phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2001- 2002 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: ( 4 điểm) Rút gọn biểu thức: 2 2 1 a 1 a 1 1 P : 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a + = + + + với -1 a 0 < Câu 2: ( 4 điểm) a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k 1 ta có: ( ) 1 1 1 2 k 1 k k k 1 < ữ + + b.Chứng minh rằng: ( ) 1 1 1 1 2 voi n N, n 0 2 3 2 4 3 n 1 n + + + + < + Câu 3: ( 3 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn: 3 3 3 2 2 2 x y z 1 x y z 1 + + = + + = Tính tích P = xyz Câu 4: ( 6 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d cố định ( d ngoài (O)). Gọi A là chân đ- ờng cao hạ từ O xuống d. Từ một điểm E trên d kẻ các tiếp tuyến EP, EQ với (O). Dây cung PQ cắt OA tại Ivà cắt OE ở K. Gọi B là giao điểm thứ hai của AP với (O; R). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt đờng thẳng d tại C. a. Chứng minh các điểm O, A, B, C cùng thuộc một đờng tròn. b. Chứng minh: AC = AE c. Chứng minh: OI. OA = R 2 d. Khi điểm E di động trên d thì K chuyển động trên đờng nào? Vì sao? Câu 5*: ( 3 điểm) Cho ( ) ( ) n n n 2 3 2 3 a voi n N 2 3 + = Chứng minh rằng: a n có giá trị là một số nguyên với mọi n N phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút đề chính thức đề chính thức Bài 1: Cho phơng trình ẩn x: 2 a b a x x 2 0 ( 0) b a b = > ữ ữ a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Với điều kiện nào của a, b thì 2 nghiệm đó là hai số đối nhau. b. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Hãy tính: 2 2 1 2 Q x x= + theo a, b. c. Chứng minh Q 2 d. Giả sử trong hai nghiệm x 1 , x 2 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. Chứng minh: a 1 b 4 > Bài 2: Cho 2 2 2 2 P x y 2z t= + + + với x, y, z, t là các số không âm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P và các giá trị tơng ứng của x, y, z, t biết: 2 2 2 2 2 2 x 3y 4z 101 x y t 21 + + = + = Bài 3: a. Với x 2 , chứng minh: x 2 x 2 1 . Tìm x để đẳng thức xảy ra. b. Giải phơng trình: 2 2 x 2 x 2 x 3 4 x 5 3 + + = Bài 4: Cho hình vuông cạnh a. Trên cạnh AD; CD lấy M, N sao cho góc BMN = 45 0 . BM và BN cắt AC lần lợt tại E, F. a. Chứng minh rằng: 5 điểm M, E, F, N, D cùng thuộc một đờng tròn. b. Chứng minh rằng: BMN BEF S 2S = c. Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm của BH và MN. Tính BI theo a. d. Xác định vị trí của M, N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 5. Cho hai thùng nớc với dung tích lớn tùy ý và hai cái gáo có dung tích 2 lít và 2 2 lít. Hỏi có thể dùng 2 cái gáo đó để chuyển một lít nớc từ thùng này sang thùng kia đợc không?Tại sao? phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2004- 2005 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút đề chính thức Bài 1. Tính: ( ) 2 2 5 14 6 A . 2 4 2 2 1 2 2 1 2 3 B 2x 3x 17 2x 3x 5 = + ữ + = + + + biết 2 2 2x 3x 17 2x 3x 5 2 + + = Bài 2. Cho hệ phơng trình: mx 4y 10 m x my 4 + = + = a. Giải và biện luận hệ phơng trình. b. Chứng minh rằng : khi hệ phơng trình có nghiệm (x; y) duy nhất thì M(x; y) luôn thuộc một đờng thẳng cố định. Bài 3. Cho phơng trình : ( ) 2 x 2 k 2 x 3k 10 0+ + = a. Tìm k để phơng trình có nghiệm. b. Giả sử x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x 1 2 +x 2 2 . c. Với các giá trị nguyên nào của k thì phơng trình đã cho có nghiệm là một số nguyên. Bài 4. Cho (O 1 ), (O 2 ) cắt nhau tại A, B. Tiếp tuyến chung của 2 đờng tròn trên nửa mặt phẳng bờ O 1 O 2 chứa điiểm B có tiếp điểm theo thứ tự là E, F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O 1 ) tại C, cắt (O 2 ) tại D, CE cắt DF tại I. Chứng minh rằng: a. IA vuông góc với EF. b. Tứ giác IEBF nội tiếp c. AB đi qua trung điểm của EF. d. Qua A kẻ một cát tuyến thứ 2 C AD cắt (O 1 ) tại C , cắt (O 2 ) tại D . Chứng minh: góc ' C AB DAB = phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2005 -2006 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: ( 3 điểm) Cho ( ) 2 2 x 1 x x 2x x A x x 1 x x 1 + = + + + a.Rút gọn A. b.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: ( 4 điểm) Giải hệ phơng trình: 2 2 2 4x 4xy y 7 2x xy 1 + = = đề chính thức Bài 3: ( 4 điểm) Cho phơng trình x 2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0 a.Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có nghiệm. b.Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m. c.Xác định m sao cho phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. Bài 4: ( 7 điểm) Cho đờng tròn (O ; R), M là một điểm nằm ngoài đờng tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của đờng tròn (O ; R) ( A, B là các tiếp điểm). Một đờng thẳng d qua M cắt đờng tròn (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của CD. Đờng thẳng AB cắt MO, MD, OI theo thứ tự tại các điểm E, F, K. a.Chứng minh rằng OE. OM = OK. OI = R 2 b. Khi đờng thẳng d không đi qua O. Chứng minh OECD là tứ giác nội tiếp. c. Cho biết R = 10cm; OI = 6cm; MC = 4cm. Tính MB? Bài 5: ( 2 điểm) Cho p = abc là số nguyên tố. Chứng minh rằng phơng trình a 2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỷ. sở GD- đt tỉnh nam định đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Rút gọn biểu thức: 3 5 3 5 A 10 3 5 10 3 5 + = + + + + Câu 2: Gọi a, b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai: x 2 - x-1 =0. Chứng minh rằng: 3 3 2 2 4 4 2001 2001 2003 2003 P a b a b Q a b a b R a b a b = + + + = + + + = + + + là những số nguyên và chia hết cho 5. Câu 3: Cho hệ phơng trình: 2 2 2 4x 4xy y m 2x xy 1 + = = a. Giải hệ phơng trình khi m= 7 b. Tìm m để hệ có nghiệm. Câu 4: Cho hai vòng tròn (C 1 ), (C 2 ) tiếp xúc ngoài tại T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C 3 ) và tiếp xúc với (C 3 ) tơng ứng tại M, N. Tiếp tuyến chung tại T của (C 1 ), (C 2 ) cắt (C 3 ) tại P. PM cắt (C 1 ) tại điểm thứ hai là A và MN cắt (C 1 ) thứ hai là B. PN cắt (C 2 ) tại điển thứ 2 là D và MN cắt (C 2 )tại điểm thứ hai C. a. Chứng minh rằng : ABCD là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh các đờng AB, CD, PT đồng quy. đề chính thức Câu 5: Một ngũ giác có tính chất tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của một ngũ giác đều có điện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Cho: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x A : 1 1 1 x 1 1 x 1 x x 1 B 1 x x 1 x 2 x 2 (-1 x 1) x 2 + = + + ữ ữ ữ + + = + + a. Rút gọn A, B. b. Với giá trị nào của x thì A + B = 0. Bài 2. Cho hệ phơng trình: ( ) 2 m 1 x y 1 m 2 x y 0 + + = + = a. Giải hệ phơng trình với m = -1 b. Xác định m để phơng trình có nghiệm. Bài 3. Cho p là một số thực sao cho x 2 -3px - p = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . a. Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào p. b. Chứng minh rằng: 3p x 1 + x 2 2 - p > 0 c. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 2 1 2 2 1 2 p 3p x + x +3 p A 3p x + x -3 p p = + Bài 4.Từ điểm A ngoài (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt tiếp tuyến AB, AC lần lợt tại P và Q. BC cắt OP và OQ lần lợt tại E, F. Chứng minh rằng: a. Chu vi tam giác APQ không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BC. b. Tứ giác PQEF là tứ giác nội tiếp. c. Tỉ số EF PQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Tính tỉ số đó khi góc BAC bằng 60 0 . Phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009- 2010 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút đề chính thức Bài 1. ( 4,0 điểm) Cho biểu thức 1 1 2x x 1 2x x x x A : 1 x 1 x x 1 x x + + = + ữ ữ với x > 0; 1 x 4 ; x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= c) So sánh A với A . Bài 2. ( 3,5 điểm). Chứng minh rằng: a) ( ) ( ) 1 2 a b 2 b c b < < Biết a; b; c là 3 số thực thoả mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2; c > 0. b) Biểu thức 2 2 2 2008 2008 B 1 2008 2009 2009 = + + + có giá trị là một số tự nhiên. Bài 3. ( 3 điểm) Giải phơng trình: a) 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 + + + = + + b) x 3 4x 1 3x 2 5 + + = Bài 4. ( 8 điểm) Cho AB là đờng kính của đờng tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đờng tròn ( C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K. a. Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn. b. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R). c. Chứng minh K là trung điểm của CH. d. Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Bài 5. ( 1,5 điểm) Cho ( ) ( ) 2008 2008 M 3 2 3 2= + + a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M. phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1998- 1999 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút đề chính thức Câu 1. Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 999. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 999 y 999 z 999 z 999 x 999 x 999 y P 999 x 999 y 999 z + + + + + + = + + + + + Câu 2. Cho biểu thức: 1 3 2 A x 1 x x 1 x x 1 = + + + + a.Tìm giá trị thích hợp của x? b. Rút gọn A. c. Chứng minh : A 1 d. Tính giá trị của A biết x 4 7 4 7 2= + + Câu 3. Giải hệ phơng trình: x y z 2 3x 2y 4z 24 4x 9y 25z 108 + + = = + + = Câu 4. Cho đờng tròn (O; R) và (O ; r) tiếp xúc ngoài tại M. Kẻ 1 tiếp tuyến chung ngoài NP ( ( ) ( ) ' N O ;P O ) a.Tính góc NMP và tính NP? b.Gọi Q là giao điểm của PM với đờng tròn (O) (Q khác M). Chứng minh rằng : ba điểm N, O, Q thẳng hàng. c.Tính MN? MP? d.Từ 1 điểm A bất kì thuộc tia MQ và nằm ở miền ngoài đờng tròn (O), kẻ AB và AC là các tiếp tuyến của đờng tròn (O) ( B và C là các tiếp điểm). Chứng minh rằng: Khi điểm A di động trên tia MQ ( ở miền ngoài (O) thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua 2 điểm cố định. phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1997- 1998 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. Rút gọn biểu thức sau: a. x y xy xy 1 A : x y x y x y + = + ữ ữ + + với x 0; y 0; x y b. B 4 5 3 5 48 10 7 4 3= + + + đề chính thức Bài 2. Giải phơng trình: 2x 4x 1 2x 4x 1 6+ + = Bài 3. Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y P x. y. z. 1 x 1 y 1 z + + + + + + = + + + + + Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y x 3 4 x 1 x 15 8 x 1= + + + Bài 5. Cho đờng thẳng d, trên d lấy 2 điểm phân biệt M và N. Kẻ tia Nx d . Trên tia Nx lấy một điểm O sao cho NO = 1/2MN. Tia MO cắt đờng tròn (O; ON) ở A và B. ( M và O nằm ở 2 phía của A). Đờng tròn (M; MA) cắt MN ở C. a. Chứng minh: AB 2 = MA. MB b. Chứng minh : MC 2 = CN. MN c. Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với AB, cắt d ở E. Từ M và E kẻ các tiếp tuyến MP và EQ với đờng tròn (O), ( P và Q là các tiếp điểm khác N). Chứng minh rằng : MP. EQ = 1/4PQ 2 . d. Dựng đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng d tại M và tiếp xúc với đờng tròn (O). phòng GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1999- 2000 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Cho biểu thức : ( ) ( ) 2 3 3 2 a b ab a b A ab 1 4 ab + + + = + a. Rút gọn biểu thức A. đề chính thức b. Tính giá trị của A biết: a 3 20 6 11 3 20 6 11 2 3 2 3 b 2 3 2 2 3 2 = + + + = + + Bài 2. Giải phơng trình: ( ) 1 x y 1 z 2 x y z 2 + + = + + Bài 3. Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn: a + b = c. Chứng minh rằng: 3 3 3 4 4 4 a b c+ > Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD ( Â = D = 90 0 ). Tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD. a. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I; IA). b. Gọi H là tiếp điểm của BC với đờng tròn tâm I nói trên, K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: KH //DC. c. Kẻ đờng thẳng vuông góc với DA tại I, cắt BC tại E. Nối DE. Gọi F là giao điểm của tia AB và tia DE. Chứng minh: 2 AD AB.BF 4 = d. Dựng đờng tròn tiếp xúc với DC tại C và tiếp xúc với đờng tròn (I; IA) . không phụ thuộc vào x, y, z: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 99 9 y 99 9 z 99 9 z 99 9 x 99 9 x 99 9 y P 99 9 x 99 9 y 99 9 z + + + + + + = + + + + + Câu 2. Cho biểu thức: 1 3 2 A x 1 x x 1 x. GD- đt huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 199 8- 199 9 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút đề chính thức Câu 1. Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 99 9. Chứng. BAC bằng 60 0 . Phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 20 09- 2 010 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút đề chính thức Bài 1. ( 4,0 điểm) Cho biểu