sở giáo dục & đào tạo vĩnh phúc _____________ đề chính thức kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh năm học 2006-2007 ______________________________ môn thi : toán Đề dành cho học sinh trờng THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu1: Cho phơng trình bậc hai: 033m 2 m4)x(m 2 x =+++ ( m là tham số) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 đều khác 1. Khi đó chứng minh rằng: 9 49 2 x1 2 2 mx 1 x1 2 1 mx 7 + < Câu2 : Giải phơng trình: 4 22x 2 x 2x 23x 2 x 3x = + + + Câu3: Giải hệ phơng trình: =++ =++ 112x3y 112y3x Câu 4: Tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đờng tròn ngoại tiếp R thoả mãn điều kiện: a 2 + c 2 = 2b 2 = 4R 2 . Đờng cao kẻ từ A và đờng phân giác trong của góc B của tam giác ABC cắt nhau tại I ( điểm I thuộc miền trong tam giác ABC). Chứng minh rằng diện tích tam giác IAC bằng diện tích tam giác IBC. Câu 5: Cho a, b, c là các số nguyên dơng thoả mãn c 1 b 1 a 1 = và d là ớc chung lớn nhất của chúng. Chứng minh rằng abcd và d(b - a) là các số chính phơng. Hết Chú ý : Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : Số báo danh: sở giáo dục - đào tạo vĩnh phúc _____________ kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh năm học 2006-2007 ______________________________ hớng dẫn chấm đề thi chính thức môn toán cho học sinh trờng thpt chuyên I/ Hớng dẫn chung : - Hớng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lợc một cách giải . Nếu học sinh có cách giải đúng, khác đáp án thì các giám khảo thống nhất và vận dụng thang điểm để chấm. - Khi chấm , các ý cho 0,5 đ có thể chia nhỏ tới 0,25 đ. Điểm của toàn bài là tổng điểm của tất cả các câu, làm tròn đến 0,25đ. II/ Đáp án và biểu điểm: Câu1 (3,0đ): Phơng trình có nghiệm 21 , xx đều khác 1 khi và chỉ khi + 2,0 0443 2,0 0)33(4)4( 02 0 222 2 mm mm mm mmm mm < 0 2 3 2 m m (*) 1,0đ Với điều kiện (*), theo định lý Vi- et : += =+ 33 4 2 21 21 mmxx mxx 0,5đ Ta có 21 ) 21 (1 ) 21 ( 21 ) 21 2 2 ) 21 (( 2 x1 2 2 mx 1 x1 2 1 mx xxxx xxxmxxxxxm ++ ++ = + 0,5đ 16 2 2138 2 23 += + = mm m mmm 0,5đ Xét hàm f(m) = 16 2 + mm với m thoả mãn (*) , dễ thấy f(m) là hàm số nghịch biến trên 2; 3 2 \ { } 0 9 49 )(7) 3 2 ()()2( << mffmff đpcm. 0,5đ Câu2(2,0đ): Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình, nên chia cả tử và mẫu của vế trái của phơng trình cho x ta đợc phơng trình tơng đơng 4 2 2 2 3 2 3 = + + + x x x x 0,5đ Đặt x xt 2 += ta có phơng trình = = =+= + 4 9 4 0362544 2 2 3 3 2 t t tt tt 0,5đ Với t = 4 ta có 220244 2 2 ==+=+ xxx x x 0,5đ Với t = 4 9 ta có )(0894 4 92 2 VNxx x x =+=+ Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là 22 =x 0,5đ Câu3(2,0đ): Xét hệ =++ =++ )2(112x3y (1)112y3x Điều kiện của ẩn: 2 1 ; 2 1 yx . Lấy phơng trình(1) trừ phơng trình (2) theo vế ta có 123123 +++=+++ yyxx (3) 0,5đ Dễ thấy hàm số f(t) = 123 +++ tt là đồng biến trên + ; 2 1 Khi đó từ (3) suy ra f(x) = f(y) x = y 0,5đ Với x = y, từ (1) ta có xxxxxx =+++=+=++ 112212131123 0,5đ 725 0310 1 2 1 )1()12(4 1 2 1 22 = = =+ x xx x xx x 2 Vậy hệ có nghiệm là = = 725 725 y x 05đ Câu 4(2,0đ): Vì điểm I thuộc miền trong tam giác ABC nên các góc B và C đều nhọn. Từ giả thiết ta suy ra: 222222 4sin8)sin(sin4 RBRCAR ==+ , 2 1 sin 2 = B CA 22 sinsin + = 1 0,5đ sin 2 B = cos 2 B và sin 2 A = cos 2 C sinB = cosB và sinA = cosC 0,5đ Gọi D = BI AC, M= CI AB, H = AI BC Theo định lý Cêva ta có: 1 sin.cos.2 cos.sin.2 . cos. cos. .1 ===== ABR CBR a c Bc Cb DC DA HB HC MB MA DA DC HC HB MB MA Suy ra M là trung điểm của AB. 0,5đ Hạ AE và BF vuông góc với CM thì AE = BF ( ) ( ) IBCSIACS = . 0,5đ Câu 5(1,0đ): Đặt d c C d b B d a A === ,, A,B,C có ƯSCLN là 1 và CA 111 = B ABABC CAB AB == )( 1 (*) 0,25đ Giả sử (B-A) không phải là số chính phơng. Khi đó tồn tại số nguyên tố p với số mũ cao nhất là 2r+1 sao cho 12 )( + r pAB (**) Nếu 1+r pA thì 1+r pB 22 . + r pBA . Nhng C không chia hết cho p ( do A, B, C không có ớc số chung khác 1), do đó từ (*) suy ra 22 )( + r pAB . Điều này mâu thuẫn với với (**). Nh vậy số mũ cao nhất là m với m r để m pA . Tơng tự ta thấy số mũ cao nhất là n với n r để n pB . Suy ra số mũ cao nhất là m+n 2r để nm pAB + số mũ cao nhất là m+n 2r để nm pAB + )( . Điều này mâu thuẫn với với (**).Vậy B-A là số chính phơng. 0,5đ Ta có ABC(B-A) = AB.AB ABC(B-A) là số chính phơng ABC là số chính phơng. Do vậy (b - a)d = d 2 (B-A) và abcd = d 4 .ABC là những số chính phơng. 0,25đ ___________________________________ 3 M I B A C H D E F . tạo vĩnh phúc _____________ đề chính thức kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh năm học 2006-2007 ______________________________ môn thi : toán Đề dành cho học sinh trờng THPT chuyên Vĩnh. tạo vĩnh phúc _____________ kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh năm học 2006-2007 ______________________________ hớng dẫn chấm đề thi chính thức môn toán cho học sinh trờng thpt chuyên I/. ra f(x) = f(y) x = y 0,5đ Với x = y, từ (1) ta có xxxxxx =+++=+=++ 112212131123 0,5đ 725 0 310 1 2 1 )1()12(4 1 2 1 22 = = =+ x xx x xx x 2 Vậy hệ có nghiệm là = = 725 725 y x