HSG Toán Lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc-2007

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề  Câu 1. Giải hệ phương trình:        =+ +=+ 43 2 2008 1 2008 2008 1 2008 yyx y y x x Câu 2. Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và N là một điểm tùy ý trên đoạn AB (N không trùng với A, B). Một đường thẳng (d) đi qua B cắt (O 1 ), (O 2 ) tại M 1 , M 2 theo thứ tự đó. Đường thẳng M 1 N cắt đường tròn (O 2 ) tại P 2 , Q 2 và đường thẳng M 2 N cắt đường tròn (O 1 ) tại P 1 , Q 1 . Chứng minh rằng bốn điểm P 1 , P 2 , Q 1 , Q 2 cùng nằm trên một đường tròn có tâm O và OB ⊥ M 1 M 2 . Câu 3. Tìm tất cả các cặp hai số nguyên (x; y) sao cho: 33 )7( 3 )6( 3 )2( 3 )1( 3 yxxxxx =+++++++++ Câu 4. Cho các số thực yx, thỏa mãn 3 22 ≤++ yxyx Chứng minh rằng: 334 2 3 2 334 −≤−−≤−− yxyx Câu 5. Cho số nguyên dương n. Tìm số từ độ dài n lập từ ba chữ cái a, b, c trong đó có chẵn lần chữ cái a. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh SBD SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc  Câu Nội dung Điểm 1. (2đ) + Điều kiện: . Từ phương trình thứ hai, suy ra nếu là nghiệm của hệ thì 0.25 + Hệ đã cho tương đương với 0.25 + Từ (1) suy ra hoặc 0.25 + Nếu thay vào (2), được 0.25 và do đó 0.25 + Nếu thay vào (2), được và do đó 0.25 0.25 + Kết luận nghiệm 0.25 2. (2.5 đ) O Q 1 P 1 Q 2 P 2 M 2 B A O 1 O 2 M 1 N 2 + Xét phương tích của đối với hai đường tròn ta được 1 Suy ra cùng nằm trên một đường tròn, gọi theo thứ tự là tâm, bán kính của đường tròn đó. Ta có: 0.5 + Từ đó, suy ra 1 Suy ra 3. (2.5 đ) + Xét đa thức 0.5 + Nếu thì + Suy ra và do đó hoặc + Mặt khác không có nghiệm nguyên và không có nghiệm nguyên. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm mà 0.5 + Với : để ý rằng , nên là nghiệm nếu là nghiệm. 0.5 + Do đó, phương trình không có nghiệm với , suy ra nếu phương trình có nghiệm thì 0.5 + Thử trực tiếp, tìm được các nghiệm: 0.5 4. (1.5 đ) + Đặt và . Khi đó 0.25 + Nếu thì và khi đó 3 bất đẳng thức cần chứng minh đúng + Nếu thì Chia cả tử và mẫu cho và đặt thì 0.5 + Để ý rằng , nên cần chứng minh: + Ta có (1) 0.25 + Nếu thì (1) là phương trình bậc nhất, có nghiệm (2) + Với , do (1) luôn có nghiệm nên 0.25 + Giải bất phương trình này thu được và (3) + Từ (1),(2) và (3) suy ra điều phải chứng minh. 0.25 5. (1.5 đ) Giả sử trong từ độ dài có chữ cái . Thế thì + Có cách chọn vị trí cho chữ cái với mỗi cách đó, có cách chọn vị trí cho hai chữ cái . 0.25 + Do đó, số từ độ dài , có chứa chữ cái bằng 0.25 + Vậy, số từ cần tìm bằng: S = ∑ = −         2 n 0k 2kn .2 2k n C 0.5 + Xét khai triển và tính được 2 13 2 n 0k 2kn .2 2k n C + = ∑ = −         n . 0.5 Hết 4 . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài:. và tên thí sinh SBD SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc  Câu Nội dung