Quy trình thiết lập phương trình Lagrange lọai II ppsx

Thông thường ta xem cố thể là 2 chất điểm 2N bậc tự do được nối với nhau bởi 1 thanh không giãn 1 phương trình liên kết Phương trình liên kết chỉ ra mối quan hệ giữa các tọa độ suy rộng

Quy trình thiết lập phương trình Lagrange lọai II

Bước 1: xét tính chất của liên kết: hôlônôm, lý tưởng

Bước 2: xác định số bậc tự do của cơ hệ n ( bằng số tọa độ suy rộng ) và chọn tọa độ suy rộng

Bước 3: tính các lực suy rộng Qj hoặc thế năng V

Bước 4: Xác định biểu thức động năng của cơ hệ T

Bước 5: Tính các đạo hàm động năng, thế năng và hàm Lagrange

Bước 6: viết phương trình Lagrange lọai 2 và giải chúng

-Bước 1: Xét tính chất của liên kết: hôlônôm, lý tưởng (Giáo trình trang 161 -164)

Những bài tập chúng ta học hầu hết chỉ có 1, hoặc 2 bậc tự do, cơ hệ cô lập, không có ma sát tại trục, ròng rọc v.v… nên đều là liên kết hôlônôm, lý tưởng Chỉ những bài tóan lớn nhiều bậc tự do, vật chất biến dạng, không cô lập thì mới thấy rõ sự phi hôlônôm, không

lý tưởng

Bước 2: Xác định số bậc tự do của cơ hệ n ( bằng số tọa độ suy rộng ) và chọn tọa độ suy rộng (Giáo trình trang 178)

Chất điểm (vật nặng kích thước nhỏ) trong không gian N-chiều thì có N bậc tự do

Cố thể (ròng rọc, thanh, v.v…) trong không gian N-chiều thì có 2N -1 bậc tự do ( Thông thường ta xem cố thể là 2 chất điểm (2N bậc tự do) được nối với nhau bởi 1 thanh không giãn (1 phương trình liên kết))

Phương trình liên kết chỉ ra mối quan hệ giữa các tọa độ suy rộng nên nó làm giảm đi số bậc tự do Ta hay gặp nhưng phương trình liên kết cơ bản là: “ nối nhau bởi 1 thanh không giãn ”,”mắc qua 1 ròng rọc cố định”,” tiếp xúc bánh răng”, “lăn không trượt”,…

Cơ hệ có a chất điểm và b cố thể và m phương trình liên kết thì có a*N + b*(2N-1) - m bậc tự do

Thông thường bài toán yêu cầu tìm vận tốc, gia tốc của vật nào thì tọa độ không gian x,y,z hoặc góc phi tương ứng của nó sẽ là tọa độ suy rộng

Khi tìm ra các tọa độ suy rộng, ta phải chọn chiều dương của nó Có 2 cách chọn chiều dương Cách 1: chiều dương của tọa độ không gian là từ trái qua phải, chiều dương của góc là ngược chiều kim đồng hồ Cách 2: chiều dương là cùng chiều chuyển động Hoặc

có thể phối hợp cả 2 cách cho bài tóan Tuy nhiêu, khi bài toán có nhiều chất điểm, cố thể chuyển động ngược hướng, thì việc chọn chiều cũng đóng 1 vai trò quan trọng trong việc giải quyết

Chú ý: trong phương trình Lagrange, tọa độ suy rộng chỉ là tọa độ không gian x,y,z hoặc góc phi Tọa độ suy rộng không phải là vận tốc, gia tốc Nhưng trong phương trình Hamilton, tọa độ suy rộng có thể là vận tốc, động lượng v.v… Do phương trình

Lagrange vẫn còn giữ tính chất vật lý của cơ hệ, còn Hamilton chỉ quan tâm đến yếu tố toán học, tìm ra cách giải ngắn gọn đẹp mà quên đi ý nghĩa vật lý bản chất của cơ hệ Bước 3: tính các lực suy rộng Qj hoặc thế năng V.(Giáo trình trang 184)

Để tìm lực suy rộng, ta chỉ cần tính công của ngọai lực Ngọai lực là những lực do bên

tính trong phần thế năng trọng trường.

Công A của ngoại lực sẽ là 1 hàm theo các biến tọa độ suy rộng qj Ta chỉ cần tính đạo hàm riêng theo từng biến là có được các lực suy rộng

Chú ý: Công A = F.s = M.phi Trong đó: A(J), F(N),s(m),M(Nm),phi(rad) Trong vật lý hoặc cơ học, đôi khi có những công thức khó nhớ, ta có thể dùng đơn vị (thứ nguyên) của các đại lượng để suy ra công thức đúng

Thế năng: có 2 lọai thế năng là thế năng trọng trường (trọng lực) và thế năng đàn hồi (lực đàn hồi của lò xo)

Thế năng đàn hồi: rất đơn giản cho mọi trường hợp V=(kdl)/2 với k là độ cứng lò xo (N/ m), dl là dộ giãn dài của lò xo (m) so với vị trí không biến dạng Đôi lúc các bạn gặp lò

xo xoắn thì V=(kphi^2)/2 k vẫn là độ cứng nhưng đơn vị là Nm, phi là góc xoắn (rad) của lò xo so với vị trí ban đầu chưa xoắn

Thế năng trọng lực: V=mgh luôn đi kèm với một khái niệm là mốc (mức) thế năng để xác định giá trị âm hoặc dương của h (h là khỏang cách từ vật đến mức thế năng) Chính xác

là ta phải đưa vào 1 hệ trục tọa độ Oy (tọa độ 1 chiều thôi, không cần đến 2 chiều) để xác định giá trị h Tuy nhiên trong rất nhiều bài toán người ta không đề cập đến mức thế năng trọng trường, do thế năng trọng lực là hàm tuyến tính theo h, h lại tuyến tính theo tọa độ suy rộng và trong công thức Lagrang có đạo hàm bậc nhất thế năng theo tọa độ suy rộng nên mặc dù ta chọn 2 mức thế năng khác nhau thì ta vẫn ra cùng một kết quả (do đạo hàm của hằng số thì bằng 0)

Bước 4: Xác định biểu thức động năng của cơ hệ T: (Giáo trình trang 128)

Động năng có thể chia làm 2 loại: động năng tịnh tiến đặc trưng cho chuyển động tịnh tiến của chất điểm và động năng quay đặc trưng cho chuyển động quay của cố thể

Động năng tịnh tiến: Ttt = (mv^2)/2 m: khối lượng, v: vận tốc (còn gọi là vận tốc dài) Ttt(J),m(kg),v(m/s)

Theo định nghĩa, vận tốc là đạo hàm của tọa độ, nên ta ưu tiên tìm tọa độ của chất điểm

đó bằng phương trình chuyển động giả thuyết cho, phương trình liên kết, quan hệ so với

hệ trục tọa độ v.v… Sau đó chỉ việc đạo hàm theo thời gian

Động năng quay Tq = (Jw^2)/2 J:môment quán tính, w: vận tốc góc Tq(J),J

(kgm^2),w(rad/s) So sánh với động năng tịnh tiến: m ~ J; v ~ w

Công thức tính động năng quay thực chất là ta chia cố thể thành vô số chất điểm, khi đó chuyển động quay của cố thể chính là chuyển động tịnh tiến của các chất điểm này Ta chỉ cần tính động năng từng chất điểm rồi cộng lại Sự cộng này làm xuất hiện dấu tích phân trong công thức tính môment quán tính (giáo trình trang 120)

Khi một cố thể quay thì vận tốc dài tại từng điểm khác nhau nhưng vận tốc góc thì luôn luôn bằng nhau và là hằng số theo khối lượng, khỏang cách, nên w được đưa ra ngoài dấu tích phân Quan hệ giữa v và w: v=R.w với R là khoảng cách từ tâm quay đến điểm đang xét

Khi một cố thể không quay quanh trọng tâm của nó thì ta có thể tính theo 2 cách:

a) tính động năng quay quanh điểm bất kì đó

xem như khối tâm của cố thể tịnh tiến đồng thời cố thể quay quanh khối tâm Khi đó động năng gồm 2 phần là động năng tịnh tiến và động năng quay

Bước 5: Tính các đạo hàm động năng, thế năng và hàm Lagrange

biến Chú ý

Bước 6: viết phương trình Lagrange lọai 2 và giải chúng

Học thuộc công thức Lagrange + có kiến thức, kinh nghiệm về phương pháp giải phương trình vi phân là okie Các bạn năm 2 mới học lần đầu thì có thể chưa biết nhưng các bạn năm 3 năm 4 chắc hẳn là dễ dàng giải quyết phần này rồi

Được chỉnh sửa bởi vì em mà tôi như thế: 26 Tháng mười một 2007 - 03:35 PM

0

 Lên trên

 MultiQuote

 Trả lời

Thanked by 1

Member:

#2 Trung Duong



 math chicken



 Nhóm: Members

 Bài viết: 474

 Tham gia: 18-Tháng chín 06

 Thanked: 1

Đúng Cơ Học là thiên đường của toán học

Được chỉnh sửa bởi Trung Duong: 27 Tháng mười một 2007 - 03:26 PM

0

 Lên trên

 MultiQuote

 Trả lời

Thanked by 1

Member:

#3 vì em mà tôi như thế



 Thành viên cấp III



 Nhóm: Members

 Bài viết: 60

 Tham gia: 11-Tháng mười hai 06

 Thanked: 6

 Locationhôm qua

Đã gửi 28 Tháng mười một 2007 - 05:50 PM

Quan hệ vận tốc – quãng đường đi được giữa 2 vật lăn không trượt:

1 Khái niệm trượt – không trượt :

2 vật được gọi là trượt lên nhau nếu có chuyển động tương đối giữa 2 vật Chuyển động tương đối được hiểu là khoảng cách giữa 2 vật thay đổi (mà không quan tâm đến toạ độ tức thời của chúng.)

2 vật không trượt lên nhau thì khoảng cách giữa chúng tại mọi thời điểm không đổi Nghĩa là tại mọi thời điểm chúng sẽ có cùng vectơ vận tốc, trong 1 cùng khoảng thời gian thì chúng di chuyển được cùng 1 đoạn đường

Hình (a) : vật ở trên có sự thay đổi vị trí so với vật ở dưới (ban đầu nằm bên trái, lúc sau chuyển sang gần phải), nên 2 vật được gọi là trượt lên nhau 2 vật đi được quãng đường khác nhau so với cột mốc

Hình ( : vật ở trên không có sự thay đổi vị trí so với vật ở dưới (ban đầu và lúc sau đều nằm bên trái), nên 2 vật được gọi là không trượt lên nhau 2 vật đi được quãng đường bằng nhau so với cột mốc

2 Khái niệm lăn không trượt:

Khái niệm này ban đầu gắn liền với hình ảnh 1 bánh xe lăn trên mặt đường cố định Sau này được mở rộng thành bánh xe lăn trên một mặt phẳng di động hoặc 2 bánh xe vừa tựa lên nhau vừa lăn

a) Trước hết ta khảo sát chuyển độ lăn không trượt của bánh xe đối với mặt đường cố định:

Một bánh xe khi lăn thì sẽ có 2 chuyển động Thứ nhất là chuyển động tịnh tiến của khối tâm, thứ 2 là chuyển động quay quanh tâm Chuyển động thực sự của bánh xe sẽ là tổng của 2 chuyển động này Chú ý là khi ta giải 1 bài toán, ta thường tìm vận tốc ( chuyển động ) tại một điểm nằm trên bánh xe chứ không phải của cả bánh xe

Thu nhỏ từ 99% (was 727 x 629) - Click vào hình để xem kích thước thật

Thu nhỏ từ 99% (was 727 x 15) - Click vào hình để xem kích thước thật

Thu nhỏ từ 77% (was 938 x 819) - Click vào hình để xem kích thước thật

Trong các ví dụ trên tôi chỉ đề cập đến vận tốc mà không nói đến toạ độ Nếu các bạn muốn thì có thể sửa chữ vận tốc thành chuyển động, khi đó các bạn sẽ có phương trình liên kết dựa trên toạ độ chứ không phải trên vận tốc Tôi có thói quen tính luôn trên vận tốc để thay vào tìm động năng cho nhanh, khỏi phải mất công đạo hàm