Đề Toán 8: Bài 1 (1,5 điểm): Tính A = + + + + + + 4 1 20 4 1 4 4 1 2 4 1 19 4 1 3 4 1 1 444 444 Bài 2 (3 điểm): a) Rút gọn biểu thức: B = 1 12 +++ ++ yxxy xxy + 1 12 +++ ++ zyyz yyz + 1 12 +++ ++ xzzx zzx b) Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên n đợc biểu diến dới dạng tổng của k số nguyên dơng a 1 , a 2 , , a k trong đó 1 1 a + 2 1 a + + k a 1 = 1 thì mỗi số a = 3n + 8 và b = 2n + 9 cũng đợc biểu diễn dới dạng tổng của một số nguyên dơng với tổng các nghịch đảo của các số này bằng 1. Bài 3(1,5 điểm): Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngợc lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc nh nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe đi từ B về phía mình. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vợt qua ngời đó. Bài 4(3 điểm): a) Cho hình bình hành ABCD. Lấy E thuộc BD, gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F, kẻ Fx song song với AD, cắt AB tại I, Fy song song với AB, cắt AD tại K. Chứng minh rằng: ba điểm I, K, E thẳng hàng. b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d. Tìm điểm M (d và M nằm khác phía đối với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đờng thẳng d một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Bài 5(1 điểm): Giải phơng trình: x - a 2 x - 22 2 xb b + a = 22 2 bx x Đáp án Toán 8 Bài 1(1,5 điểm): A = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 440 4844 438 4642 444 444 +++ +++ Xét n 4 + 4 = (n 4 + 4n 2 + 4) - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2 = (n 2 - 2n + 2) (n 2 + 2n + 2) = [ ] 1)1( 2 +n [ ] 1)1( 2 ++n Thay n = 2, 4, 6, 8, , 40 vào A ta đ ợc: A = 1682 2 = 841 1 Bài 2(2,5 điểm): a) Xét: 1 12 +++ ++ yxxy xxy = 1 )()1( +++ ++++ yxxy yxyxxy = 1 + 1+++ yxxy yx = 1 + )1)(1( )1()1( ++ ++ yx xyyx = 1 + 1+x x - 1+y y Tơng tự: 1 12 +++ ++ zyy z yyz = 1 + 1+y y - 1+z z 1 12 +++ ++ xzzx zzx = 1 + 1+z z - 1+x x Vậy B = 1 + 1+x x - 1+y y + 1 + 1+y y - 1+z z + 1 + 1+z z - 1+x x = 3. b) Do n = a 1 + a 2 + + a k a = 3n + 8 = 3a 1 + 3a 2 + + 3a k + 6 + 2 Trong đó:( 1 3 1 a + 2 3 1 a + + k a3 1 ) + 6 1 + 2 1 = 3 1 ( 1 1 a + 2 1 a + + k a 1 )+ 6 1 + 2 1 = 3 1 + 6 1 + 2 1 = 1 Xét b = 2n + 9 = 2(a 1 + a 2 + + a k ) + 9 = 2a 1 + 2a 2 + + 2a k + 6 + 3 Trong đó:( 1 2 1 a + 2 2 1 a + + k a2 1 ) + 6 1 + 3 1 = 2 1 ( 1 1 a + 2 1 a + + k a 1 ) + 6 1 + 3 1 = 6 1 + 3 1 + 2 1 = 1 Bài 3(2 điểm): Gọi thời gian phải tìm là x(phút): Biểu thị thời gian ngời đi du lịch đi từ A đến B là a(phút). Lập luận dẫn đến phơng trình: 6 2a = 5 a + x a Giải phơng trình tìm đợc: x = 7,5. Bài 4(3 điểm): a) FK cắt AC tại M, AC cắt BD tại Q, AF cắt CD tại N Suy ra EQ là đờng trung bình của AFC EQ // AF ABDN là hình bình hành ND = DC FK = KM KE // AC (1) AF cắt IK tại P PK // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra: I, K, E thẳng hàng. b) Kéo dài MA, MB cắt AB, d ở H vàK. Đặt AB = a, MH = x, khoảng cách giữa AB và d là h. Ta có AB // CD CD AB = MK MH = hx x + CD = x hxa )( + Do đó S MCD = MKCD. 2 1 = x hx a 2 )( 2 1 + = x hhxxa 22 2 . 2 ++ = )2.( 2 2 x h hx a ++ Do đó S MCD nhỏ nhất x h x 2 + nhỏ nhất x h x 2 = x = h Có vô số điểm M: tập hợp các điểm M là đờng thẳng d' đối xứng với d qua AB. Bài 5(1 điểm): TXĐ: x b, x - b Biến đổi phơng trình ban đầu về: (1 - a 2 )x = 1 - a (1) * Nếu 1 - a 2 = 0 a = 1; a = - 1 - Nếu a = 1: (1) 0x = 0 PT có vô số nghiệm x b, x - b - Nếu a = - 1: (1) 0x = 2 PT vô nghiệm. * Nếu 1 - a 2 0 a 1; a - 1: (1) có nghiệm x = a+1 1 là nghiệm của phơng trình ban đầu nếu a+1 1 b; a+1 1 - b Kết luận: . phơng trình: x - a 2 x - 22 2 xb b + a = 22 2 bx x Đáp án Toán 8 Bài 1(1,5 điểm): A = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 440 484 4 4 38 4642 444 444 +++ +++ Xét n 4 + 4 = (n 4 + 4n 2 + 4) - 4n 2 =. 2n + 2) (n 2 + 2n + 2) = [ ] 1)1( 2 +n [ ] 1)1( 2 ++n Thay n = 2, 4, 6, 8, , 40 vào A ta đ ợc: A = 1 682 2 = 84 1 1 Bài 2(2,5 điểm): a) Xét: 1 12 +++ ++ yxxy xxy = 1 )()1( +++ ++++ yxxy yxyxxy . Đề Toán 8: Bài 1 (1,5 điểm): Tính A = + + + + + + 4 1 20 4 1 4 4 1 2 4 1 19