Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a Các học sinh ngồi tuỳ ý...
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I Một số công thức lượng giác cần nhớ
tanx ;cot x ; tan
4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 - 2 sin 2 x 5) Công thức hạ bậc:
6) Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx – 4sin 3 x; cos3x = 4cos 3 x – 3cosx 7) Công thức biểu diễn theo tanx:
2
sin 2 ;cos 2 ; tan 2
2 1 sin sin cos( ) cos( )
2 1 sin cos sin( ) sin( )
9) Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
Trang 2B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 2 Giải các phươn trình sau:
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0
3) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0
5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0
7) 2sin2x – cosx + 7
2 = 0 8) 2sin
2x – 7sinx + 3 = 0 9) 2sin2x + 5cosx = 5
Bài 3 Giải các phương trình:
1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – (3 + 2) = 0
6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0 7) 23 3cot 3
sin x = x+8) 4sin 22 6sin2 9 3cos2 0
Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - 3 cosx = 1
3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2
5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2 Giải các phương trình:
1) 3 cos3x+sin 3x= 2 2) 3sin3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x
3)cos7 cos5x x− 3 sin 2x = −1 sin 7 sin 5x x 4) cos7x− 3 sin 7x= − 25) 2 2(sinx+cos )cosx x= +3 cos 2x
Dạng 3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.
3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5
2.4) 3sin (32 ) 2sin(5 ) cos( )
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
Trang 3Dạng 4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) (2+ 2)(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 12) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 2 Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - sinxcosx = 1
6) (1+ 2)(sinx−cos ) 2sin cosx + x x= +1 2.7) sin 2 2 sin( ) 1
4
x+ x−π = .8) sinx−cosx +4sin 2x=1
9) 1 + tgx = 2 2sinx
10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2
11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0
Trang 4C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) sin3x = 1
2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1)2) cos2x = - 2
2 12) tan(3x + 2) + cot2x = 03) tan(x + 60o) = - 3 13) sin3x = cos4x
o x
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx
8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = 1
2
Bài 3 Giải các phương trình:
1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0
Trang 55) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0
Bài 5 Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2
3cos + 4sinx - 6
x
x
5) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0
6) cos7x - sin5x = 3 (cos5x - sin7x)
7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx
Bài 6 Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 03) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 07) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2 sin(x - 45o) = 1
9) 2sin2x + 3|sinx + cosx| + 8 = 0
10) (sinx - cosx)2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = 0
Bài 7 Giải các phương trình
1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 3) cos2x - sin2x - 3 sin2x = 1
4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0
5) 4sin2x + 3 3 sin2x - 2cos2x = 4
6) 2sin2x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos2x = 1
7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3
Bài 8 Giải các phương trình
1) 4cos2x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan2x + (1 - 3 )tanx - 3 = 03) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin22x - 2cos2x + 3
4 = 05) 2cos6x + tan3x = 1 6) 12
cos x + 3cot
2x = 5
Bài 9 Giải các phương trình
1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
Trang 64) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x
6) sin(4x + π
4)sin6x = sin(10x +
π
4)7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1
8) tan(2π
3 - x) + tan(
π
3 - x) + tan2x = 0Bài 10 Giải các phương trình
1) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin2x
2) sin4x - cos4x = cosx
3) 1 + 1πcos(x - ) = 1 - cotx
1 + cosx 2 4 2(1 + cotx)4) 1 - (2 + 2 )sinx = 2 22
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x
Bài 10 Giải các phương trình
1) sinx + cosx - sin2x
3 - 1 = 0 2) (1 + 2 )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2 ) = 03) tanx + tan2x = tan3x
Trang 7D MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1 Giải các phương trình
1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1
1612) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x13) sin2xcosx = 1
4 + cos
3xsinx14) sin6x + cos6x = cos4x
cos9x17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
18) 2sin3x - 1
sinx = 2cos3x +
1cosx19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2
420)
sin + cos x 1
= sin 2 2
x
x (tanx + cotx)
21) 1 + tanx = 2 2 sinx
22) cosx - sinx = 2 cos3x
23) 3 sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 2
24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x
25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
26) 2sin(3x +
4
1 + 8sin2xcos 2x
Trang 8Bài 2 Giải các phương trình
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0
4)
(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx
- tan xsinx = + tan x
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
6) cos6x + sin6x = 7
16
Bài 3 Giải các phương trình
1) cos2 + 3cot2x + sin4x = 2
Bài 4 Giải phương trình lượng giác
9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
Bài 5 Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích)
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x
9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0
10) sin3x - sinx = sin2x
Trang 913) cos4x
2 - sin
4x
2 = sin2x14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin3x + cos2x = sinx
16) sin2x + sin22x + sin23x = 3
217) cos3x + sin3x = sinx - cosx
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx)
26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6 Giải các phương trình
Bài 7 Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x
2) y = cosx + 2sinx + 3
2cosx - sinx + 4 trong khoảng ( -π ; π)3) y = 4sin2x + 2sin(2x + )π
44) y = sinx - cos2x + 1
2
Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới)
1) A_02 Giải phương trình: 5 sin + cos3x + sin3x
2) D_02 Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
3) A_03 Giải phương trình: cotx - 1 = cos2x
1 + tanx + sin
2x - 1
2sin2x4) D_03 Giải phương trình: sin2(x
Trang 107) D_05 Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - π
4sin2x
2 - 3 cos2x = 1 + 2cos2(x - 3π
4 )9) A_05_dự bị 2 Giải pt: 2 2 cos3( x - π
4) - 3cosx - sinx = 0 10) D_05_dự bị 1 Giải pt: tan(3π
2 - x) +
sin
1 cos
x x
11) D_05_dự bị 2 Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0
12) A_06_dự bị 1 Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 + 3 2
813) A_06_dự bị 2 Giải pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0
14) B_06_dự bị 1 Giải pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0
15) B_06_dự bị 2 Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
16) D_06_dự bị 1 Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
17) D_06 Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
18) A_07 Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x19) B_07 Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx
21) D_07 Giải phương trình: (sin2 x
+ = 4sin - x
3πsinx sin x - 4
Trang 11CHUYÊN ĐỀ 2 ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I) QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN:
Bài 1 : Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:
1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?
2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ?
Bài 2 : Có 4 con đường nối liền điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và
điểm C Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B Hỏi có baonhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường vềtrên cả hai chặng AB và BC?
Bài 3 : Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Lấy 3
miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số.Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu sốchẵn?
Bài 4 : Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu
số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
Bài 5 : Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó
có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen Hỏi người đó có baonhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu:
1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được
2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áotrắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen
II) HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP:
Bài 1: Có n người bạn ngồi quanh một bàn tròn (n > 3) Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp sao cho:
1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau
2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định
Bài 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư Để lập một tổ công tác cần
chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên Hỏi
có bao nhiêu cách lập tổ công tác
Bài 3: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ Lớp học có 10 bàn,
mỗi bàn có 5 ghế Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Các học sinh ngồi tuỳ ý
b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn
Bài 4: Với các số: 0, 1, 2, …, 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số
Bài 5: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất
3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2
Trang 12Bài 6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5
Bài 7 : Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ
ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý
2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn
Bài 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho
3 và gồm 5 chữ số khác nhau
Bài 9: Từ các chữ cái của câu: "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" có bao nhiêu
cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong từ đó chữ
"T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau và trong từ đó không có chữ
"Ê"
Bài 10: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử.
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A?
b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
Bài 11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6?
2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,
3, 4, 5, 6 nà các số đó nhỏ hơn số 345?
Bài 12 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi
trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnhnhau?
Bài 13 : Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong
đó có 4 cặp anh em sinh đôi Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên
đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôinào Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ
số khác nhau và không lớn hơn 789?
Bài 15: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bãy
chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ sốkhác có mặt đúng một lần
2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêucách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinhgiỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Bài 16: Số nguyên dương n được viết dưới dạng: n = 2α 3β 5γ 7δ
Trong đó α, β, γ, δ là các số tự nhiên
1) Hỏi số các ước số của n là bao nhiêu?
2) Áp dụng: Tính số các ước số của 35280
Trang 13III) TOÁN VỀ CÁC SỐ P n, A k n, C k n:
Bài 1: Giải bất phương trình:
3
4 1
3 1 14
1 P A
C n
n
P P
A
4
143 2
k n
k n
k n
k n
1 2
(1+x)9 +(1+x)10 + +(1+x)14 ta sẽ được đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + …+ A14x14
1
1 3
1 2
1 1
1 2
1
+
−
=+
+++
n
C n
n n
Trang 14Bài 11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
n
n n
n
n
C C
C
1
1 1 3
1 2
0
+
−+
−+
n
C
C
C
1
1 2
4
1 2 3
1 2 2
0
++++
+
Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10
1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x)
2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x)
Bài 13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: ( )n
x 2 +1 bằng 1024 hãy tìm
hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó
Bài 14: Trong khai triển nhị thức:
n x
4 3
3 2
1 1
n x x
n n
x n
x n
n x n
n x
x
C C
1 1 3
1 2
1 1
2
1 0
2
2
1
2 2
2 2
2 2
2
2
Biết rằng trong khai triển đó C 3 n =5 C 1 n và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x
Bài 18: Trong khai triển:
21 3
a Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng
nhau
Trang 15a Có bao nhiêu số như vậy
b Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1
Bài 4 Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số
khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4
Bài 5 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác
nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5
Bài 6 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau.
Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa
Bài 7 Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số
khác nhau
Bài 8
a Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt
b Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôimột khác nhau?
Bài 9 Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
Bài 10 Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công
tác gồm 6 người Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ?
Bài 11 Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao
nhiêu cách xếp 10 hoc sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứngliền nhau?
Bài 12 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chon ngẫu
nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu?
Bài 13 Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3
người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộlớp?
Bài 14 Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1 Có đúng 2 người nam trong 5 người đó
2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó
Bài 15 Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam Lập một
đoàn công tác cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý Hỏi có baonhiêu cách?