại chính là tìm cực trị của hàm f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Thông thường, để dễ tính toán, người ta tìm cực trị của hàm ln[f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n )] vì cực trị của hàm ln[f(x)] cũng chính là cực trị của hàm f(x). Ước lượng hợp lý cực đại Gọi f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) là hàm mật độ xác suất đồng thời của các biến X 1 , X 2 , . . . , X n . Ước lượng hợp lý cực đại của θ là giá trị θ sao cho f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) đạt giá trị lớn nhất. Hàm số f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) được gọi là hàm cơ hội của tham số θ. Như vậy tìm ước lượng hợp lý cực đại chính là tìm cực trị của hàm f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Thông thường, để dễ tính toán, người ta tìm cực trị của hàm ln[f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n )] vì cực trị của hàm ln[f(x)] cũng chính là cực trị của hàm f(x). Ước lượng hợp lý cực đại Gọi f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) là hàm mật độ xác suất đồng thời của các biến X 1 , X 2 , . . . , X n . Ước lượng hợp lý cực đại của θ là giá trị θ sao cho f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) đạt giá trị lớn nhất. Hàm số f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) được gọi là hàm cơ hội của tham số θ. Như vậy tìm ước lượng hợp lý cực đại chính là tìm cực trị của hàm f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Thông thường, để dễ tính toán, người ta tìm cực trị của hàm ln[f θ (x 1 , x 2 , . . . , x n )] vì cực trị của hàm ln[f(x)] cũng chính là cực trị của hàm f(x). Ước lượng hợp lý cực đại Các bước tìm ước lượng HLCĐ: 1. Xác định hàm mật độ xác suất f(x) của biến X. 2. Viết hàm mật độ xác suất đồng thời f θ (x 1 , . . . , x n ) . 3. Lấy ln của hàm mật độ xác suất đồng thời: ln[f θ (x 1 , . . . , x n )] . 4. Tính đạo hàm d dθ ln[f θ (x 1 , . . . , x n )]. 5. Ước lượng HLCĐ của θ là nghiệm của phương trình d dθ ln[f θ (x 1 , . . . , x n )] = 0 . Ước lượng hợp lý cực đại Các bước tìm ước lượng HLCĐ: 1. Xác định hàm mật độ xác suất f(x) của biến X. 2. Viết hàm mật độ xác suất đồng thời f θ (x 1 , . . . , x n ) . 3. Lấy ln của hàm mật độ xác suất đồng thời: ln[f θ (x 1 , . . . , x n )] . 4. Tính đạo hàm d dθ ln[f θ (x 1 , . . . , x n )]. 5. Ước lượng HLCĐ của θ là nghiệm của phương trình d dθ ln[f θ (x 1 , . . . , x n )] = 0 . . bước tìm ước lượng HLCĐ: 1. Xác định hàm mật độ xác suất f(x) của biến X. 2. Viết hàm mật độ xác suất đồng thời f θ (x 1 , . . . , x n ) . 3. Lấy ln của hàm mật độ xác suất đồng thời: ln[f θ (x 1 ,. bước tìm ước lượng HLCĐ: 1. Xác định hàm mật độ xác suất f(x) của biến X. 2. Viết hàm mật độ xác suất đồng thời f θ (x 1 , . . . , x n ) . 3. Lấy ln của hàm mật độ xác suất đồng thời: ln[f θ (x 1 ,. tham số chưa biết θ. Người ta lý luận rằng, các quan sát có được từ mẫu thử là các giá trị có xác suất xuất hiện lớn nhất mỗi khi lấy mẫu. Từ lý luận này, ước lượng hợp lý cực đại, hay còn gọi