bài tập hình học giải tích trong không gian gv : lê văn chức năm 2007 Bài 1 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; -1), đường thẳng (D) có phương trình 2 2 1 3 2 x y z− + = = và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+y-z+1=0. 1) Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đương thẳng (D) và song song với mặt phẳng (P) Bài 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng: d1: 2 0 2 6 0 x y x z − − = − − = , d2: 4 2 1 1 2 1 x y z− − − = = , d3: 5 1 2 2 1 1 x y z− + + = = − − Và mặt cầu: 2 2 2 ( ) : 2 2 2 1 0S x y z x y z+ + + − + − = a) Chứng minh rằng d1,d2 chéo nhau và viết phương trình đường thẳng d cắt d1,cắt d2 và song song với d3. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r=1. Bài 3 Cho hai đường thẳng: 2 3 4 0 : 4 0 x y d y z + − = + − = và 1 3 ' : 2 1 2 x t d y t z t = + = + = − + a. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và d’ chéo nhau b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ c. Hai điểm A, B khác nhau và cố đònh trên đường thẳng d sao cho 117AB = .Khi C di động trên đường thẳng d’,tìm giá trò nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC Bài 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;4), B( 2 3 ;2;0), C(0;4;0).Gọi H là trực tâm của tam giác OBC (O là gốc của hệ tọa độ) và K là hình chiếu vuông góc của điểm H xuống mặt phẳng (ABC) 1. Chứng minh rằng tam giác OBC là tam giác đều và viết phng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 2. Chứng minh K là trực tâm của tam giác ABC 3. Gọi N là giao điểm của hai đøng thẳng HK và OA.Tính tích số OA.ON Page 1 of 6 bài tập hình học giải tích trong không gian gv : lê văn chức năm 2007 Bài 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho điểm A(- 1,3,2) và hai đường thẳng: 1 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d − − = = − , 2 1 ( ) : 3 3 2 x t d y t z t = + = + = + , t ∈ ¡ 1.Viết phương trình đường thẳng ( )∆ qua A cắt 1 ( )d và 2 ( )d 2.Tính tọa độ các giao điểm của ( )∆ với 1 ( )d và 2 ( )d ø Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng 1 ( )∆ và 2 ( )∆ : 1 8 23 0 ( ) : 4 10 0 x z x y − − = ∆ − − = và 2 2 3 0 ( ) : 2 2 0 x z x y − + = ∆ + + = Viết phương trình đường thẳng ( )∆ song song với trục Ox và đồng thời cắt cả 1 ( )∆ và 2 ( )∆ Bài 6 Trong không gian với hệ trục ĐềCac vuông góc Oxyz Mặt cầu (S) : x 2 +y 2 + z 2 – 2x –2y –4z +2 = 0 Và đường thẳng (D) : 2 2 3 0 2 2 3 0 x y z x y z − + + = − + + + = 1. Tính khoảng cách từ tâm I của Mặt cầu (S) đến đường thẳng (D) . 2. viết phương trình các mặt phẳng chứa (D) và tiếp xúc với (S). Bài 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho 3 điểm:A(0,0,1) ;B(-1,-2,0) ;C(2,1,-1). 1.Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A ,B ,C 2.Viết phương trình thamsố của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P). 3.Xác đònh chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC Bài 8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) α có phương trình : x+2y-3z-5=0 và đường thẳng (d) có phương trình: 3 0 2 2 0 x y y z + − = + − = a. Xác đònh tất cả các điểm nằm trên đường thẳng (d) cách mặt phẳng ( ) α một đoạn bằng 14 . Page 2 of 6 bài tập hình học giải tích trong không gian gv : lê văn chức năm 2007 b. Lập phương trình hình chiếu (d’) của (d) trên ( ) α . Bài 9 Hình bình hành ABCD có A=(3; 0; 4) , B= (1; 2; 3) ,C=(9; 6; 4) 1.Tìm tọa độ đỉnh D. 2.Tính cosin góc B. 3.Tính diện tích hình bình hành ABCD. Bài 10 Trong mặt phẳng Oxyz cho 3 điểm : A(-1,0,2) B(3,1,0) ,C(-1,-4,0) a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (ABC) vuông góc với đường thẳng ( )∆ có phương trình: x = 5t ; y = - 4t + 2 ; z = 8t – 4. b. M là một điểm trên đường thẳng ( )∆ có hoành độ bằng 5.Tính thể tích của hình chóp MABC Bài 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm A(1,1,3), B(-1,3,2) và C(-1,2,3). 1. Kiểm chứng A, B ,C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 3 điểm này. Tínhkhoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) 2. Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC Bài 12 Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( ) α lần lượt có phương trình: 6 3 2 : 2 1 2 x y z− + − ∆ = = và ( ) : 2 3 0x y z α − + = a. Chứng minh rằng đường thẳng cắt mặt phẳng,hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của ∆ trên mặt phẳng ( ) α Bài 13 Cho mặt phẳng (P) có phương trình x-2y-3z+14=0 và điểm M=(1;-1;1) 1. Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) 2. Hãy tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên (P) 3. Hãy tìm toạ độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P) Bài 14 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho 4 điểm : A(1;2;2) , B(-1;2;-1) , C(1;6;-1) , D(-1;6;2). 1. Chứng minh rằng: ABCD là tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau. 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD Page 3 of 6 bài tập hình học giải tích trong không gian gv : lê văn chức năm 2007 3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 15 Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có các phương trình tương ứng là: 1 ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = 2 ( ) : 2 2 5 0P x y z− + + = Và điểm A(-1,1,1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó.Gọi S là mặt cầu bất kỳ qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng 1 ( )P , 2 ( )P 1. Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu S là một hằng số và tính bán kính đó. 2. Gọi I là tâm của hình cầu S . Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố đònh Xác đònh toạ độ của tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Bài 16 1. Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho bốn điểm A(1,0,0) , B(1,1,0) ,C(0,1,0), D(0,0,m) với m là tham số khác 0. a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m=2 b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD .Tìm các giá trò của tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trò lớn nhất. Bài 17 1. Cho trong không gian với hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz các điểm A(2;0 ; 0) ,B(0 ; 3; 0) ,C(0;0 ;3) .Các điểm M ,N lần lượt là trung điểm của OA và BC ; P ;Q là hai điểm trên OC và AB sao cho 2 3 OP OC = và hai đường thẳng MN ,PQ cắt nhau.Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỉ số AQ AB ? 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề-các vuông góc ,cho parabol (P) có đỉnh tại gốc toạ độ và đi qua điểm (2;2 2)A .Đường thẳng (d) đi qua điểm 5 ( ;1) 2 I cắt (P) tại hai điển M,N sao cho MI=IN . Tính độ dài đoạn MN Bài 18 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2a,0,0) ,B(2a,2a,0) , C(0,2a,0) ,D(0,0,2a) (a>0) 1. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD .Hãy tìm toạ độ giao điểm F của đường thẳng OE (trong đó O là gốc toạ độ ) với mặt phẳng (ACD). Page 4 of 6 bài tập hình học giải tích trong không gian gv : lê văn chức năm 2007 2. Tính thể tích hình chóp D.OABC 3.Tìm toạ độ điểm 1 O đối xứng với điểm O qua đường thẳng BD. Bài 19 Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có các phương trình tương ứng là : 1 ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = , 2 ( ) : 2 2 5 0P x y z− + + = và điểm A(-1,1,1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó .Gọi S là mặt cầu bất kỳ qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng 1 2 ( ),( )P P 1. Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu S là một hằng số và tính bán kính đó. 2. Gọi I là tâm của hình cầu S .Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố đònh .Xác đònh toạ độ của tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Bài 20 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy , hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết phương trình đường thẳng AB là y - x - 2 = 0 , phương trình đường thẳng BC là 5y – x + 2 = 0 và phương trình đường thẳng AC là y + x – 8 = 0 . 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho A(10,5), B(15,-5),D(- 20,0) là ba đỉnh của một hình thang cân ABCD .Tìm toa độï điểm C ,biết rằng AB//CD . Bài 21 Cho đường thẳng (d) có phương trình : 1 2 1 2 x y t z t = − = − = + Và mặt phẳng (P) phương trình :2x –y –2z –2 = 0 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) ,tâm cách mặt phẳng (P) một khoảng cách bằng 2 và mặt cầu cách mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. 2. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất . Bài 22 Trong không gian với hệ trục toạ độ (Oxyz): Page 5 of 6 bài tập hình học giải tích trong không gian gv : lê văn chức năm 2007 1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm M(0,0,1), N(3,0,0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 3 π . 2. Cho 3 điểm A(a,0,0) ,B(0,b,0), C(0,0,c) với a,b,c là 3 số dương, thay đổi và luôn thoả mãn 2 2 2 3a b c+ + = Xác đònh a,b,c sao cho khoảng cách từ điểm O(0,0,0) đến mặt phẳng (ABC) đạt giá trò lớn nhất . Bài 23 Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , biết S(3,2,4) ,B(1,2,3) ,D(3,0,3). a. Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SD. b. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .Lập phương trình mặt phẳng qua BI và song song với AC. c. Gọi H là trung điểm của BD, G là trực tâm tam giác SCD .Tính độ dài HG Bài 24 Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(3;0;0) , B(0;3;0) , C(0;0;3) và H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC) . 1. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đoạn OH . 2. Gọi D là điểm đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng tứ diện ABCD là tứ diện đều và tính thể tích tứ diện ABCD. 3.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Cho mặt cầu 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − = (C) và mặt phẳng x –2y +3z –20 = 0 (P) 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (C) 2. Tìm khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến mặt phẳng (P) . 3. Mặt cầu (C) cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn (L) ,hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn (L). 4. Gọi tâm hình cầu là I , tìm điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (P). Page 6 of 6