sở gd&đt thái bình trờng thpt bắc đông quan đề kiểm tra chất lợng học kỳ II-lần II môn : Toán 12 Năm học 2008-2009 ( Thời gian làm bài 150 , không kể giao đề ) I. Phần chung dành cho tất cả các thí sinh ( 7,0 điểm) Câu 1 : (3,5 điểm) Cho hàm số 1 2 x y x = + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0; -1) 3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và đờng thẳng y = -3x 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh Ox Câu 2 : (2,0 điểm) 1. Giải bất phơng trình ( ) 1 3 1 3 log (9 9) log 3 7 x x x + + > 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 0 4 ( ) 1 dt 25 x f x t = ữ trên đoạn [7 ; 16] Câu 3 : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy bằng 3 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 0 .Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Câu 4 : (0,5 điểm) Cho các số thực dơng x, y. Chứng minh rằng 2 y x y x y e x + + < II. Phần riêng : (3,0 điểm) Thí sinh học chơng trình nào chỉ đợc làm theo chơng trình đó 1. Theo chơng trình chuẩn Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng 1 2 ' : 5 3 ' 4 x t d y t z = = + = Hai mặt phẳng () và () lần lợt có phơng trình là x + y -3 = 0 và x + 2z -1 = 0 1. Chứng tỏ () cắt (). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () 2. Chứng tỏ d 1 và d 2 chộo nhau. Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2 Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biểu diễn cho bốn số phức 4 (3 3) ; (3+ 3) ; 1 + 3i ; 2 + (1+ 3)ii i+ + . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn 2. Theo chơng trình nâng cao Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm 1 1 ( ;0;0), K(0; ;0) 2 2 H và 1 (1;1; ) 3 I . 1. Chứng tỏ ba điểm H, I, K không thẳng hàng. Tính diện tích của tam giác HIK 2. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình chiếu vuông góc của trục Ox trên mặt phẳng (HIK) Câu 6b : (1,0 điểm) Giải phơng trình sau trên tập các số phức : 10 5 2 10 (1 ) ( 3 ) ( 1 3) i i z i + = Hết Họ và tên thí sinh : Số báo danh sở gd&đt thái bình trờng thpt bắc đông quan kiểm tra chất lợng học kỳ II - lần II môn : Toán 12 Năm học 2008-2009 hớng dẫn chấm và biểu điểm Nội dung Điểm Câu 1 : (3,5 điểm) Cho hàm số 1 2 x y x = + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) 3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và đờng thẳng y = -3x 1 . Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh Ox a) Tập xác định : R\{-2} 0,25 b) Sự biến thiên * Giới hạn-tiệm cận 2 2 , lim x x Lim y y + = + = , Do đó đờng thẳng x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 x Lim y = , nên đờng thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 0,25 1. (2,0) * Bảng biến thiên +) 2 3 ' ( 2) y x = + < 0 ,x -2 x - -2 + y - - y -1 + - -1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ;-2) và ( -2 ; +) 0,25 0,25 0,25 c. Đồ thị + Giao với Oy : (0;1/2) + Giao với Ox : (1;0) NX : Đồ thị nhận I(-2;-1) là giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng 0,75 2 (1,0) + Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm suy ra phơng trình tiếp tuyến có dạng ( ) 0 0 2 0 0 1 3 ( ) 2 2 x y x x x x = + + + + Vì tiếp tuyến đi qua A(0;-1) nên ta có ( ) 0 0 0 2 0 0 1 3 1 ( ) 1 2 2 x x x x x = + = + + 0,25 0,5 Suy ra phơng trình tiếp tuyến là : y = -3x-1 0,25 +) ĐT y = -3x-1là tiếp tuyến tại tiếp điểm (-1;2) và cắt trục hoành tại điểm(-1/3;0) Theo hình vẽ ở trên (Tiếp tuyến này không cắt (C) tại một điểm nào khác nữa) 3 (0,5) + Gọi (H 1 ) là hình phẳng giới hạn bởi (C) , Ox , x = -1,x=1.Suy ra thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H 1 ) khi quay quanh Ox là 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 9 6 1 1 2 2 2 ( 2) x V dx dx dx x x x x = = = + ữ ữ ữ + + + + Đặt x+2=u du=dx ; x= -1 u=1 , x=1 u =3 3 3 1 2 1 1 9 6 9 1 6ln (8 6ln 3)V du u u u u u = + = + = ữ ữ 0,25 + Gọi (H 2 ) là hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến (ý 2), Ox, x = -1, x =-1/3 . Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh bởi (H 2 ) khi quay quanh Ox bằng thể tích của khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 2 và chiều cao bằng 2/3 2 2 1 2 8 . .( .2 ) 3 3 9 V = = + Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = V 1 V 2 = 64 6ln 3 9 ữ (Đvtt) 0,25 Câu 2 : (2,0 điểm) 1. Giải bất phơng trình ( ) 1 3 1 3 log (9 9) log 3 7 x x x + + > 2. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số 0 4 ( ) 1 dt 25 x f x t = ữ trên đoạn [7 ; 16] + Điều kiện 1 3 7 x+ > 0 3 7 log 3 x > (*) 0,25 1. (1,0) + Đa bất phơng trình về dạng 2.9 x -7. 3 x 9 < 0 + Giải ra 3 9 log 2 x < 0,25 0,25 + Kết hợp với (*) suy ra 3 3 7 9 log log 3 2 x< < ( Kết luận ) 0,25 + 1 2 0 0 ( ) d 4 (25 ) d(25- ) x x f x t t t = + + Tính đợc ( ) 8 25 40f x x x= + ( Xác định và liên tục trên đoạn [7 ; 16] ) 0,25 0,25 2. (1,0) + Ta có 4 '( ) 1 25 f x x = và '( ) 0 9 (7;16)f x x= = 0,25 + f(7) = 24 2 33 ; f(9 ) = 1 ; f(16) = 0 Suy ra [ ] [ ] 7;16 7;16 ax ( ) 1 , min ( ) 0m f x f x= = 0,25 Câu 3 : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy bằng 3 góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 0 .Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Gọi tam giác đều ABC có cạnh đáy bằng x dtABC = 2 0 1 sin 60 2 x 2 3 4 x = Theo giả thiết x = 2 + Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) HA = HB = HC hay H là trọng tâm tam giác ABC 2 2 2 2 3 . 3 3 3 dt ABC HA AI BC = = = (Vì AI BC) 0,25 0,25 Mặt khác góc giữa cạnh bên và mặt đáy hình chóp = (SA,(ABC))=(SA,AH) = 0 45SAH = SAH vuông cân tại H HS = HA = HB = HC Suy ra H là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = HA = 2 3 3 0,25 Diện tích mặt cầu S= 4R 2 = 16 3 0,25 Chú ý : Nếu học sinh xác định không chính xác vị trí tâm của mặt cầu mà vẫn đa ra đợc kết quả đúng về diện tích mặt cầu thì đợc 0,5 điểm Câu 4 : (0,5 điểm) Cho các số thực dơng x , y . Chứng minh rằng 2 y x y x y e x + + < + ) BĐT 2 ln 2 x y y x x y + > + (1) .Đặt , t > 1 x y t x + = (1) trở thành lnt > 2( 1) 1 t t + 2( 1) ln 0 1 t t t > + 0,25 + Xét f(t) = l 2( 1) n 1 t t t + trên [1;+) , [ ) 2 2 ( 1) '( ) 0, 1; (f'(t) = 0 t = 1) ( 1) t f t t t t = + + Suy ra f(t) đồng biến trên [1;+) .Do đó t >1 f(t) > f(1) = 0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh 0,25 Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng 1 2 ' : 5 3 ' 4 x t d y t z = = + = Hai mặt phẳng () và () lần lợt có phơng trình là x+y-3 = 0 và x + 2z -1 = 0 1. Chứng tỏ () cắt (). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () S A B 45 0 H I C 2. Chứng tỏ d 1 và d 2 chộo nhau. Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2 + () có véc tơ pháp tuyến là (1;1;0)n () có véc tơ pháp tuyến là '(1;0; 2)n Dễ thấy hai véc tơ không cùng phơng (Hay ',n k n k R r ur ), suy ra () cắt () 0,5 1. + d 2 là tập hợp tất cả các điểm M(x;y;z) thoả mãn hệ 3 0 2 1 0 x y x z + = + = Cho y = 0 x =3 và z = -1 ( ) 3;0; 1M d 2 +Do d 2 vuônggóc với n và 'n nên d 2 có véc tơ chỉ phơng 2 , 'u n n = = (2;-2;-1) Suy ra phơng trình tham số của d 2 là 3 2 2 1 x t y t z t = + = = 0,25 0,25 + Chỉ ra 2 véc tơ chỉ phơng 1 u , 2 u của d 1 và d 2 không cùng phơng , đồng thời hê phơng trình sau vô nghiêm 3 2 2 ' 2 5 3 ' 1 4 t t t t t + = = + = suy ra d 1 và d 2 chộo nhau 0,5 2. + Mặt phẳng () chứa d 2 và //d 1 , suy ra () đi qua M và có véc tơ pháp tuyến n vuông góc với 1 u (-2; 3;0) và 2 u nên lấy n = [ 1 u , 2 u ]=(-3;-2;-2) Phơng trình () : -3(x-3) - 2y - 2(z+1) = 0 - 3x - 2y - 2z + 7 = 0 0,25 + Khoảng cách giữa d 1 và d 2 bằng khoảng cách giữa d 1 và () và cũng bằng khoảng cách giữa M 1 (0;-5;4) d 1 và () d(d 1 , d 2 )= d(M 1 , ())= 2 2 2 -3.0 2.( 5) 2.4 7 ( 3) ( 2) ( 2) + + + 9 17 = Kết luận : 0,25 Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biểu diễn cho bốn số phức 4 (3 3) ; (3+ 3) ; 1+3i ; 2+(1+ 3)ii i+ + . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn + (4;3 3), (0;3 3), (1;3), (2;1 3)A B C D+ + + 0,25 + Dễ thấy ( 3; 3), (1; 3) . 0AC BC AC BC = uuur uuur uuur uuur ABC vuông tại C Do đó đờng tròn(C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm I của đoạn AB và bán kính R=AB/2 0,5 Ta có 1 (2;3 3), 2 2 I R AB+ = = uuur Pt của (C): 2 2 ( 2) ( 3 3) 4x y + = (1) + Rõ ràng D(C) , từ đó suy ra đpcm 0,25 Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm 1 1 ( ;0;0) , K(0; ;0) 2 2 H và 1 (1;1; ) 3 I . 1. Chứng tỏ ba điểm H, I, K không thẳng hàng. Tính diện tích của tam giác HIK 2.Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình chiếu vuông góc của trục Ox trên mặt phẳng (HIK) 1. +) 1 1 1 1 ( ; ; 0) , ( ;1; ) 2 2 2 3 HK HI= = uuur uuur không cùng phơng (do 1 1 1 1 : : 0 :1: 2 2 2 3 ) Suy ra ba điểm H, I, K không thẳng hàng + )Ta có 1 1 3 , ; ; 6 6 4 n HK HI = = ữ r uuur uuur +) 2 2 2 1 1 1 1 3 89 , 2 2 6 6 4 24 HIK S HK HI = = + + = ữ ữ ữ uuur uuur (đv dt) 0,5 0,25 0,25 2. +) Dễ thấy n r là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (HIK) + Gọi (P) là mặt phẳng chứa Ox và vuông góc với (HIK) Suy ra VTPT của (P) là p n uur n r và p n uur i r có thể lấy p n uur =[ n r , i r ]= 3 1 0; ; 4 6 ữ + Gọi d là hình chiếu vuông góc của Ox trên (HIK) d =(P) (HIK) d p n uur , d n r , do đó d có véc tơ chỉ phơng 85 1 1 144. , 144. ; ; (85; 4;18) 144 36 8 p u n n = = = ữ r uur r 0,25 0,25 + Trục Ox cắt (HIK) tại điểm 1 ( ;0;0) 2 H Hd Suy ra pt tham số của d là : 1 85 2 4 18 x t y t z t = + = = (tR) 0,25 0,25 Câu 6b : (1.0 điểm) Giải phơng trình sau trên tập các số phức : 10 5 2 10 (1 ) ( 3 ) ( 1 3) i i z i + = 10 5 2 10 5 5 2 10 10 2 2 cos( ) sin( ) 2 cos sin 4 4 6 6 4 4 2 cos sin 3 3 5 5 5 5 2 cos( ) sin( ) 2 cos sin 2 2 6 6 40 40 2 cos sin 3 3 2 co i i PT z i i i z i z + + ữ ữ = + ữ + + ữ ữ = + ữ = 10 2 5 5 s( ) sin( ) 3 3 40 40 2 cos sin 3 3 cos( 15 ) sin( 15 ) 1 i i z i z i + ữ + ữ = + = = Kết luận : z i = 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý : - Trên đây chỉ là hớng dẫn làm bài; phải lý luận hợp lý mới cho điểm - Những cách giải khác đúng vẫn đợc điểm tối đa - Điểm toàn bài đợc làm tròn đến 0,5 . + = Hai mặt phẳng () và () lần lợt có phơng trình là x + y -3 = 0 và x + 2z -1 = 0 1. Chứng tỏ () cắt (). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () 2. Chứng. + = Hai mặt phẳng () và () lần lợt có phơng trình là x+y-3 = 0 và x + 2z -1 = 0 1. Chứng tỏ () cắt (). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () S A B 45 0 H I C 2 hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy bằng 3 góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 0 .Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Gọi tam giác đều ABC có cạnh đáy