BDT on Vao Chuyen

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh: Giải: Đpcm (đúng) Bài tập áp dụng: 1.Cho a, b, c 1. Chứng minh 2. Cho a, b, c, d, e 1. Chứng minh 3.Cho Chứng minh Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng. Chứng minh: 1. (a m + b m )(a n + b n ) 2(a m+n + b m+n ) 2. a m b n + a n b m a m+n + b m+n Giải: Cả hai BĐT trên cùng tơng đơng với BĐT : (a n -b n )(a m -b m ) 0 (đúng) Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dơng. Chứng minh: 1) (a + b)(a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) 4(a 6 + b 6 ) 2) với mọi n nguyên dơng 3) 4) với abc =1 Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b) 2 +(b - c) 2 + (c - a) 2 0 (đúng). Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh: 1) a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c) 2) (ab + bc + ca) 2 3abc(a + b + c) 1 ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 0)1()( 2 abba abc cba + + + + + + 1 3 1 1 1 1 1 1 333 abcde edcba + + + + + + + + + + 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 55555 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 dcba abcd dcba 121 4 251 1 161 1 91 1 41 1 2222 + + + + + + + + 22 nn n baba + + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 1 555555 ++ + ++ + ++ acca ac bccb bc abba ab Bài tập tự luyện 1) Cho ab>0, c . Chứng minh: 2) Cho a, b, c dơng. Chứng minh: a) b) II. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 1. CMR: với mọi x 1 ,x 2 , ,x n dơng Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có và Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x 1 = x 2 = = x n . Bài tập áp dụng: 1) Với mọi a,b,c dơng, chứng minh: 2) Với mọi tam giác ABC, chứng minh: Chú ý : Ta xem ví dụ 1 nh một kết quả đợc áp dụng cho các ví dụ ở phần sau. Ví dụ 2: Cho a, b, c dơng. Chứng minh: 1) 2) Giải: 1) Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên. 2 3 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ++ + ++ + ++ 2 21 21 ) 1 11 )( ( n xxx xxx n n ++++++ n nn xxxnxxx 2121 +++ n nn xxx n xxx 11 11 2121 +++ cbacbacbacba 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 ++ ++ + ++ + ++ cbacpbpap 222111 ++ + + 2 3 + + + + + ba c ac b cb a 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + ( ) [ ] 2 3 2 9111 )()( 2 1 )1()1()1(3 + + + + + +++++= + + ++ + +++ + =+ VT accbba cacbba ba c ac b cb a VT ab 2222 bc bc ac ac + + + + 3 2 22 3 ba baba a ++ 2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta đợc Đpcm. Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể sử dụng kết quả của BĐT 1). Bài tập áp dụng : 1) Với mọi a, b, c dơng chứng minh: 2) Cho a, b, c dơng và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3) Với mọi tam giác ABC chứng minh Ví dụ 3: 1) Với mọi a, b, x, y dơng chứng minh 2) Với mọi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh Giải: 1) 2) Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y,z dơng và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có: 3 . 4 2 a cb cb a + + + cba bcac ab cbab ac caba bc 2 1 2 1 2 1 222222 ++ + + + + + bcac ab cbab ac caba bc 222222 + + + + + 2 3 33 3 33 3 33 3 + + + + + ba c ac b cb a 2 )())(( xyabybxa +++ 3 3 3 )())()(( xyzabczcybxa ++++ VPxyabxyaybxabxyb xayabVT =+=+++++= 2 )(2)( VPxyzabc xyzxyzabcxyzabcabcxyzcxybzxayzacybcxabzabcVT =+= ++++++++++= 3 3 3 3 2 3 2 )( )(3)(3)()( )1)(1)(1( zyxM +++= + + += 2 sin 1 1 2 sin 1 1 2 sin 1 1 CBA P 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + zyx 8 1 xyz Ta cũng có thêm 2BĐT tơng tự nh thế. Nhân vế với vế các BĐT đó và thu gọn ta đợc Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và Chứng minh Ví dụ 5 : Cho x, y dơng, . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : áp dụng Côsi ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5. Ví dụ 6 : Cho x, y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm min của Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của Ví dụ 7 : Cho x,y,z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh vậy. Công các BĐT đó lại ta đợc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minA = 6. 4 )1)(1( 2 111 1 1 1 1 1 1 1 zy yz z z y y zyx ++ + + + = + + + + 3 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + tzyx 81 1 xyzt 4 5 =+ yx yx S 4 14 += ( ) ( ) 525 4 14 425 4 11111 4 ++ ++++++++ S yx yx yxxxx yxxxx = = 4 1 1 y x 1 1 1 1 1 1 + + + + + = zyx P ( ) ( ) ( ) [ ] 4 9 3 9 9 1 1 1 1 1 1 111 = +++ + + + + + +++++ zyx P zyx zyx 3 1 === zyx 4 9 min =P 111 + + + + + = z z y y x x Q yx z xz y zy x A + + + + + = 333 x zy zy x 32 2 3 + + + + 6A Bài tập áp dụng : 1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 8 : Cho x, y, z dơng. Chứng minh: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: . Ta cũng có 2BĐT tơng tự nh thế. Cộng vế với vế các đẳng thức ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : 1) Cho x, y, z dơng và xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Cho x, y, z dơng và xy + yz + zx = xyz. Chứng minh : Ví dụ 9 : Cho x, y, z dơng và 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của Giải : áp dụng Côsi ta có : Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng các phân thức đó lại ta đợc A3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy maxA = 3. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn nhất của Ví dụ 10 : Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy Bài tập áp dụng : Cho x, y dơng và x + y 4. Chứng minh: 5 yx z xz y zy x B + + + + + = 444 yx z xz y zy x C + + + + + = 222 4))(())(())(( 333 zyx yzxz z xyzy y zxyx x ++ ++ + ++ + ++ 4 3 88))(( 3 xzx yx zxyx x + + + + ++ ))(())(())(( 333 yzxz z xyzy y zxyx x P ++ + ++ + ++ = 4 222 zyx xyz z zxy y yzx x ++ + + + + + 3 33 333 xzzyyxA +++++= 3 113 1.1).3(3 33 +++ +=+ yx yxyx 4 1 z y x === 4 44 444 xzzyyxB +++++= 4 + yx 2 32 2 4 43 y y x x M + + + = 2 9 2 4 4 . 4 . 2 .3 1 . 4 2 244 21 4 3 22 =++ + + +++ += yy y x x yxyy y x x A 2 9 min =A 18 106 32 +++ yx yx Ví dụ 11 : Cho x, y, z dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Cách 1 : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy Cách 2: Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?! Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất Ví dụ 12 : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24 Bài tập áp dụng 1) Cho x, y , z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh: Giải: Ta có . Ta cũng có 3 BĐT tơng tự nh vậy. Cộng các BĐT đó lại ta đợc Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh 1) 6 2 3 ++ zyx zyx zyxP 111 +++++= ( ) 2 15 2 9 4443 1 4 1 4 1 4 =++++ ++ ++ += zyx z z y y x xP 2 1 z y x === 2 15 minP = 2 15 2 3 .36.2)(3 9 )(4 9111 P =++ ++ +++= ++ ++++++++= zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx xy xyQ 1 += CBA CBAM sin 1 sin 1 sin 1 sinsinsin +++++= 333 zyxA ++= 24 72)(12.83.83.83)88()88()88(48 3 32 3 32 3 32333 =++=++++++++++=+ B zyxzyxzyxB 666 zyxB ++= 2 sin 2 sin 2 sin 666 CBA M ++= 33335 2 5 2 5 2 5 2 1111 dcbaa d d c c b b a ++++++ 335 2 3335 2 5 2 5 2 253511 abb a baab a b a b a ++++ 44447 3 7 3 7 3 7 3 1111 dcbaa d d c c b b a ++++++ 2) Ví dụ 14 : Cho x, y , z dơng tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Mặt khác : . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy Lời bình: Còn có thể tìm đợc 5 cách giải khác sử dụng BĐT Côsi. Mời bạn thử sức! Ví dụ 15 : Cho a, b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện a 2 +b 2 +c 2 +abc = 4. Chứng minh rằng a+ b + c 3. Giải: Cách 1: Đây là một BĐT có điều kiện. Một trong những phơng pháp xử lí những bài toán này là khử điều kiện ngay từ đầu. Coi điều kiện a 2 +b 2 +c 2 +abc = 4 nh ph- ơng trình bậc hai theo a, ta đợc Một cách tự nhiên, áp dụng BĐT Côsi cho căn thức trong biểu thức trên, ta có đánh giá Từ đó Cách 2: Đặt , ta có 4 = a 2 + b 2 + c 2 + abc = a 2 + 2t 2 + at 2 +(b 2 + c 2 - 2t 2 ) + a(bc - t 2 ) = Từ đây suy ra sẽ có đánh giá 7 aa ++=++ 222t a c b a ++ ++ += xy z z zx y y yz x xP 1 2 1 2 1 2 ++ ++ += ++ + ++ ++ + ++ = z z y y x x xyz zxyzxyzyx xyz zyxzyx P 1 2 1 2 1 222 222222222222 2 9 2 3 2 1 2 1 2 1 2 22 ++=+ P xx x x x 2 9 min =P 2 )4)(4( 22 cbbc a + = . 4 )(8 2 2 44 2 22 cb cb bc a + = + + 3 4 12 4 )2(12 4 )(4)(8 22 = + = +++ ++ cbcbcb cba 2 cb t + = 22 2 22 )2( 4 ))(2( 2 taa cba atta ++ +++ at 2 2 321)2.(1.2 =+++= aaaa 2222 3 5 3 5 3 5 3 5 dcba a d d c c b b a ++++++ Cách 3 : Từ điều kiện a 2 +b 2 +c 2 +abc = 4 ta suy ra . Từ đó áp dụng BĐT Côsi cho các số 2 a, 2 b, 2 c ta có Từ đó suy ra Cách 4 : Cũng do điều kiện đã gợi chúng ta đi đến phép thế lợng giác. Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA và b =2 cosB, c = 2 cosC, với A, B là các góc nhọn. Khi đó, tính c theo a, b, ta đợc Vậy c = 2cos C với . Nh thế điều kiện a 2 + b 2 + c 2 +abc = 4 đã đợc tham số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC với , A, B, C> 0. Yêu cầu của bài toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác: Đó là một lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức Bài tập áp dụng: Cho x, y, z dơng và x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1. Chứng minh Bài tập tự luyện 1) Cho x, y dơng. Chứng minh: 2) Cho x > y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3) Cho x, y, z dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4) Cho x, y không âm và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 8 (0;2) c b, a, (0;2) c b, a, =++ C B A ( ) 256 9 111 2 + ++ y x y x )( 1 yxxy xA += ++++++++= 222 3 33 3 33 3 33 2)(4)(4)(4 x z z y y x xzzyyxA 11 + + + = x y y x A .0)3612)(3( )6()44(27 )6()4)(2)(48(27 )6())(2)(48(27 )222()2)(2)(2(27 2 32 3222 3 3 ++ + ++++++++ +++++ ++ sss sss cbacbacabcabcba cbaabccabcabcba cbacba .3s ).cos(2)cos(2 2 sinsin4coscos4 2 )4)(4( 22 BABA BABA baab c =+= + = + = =++ C B A . 2 3 coscoscos ++= CBAP .2 3 2 1 2 sin2 2 3 2 sin21 2 sin2 2 sin21 2 cos 2 cos2 2 22 =++ =+ = CCCCBABA P 2 3 ++ zyx 5) Cho x, y dơng và x + y < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 6) Cho Chứng minh 7) Cho x, y dơng và x + y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a) A= x 2 y b) B = x 4 y 3 8) Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng 9) Cho a, b là các số dơng. Chứng minh rằng III. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia Nội dung: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 1: Cho x + y+ z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của a) A= x 2 + y 2 + z 2 b) B= x 4 + y 4 + z 4 c) C = x 8 + y 8 + z 8 Giải : a) 3A = 3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x + y+z) 2 = 1 . Đẳng thức xảy ra khi Vậy b) c) Ví dụ 2 : Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Ta có 9 yx yx y y x x A + +++ + = 1 11 22 10 xy 4 1 xyyx 2 22 3 22 3 22 3 cba ac c cb b ba a ++ + + + + + )(28)(7 22 22 baba a b b a ++++ ) )( () ( 22 1 22 1 2 11 nnnn bbaababa ++++++ n n a b a b == 1 1 3 1 A 3 1 z y x === 3 1 minA = 9 1 minB = 27 1 minC = 2 2 11 ++ += y y x xM 2 254 1 2 111 1 2 111 2 1 2 22 = + + ++= ++ + yxyxy y x xM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy Chú ý : Có thể chỉ sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT trên. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 3 : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc. Chứng minh: Giải: Ta có . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng các BĐT đó và sử dụng giả thiết ta đợc Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 4 : Cho a, b, c dơng. Chứng minh: Giải: Ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài tập áp dụng: 1) Cho a, b, c, p, q dơng. Chứng minh: 2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài tập tự luyện 1) Cho a, b, c dơng và a + b + c = 1. Chứng minh 10 2 1 == yx 2 25 min =M 222 222 111 zyx zyxM +++++= 3 222 222222 + + + + + ca ac bc cb ab ba ab ba ab baa ab ba 3 22 22222 + ++ = + ac ac bc cb ab ba P 222222 434343 + + + + + = 1 222 + + + + + ba c ac b cb a .1 )(3 )(3 )(3 )( ).(3 ) 2.( )2( 2 )( 2 2 2 = ++ ++ ++ ++ ++=+++ +++ + =++ acbcab cabcab acbcab cba VT cabcabVTacabVTcba cb a cba qpqbpa c qapc b qcpb a + + + + + + 3 yyxx yxz xxzz xzy zzyy zyx P 2 )( 2 )( 2 )( 222 + + + + + + + + = 6 +++++ accbba pcpbpapp 3 ++< [...]... khoảng Cách 2 : 1 0; 3 ta đợc f(x) 7 27 Do (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> 0 nên trong ba số 1-2x, 1-2y, 1-2z phải có ít nhất một số dơng Nếu cả ba số đó đều dơng, áp dụng BĐT Côsi ta có : 1 1 1 2( x + y + z ) + 4( xy + yz + zx) 8 xyz 27 27 7 xy + yz + zx 2 xyz 27 (1 2 x)(1 2 y )(1 2 z ) Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong các trờng hợp còn lại !? 11 Bài tập áp dụng : 1) Cho x, y, z không âm và... giá trị lớn nhất của A = Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1 + x y B = ( x 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + y 2 Giải: Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét các điểm M(-1+x;-y) và N(1+x;y) Ta có OM + ON MN ( x 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 4 + 4 y 2 = 2 1 + y 2 B 2 1 + y 2 + y 2 = f ( y ) Lập bảng biến thiên của f(y) ta đợc min B = 2 + 3 ( x; y ) = (0, Ví dụ 4: Cho a, b, c thuộc đoạn [1;2] Chứng... minh rằng:a 4 + b 4 + c 4 2(a 3 + b 3 + c 3 ) Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 và BĐT cần chứng minh có dạng (a 4 2a 3 ) + (b 4 2b 3 ) + (c 4 2c 3 ) 0 f (a) + f (b) + f (c) 0 Trong đó f(x) = x4 2x3 Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x = 2 là y=8x 16 Ta hy vọng có sự đánh giá: f(x)8x 16 vớix R 4 3 2 2 Ta có f ( x) (8 x 16) = x 2 x 8 x + 16 . (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> 0 nên trong ba số 1-2x, 1-2y, 1-2z phải có ít nhất một số dơng. Nếu cả ba số đó đều dơng, áp dụng BĐT Côsi ta có : Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong các trờng hợp còn lại !?. 11 (. = 4 nh ph- ơng trình bậc hai theo a, ta đợc Một cách tự nhiên, áp dụng BĐT Côsi cho căn thức trong biểu thức trên, ta có đánh giá Từ đó Cách 2: Đặt , ta có 4 = a 2 + b 2 + c 2 + abc = a 2. 2cosB, c= 2cosC với , A, B, C> 0. Yêu cầu của bài toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác: Đó là một lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức Bài tập áp dụng: Cho x, y, z dơng và