Cực trị trong KG

Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Một số dạng toán thường gặp 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P). Phương pháp: - Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với mp(P). - Tọa độ giao điểm H của (d) và mp(P) chính là tọa độ hình chiếu vuông góc của M. Ví dụ 1. Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Xác định tọa độ của hình chiếu vuông góc của A, B trên mp(P). (Tìm điểm M trên (P) sao cho MA ngắn nhất; MB ngắn nhất) HD. 2. Tìm tọa độ điểm đối xứng M’ với điểm M qua mp(P). Phương pháp: - Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên (P). - Tìm điểm M’ sao cho H là trung điểm MM’. Ví dụ 2. Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Xác định tọa độ điểm đối xứng với A, B qua mp(P). (Tìm điểm M trên (P) sao cho MA ngắn nhất; MB ngắn nhất) HD. 3. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng (d). Phương pháp: - Viết phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với (d). - Tọa độ giao điểm H của (d) và mp(P) chính là tọa độ hình chiếu vuông góc của M. Ví dụ 3. Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1 2 3 2 − + + = = − Xác định hình chiếu vuông góc của A, B trên đt(d). HD. H M (P) d M' H M (P) d H M (P) d Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. 4. Tìm tọa độ điểm đối xứng M’ với điểm M qua đường thẳng (d). Phương pháp: - Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên (d). - Tìm điểm M’ sao cho H là trung điểm MM’. Ví dụ 4. Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1 2 3 2 − + + = = − Xác định điểm đối xứng với A, B qua đt(d). HD. 5.Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho 2 2 min MA MB+ Phương pháp: Cách 1. - Gọi I là trung điểm AB. Khi đó ta có: 2 2 2 2 AB MA MB 2MI 2 + = + - 2 2 min min MA MB MI M+ ⇔ ⇔ là hình chiếu vuông góc của I trên (d). Cách 2. - Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số. Viết tọa độ của M phụ thuộc tham số t. - Tính 2 2 MA MB f(t)+ = theo tham số t. Ta thu được hàm bậc 2 với tham số t. - Đánh giá hàm f(t) tìm ra GTNN. Ví dụ 5. Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1 2 3 2 − + + = = − Tìm điểm M trên đt(d) sao cho 2 2 min MA MB+ HD. 6. Cho ba điểm A, B, C và đường thẳng (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho 2 2 2 min MA MB MC+ + Phương pháp: Cách 1. - Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 MA MB MC 3MG GA GB GC+ + = + + + - 2 2 min min MA MB MG M+ ⇔ ⇔ là hình chiếu vuông góc của G trên (d). Cách 2. - Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số. Viết tọa độ của M phụ thuộc tham số t. H M M' (P) d M I B A d M (d) G C B A Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. - Tính 2 2 MA MB f(t)+ = theo tham số t. Ta thu được hàm bậc 2 với tham số t. - Đánh giá hàm f(t) tìm ra GTNN. Tổng quát. Với n điểm 1 2 n A ,A , ,A ta làm tương tự như mục 5 và 6. Ví dụ 6. Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2), C(0, -2,-1) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1 2 3 2 − + + = = − Tìm điểm M trên đt(d) sao cho 2 2 2 min MA MB MC+ + HD. 7. Cho hai điểm A, B và mp(P). Tìm điểm M trên mp(P) sao cho 2 2 min MA MB+ Phương pháp: - Gọi I là trung điểm AB. Khi đó ta có: 2 2 2 2 AB MA MB 2MI 2 + = + - 2 2 min min MA MB MI M+ ⇔ ⇔ là hình chiếu vuông góc của I trên (d). Ví dụ 7. Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Tìm điểm M trên mp(P) sao cho 2 2 min MA MB+ HD. 8. Cho ba điểm A, B, C và mp(P). Tìm điểm M trên mp(P) sao cho 2 2 2 min MA MB MC+ + Phương pháp: - Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 MA MB MC 3MG GA GB GC+ + = + + + - 2 2 min min MA MB MG M+ ⇔ ⇔ là hình chiếu vuông góc của G trên mp(P). Tổng quát. Với n điểm 1 2 n A ,A , ,A ta làm tương tự như mục 7 và 8. Ví dụ 8. Cho ba điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1), C(0, 2, 3) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Tìm điểm M trên mp(P) sao cho 2 2 2 min MA MB MC+ + HD. 9. Cho hai điểm A, B và mp(P). Tìm điểm M trên mp(P) sao cho min MA MB+ Phương pháp: Dạng 1. Khi A và B nằm cùng phía so với mp(P). - Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). - MB=MB’ ⇒ min MA MB+ ⇔ min MA MB'+ ⇔ M = AB’∩ (P). M (P) G C B A I M ( P) B A H M B' B A (P) Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. - Lập phương trình đt AB’ - Giao điểm của AB’ với (P) là điểm M cần tìm. Ví dụ 9. Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Tìm điểm M trên mp(P) sao cho min MA MB+ HD. Dạng 2. Khi A và B nằm về hai phía của mp(P). - Gọi I = AB∩ (P). - Khi đó MA+MB ≥ AI + IB=AB. Vậy min MA MB+ ⇔ M= AB∩ (P) Ví dụ 10. Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, 4, -1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Tìm điểm M trên mp(P) sao cho min MA MB+ HD. 10. Cho hai điểm A, B và mp(P). Tìm điểm M trên mp(P) sao cho max MA MB− Phương pháp: Dạng 1. Khi A và B nằm cùng phía so với mp(P). *)Gọi I= AB∩ (P). Khi đó MA MB AB IA IB− ≤ = − max MA MB M AB (P).− ⇔ = ∩ - Viết phương trình đt(AB). - Tọa độ giao điểm của (AB) và (P) là điểm M cần tìm. Ví dụ 11. Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Tìm điểm M trên mp(P) sao cho max MA MB− HD. Dạng 2. Khi A và B nằm về hai phía của mp(P). *) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P) Khi đó A, B’ cùng phía với (P) và MA MB MA MB'− = − max MA MB M AB' (P).− ⇔ = ∩ - Tìm tọa độ B’ đối xứng với B qua (P). - Viết phương trình đt(AB’) - Tọa độ giao điểm của (AB’) và (P) là điểm M cần tìm. H M B B' A (P) I M B A (P) I M B A (P) Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. Ví dụ 12. Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, 4, -1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0. Tìm điểm M trên mp(P) sao cho max MA MB− HD. 11. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho min MA MB+ Phương pháp:Chỉ xét trường hợp đơn giản hơn, đó là khi A,B và (d) đồng phẳng. Dạng 1. Khi A và B nằm về hai phía của đt(d). - Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm I của AB và (d). - Tọa độ giao điểm I thỏa mãn Ví dụ 13. Cho hai điểm A(0, 0,1), B(2,2,2) và đường thẳng (d): x 1 y 1 z 2 1 0 1 − − − = = − a. Chứng minh A, B và (d) cùng nằm trên một mặt phẳng, đồng thời A, B nằm khác phía so với (d). b. Tìm điểm M trên (d) sao cho min MA MB+ HD. a. A, B, d cùng nằm trên mp(P): x -2y + z -1 = 0 AB cắt (d) tại I(1, 1, 2), I nằm giữa A và B. b. M = I(1, 1, 2) thỏa mãn. Dạng 2. Khi A và B nằm cùng phía so với đt(d). - Viết phương trình đoạn Ví dụ 14. Cho hai điểm A(0, 0,1), B(-3, -3, -2) và đường thẳng (d): x 1 y 1 z 2 1 0 1 − − − = = − a. Chứng minh A, B và (d) cùng nằm trên một mặt phẳng, đồng thời A, B nằm cùng phía so với (d). b. Tìm điểm M trên (d) sao cho min MA MB+ HD. 12. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm M trên (d) sao cho min | MA kMB |+ uuuur uuur Ví dụ 15. Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1 2 3 2 − + + = = − Tìm điểm M trên đt(d) sao cho min | MA 2MB|+ uuuur uuur HD. M(2 2t, 1 3t, 2 2t)+ − + − − Ví dụ 16. Cho ba điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2), C(1, 2, 2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1 2 3 2 − + + = = − Tìm điểm M trên đt(d) sao cho min | MA MB MC|+ + uuuur uuur uuur HD. 13. Cho mp(P) và mặt cầu (S).Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (P)) đạt GTLN, GTNN. Phương pháp: Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. Dạng 1: Tìm GTLN. - Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (P). - Tìm giao điểm A, B của (S) với (d). Giả sử d(A,(P)) d(B,(P)).≥ - Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).≥ ≥ max d(M,(P)) d(A,(P)) M A.⇒ = ⇔ ≡ Dạng 2: Tìm GTNN. Xét hai trường hợp sau TH1. Khi (S) và (P) không có điểm chung. - Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).≥ ≥ min d(M,(P)) d(B,(P)) M B.⇒ = ⇔ ≡ TH2. Khi (S) và (P) có điểm chung (1 điểm hoặc đường trong chung). - Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) 0.≥ ≥ min d(M,(P)) 0 M⇒ = ⇔ là điểm chung của (P) và (S). Ví dụ 17. Cho mặt cầu 2 2 2 (S) : x y z 2x 2y 2z 1 0.+ + − − − − = Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (P)) đạt GTLN, GTNN. 1. (P) : x 2y 2z 4 0.+ + + = 2. (P) :3x 4y 9 0.− − = 3. (P) : 2x 2y z 2 0.− − − = HD. (S) có tâm I(1; 1; 1), bán kính R = 2. 1. Ta có: d(M,(P)) 3 R 2 (P) (S) .= > = ⇒ ∩ = ∅ - Đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P) có pt: x 1 t y 1 2t,t . z 1 2t = +   = + ∈   = +  ¡ - Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là: 5 7 7 1 1 1 A( ; ; ), B( ; ; ). 3 3 3 3 3 3 − − - Ta có: d(A,(P)) 5 d(B,(P)) 1.= ≥ = d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).⇒ ≥ ≥ Vậy: min d(M,(P)) 1 M B.⇒ = ⇔ ≡ max d(M,(P)) 5 M A.⇒ = ⇔ ≡ 2. Ta có: { } d(M,(P)) 2 R 2 (P) (S) H .= = = ⇒ ∩ = - Đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P) có pt: x 1 3t y 1 4t,t . z 1 = +   = − ∈   =  ¡ - Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là: 11 3 1 13 A( ; ;1), B( ; ;1). 5 5 5 5 − − - Ta có: d(A,(P)) 1 d(B,(P)) 0.= ≥ = d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).⇒ ≥ ≥ Vậy: min d(M,(P)) 0 M B.⇒ = ⇔ ≡ max d(M,(P)) 1 M A.⇒ = ⇔ ≡ 3. Ta có: d(M,(P)) 1 R 2 (P) (S) (C).= < = ⇒ ∩ = - Đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P) có pt: x 1 2t y 1 2t ,t . z 1 t = +   = − ∈   = −  ¡ Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. - Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là: 1 7 5 7 1 1 A( ; ; ), B( ; ; ). 3 3 3 3 3 3 − − - Ta có: d(A,(P)) 3 d(B,(P)) 1.= ≥ = d(A,(P)) d(M,(P)) 0.⇒ ≥ ≥ Vậy: min d(M,(P)) 0 M (C).⇒ = ⇔ ∈ max d(M,(P)) 3 M A.⇒ = ⇔ ≡ Ví dụ 18. Cho mặt cầu 2 2 2 (S) : x y z 2x 2y 2z 6 0.+ + − − − − = Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (P)) đạt GTLN, GTNN. 1. (P) : x 2y 2z 4 0.+ + + = 2. (P) :3x 4y 9 0.− − = 3. (P) : 2x 2y z 9 0.+ − + = HD. 1. 2. 3. 14. Cho đt(d) và mặt cầu (S).Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN. Phương pháp: Dạng 1: Tìm GTLN. - Lập phương trình đường thẳng (d 1 ) đi qua tâm I của (S) và đi qua hình chiếu vuông góc H của I trên (d). - Tìm giao điểm A, B của (S) với (d 1 ). Giả sử d(A,(P)) d(B,(P)).≥ - Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).≥ ≥ max d(M,(P)) d(A,(P)) M A.⇒ = ⇔ ≡ Dạng 2: Tìm GTNN. Xét hai trường hợp sau TH1. Khi (S) và (d) không có điểm chung. - Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).≥ ≥ min d(M,(P)) d(B,(P)) M B.⇒ = ⇔ ≡ TH2. Khi (S) và (d) có điểm chung (1 điểm hoặc 2 điểm chung). - Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) 0.≥ ≥ min d(M,(P)) 0 M⇒ = ⇔ là điểm chung của (d) và (S). Ví dụ 19. Cho mặt cầu 2 2 2 (S) : x y z 2x 4y 2z 5 0.+ + − − + + = Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN. 1. x 1 t (d) : y t z 1 = −   =   = −  2. x y z 3 0 (d) : y z 1 0 + + − =   + − =  3. x 1 t (d) : y 2 t z 1/ 2 = +   = −   = −  HD. (S) có tâm I(1; 2; -1), R = 1. 1. Ta có: d(M,(d)) 2 R 1 (d) (S) .= > = ⇒ ∩ = ∅ Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d). ⇒H(0; 1; -1). - Đường thẳng (d 1 ) đi qua I và H có pt: x t y 1 t,t . z 1 =   = + ∈   = −  ¡ Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. - Tọa độ giao điểm của (d 1 ) và (S) là: 1 1 1 1 A(1 ;2 ; 1), B(1 ;2 ; 1). 2 2 2 2 + + − − − − - Ta có: d(A,(d)) AH 2 1 d(B,(P)) BH 2 1.= = + ≥ = = − d(A,(d)) d(M,(d)) d(B,(d)).⇒ ≥ ≥ Vậy: min d(M,(d)) 2 1 M B.⇒ = − ⇔ ≡ max d(M,(d)) 2 1 M A.⇒ = + ⇔ ≡ 2. Ta có: d(M,(d)) 1 R 1 (d) (S) H(2;2; 1).= > = ⇒ ∩ = − Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d). ⇒H(2; 2; -1). - Đường thẳng (d 1 ) đi qua I và H có pt: x 1 t y 2 ,t . z 1 = +   = ∈   = −  ¡ - Tọa độ giao điểm của (d 1 ) và (S) là: A(0;2; 1), B H(2;2; 1).− ≡ − - Ta có: d(A,(d)) AH 2 d(B,(P)) BH 0.= = ≥ = = d(A,(d)) 2 d(M,(d)) d(B,(d)) 0.⇒ = ≥ ≥ = Vậy: min d(M,(d)) 0 M H(2;2; 1).⇒ = ⇔ ≡ − max d(M,(d)) 2 M A(0;2; 1).⇒ = ⇔ ≡ − 3. Ta có: 3 3 1 3 3 1 d(M,(d)) 1/ 2 R 1 (d) (S) M(1 ;2 ; ),N(1 ;2 ; ) . 8 8 2 8 8 2     = < = ⇒ ∩ = + − − − + −       Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d). ⇒H(1; 2; -1/2). - Đường thẳng (d 1 ) đi qua I và H có pt: x 1 y 2 ,t . z 1 t =   = ∈   = − +  ¡ - Tọa độ giao điểm của (d 1 ) và (S) là: A(1;2; 1), B(1;2;0).− - Ta có: d(A,(d)) AH 3 / 2 d(B,(P)) BH 1/ 2.= = ≥ = = d(A,(d)) d(M,(d)) d(B,(d)).⇒ ≥ ≥ Vậy: min d(M,(d)) 1/ 2 M B.⇒ = ⇔ ≡ max d(M,(d)) 3 / 2 M A.⇒ = ⇔ ≡ Ví dụ 20. Cho mặt cầu 2 2 2 (S) : x y z 2x 4y 2z 2 0.+ + − − + + = Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN. 1. x t (d) : y 2t ,t . z 1 2t =   = ∈   = −  ¡ 2. x y z 3 0 (d) : y z 1 0 + + − =   + − =  3. x 1 (d) : y 2 ,t . z 1 t =   = ∈   = −  ¡ HD. 1. 2. Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. 3. Ví dụ 21. Cho mặt cầu 2 2 2 (S) : x y z 2x 4y 2z 2 0.+ + − − + + = Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (P)) đạt GTLN, GTNN. 1. (P) : x 2y 2z 4 0.+ + + = 2. (P) :3x 4y 9 0.− − = 3. (P) : 2x 2y z 9 0.+ − + = HD. 1. 2. 3. Ví dụ 22. Cho A(1;0; 1), B(2; 0; 0) và mp(P): x –2y + z –1 = 0. Tìm điểm M trên (P) sao cho: 1. min MA MB+ 2. min | MA 2MB|+ uuuur uuur 3. max MA MB− HD. 1. 2. 3. Ví dụ 23. Cho A(1;0; 1), B(0; 2; 0) và mp(P): x –2y + z –1 = 0. Tìm điểm M trên (P) sao cho: 1. min MA MB+ 2. min | MA 2MB|+ uuuur uuur 3. max MA MB− DH. 1. 2. 3. 15. Cho điểm 0 0 0 0 0 0 M(x ;y ,z ) O(0;0); x ,y ,z 0.≠ > Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua M và cắt Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) phân biệt (a, b, c>0) sao cho: 1. Thể tích khối chóp OABC nhỏ nhất. 2. OA + OB+ OC ngắn nhất. 3. d(M; (P)) lớn nhất. 4. 2 2 2 1 1 1 OA OB OC + + nhỏ nhất. Phương pháp. – (P) có dạng: 0 0 0 x y z x y z 1 1 (1). a b c a b c + + = ⇒ + + = 1. 1 V(OABc) abc. 6 = Áp dung BĐT Côsi: 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 x y z x y z 1 3 . . abc 27x y z a b c a b c = + + ≥ ⇒ ≥ 2. Từ (1) ta thế a theo b. Khảo sat hàm theo biến b, từ đó tìm GTNN. 3. Có max d(M,(P)) OM d(M,(P)) OM≤ ⇒ = khi M là hình chiếu vuông góc của O trên (d 1 ). OM⇒ uuuur là vtpt của (P). 4. Có: 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 x y z 1 1 1 1 ( )(x y z ) ( ) 1 ( ) a b c a b c a b c (x y z ) + + + + ≥ + + = ⇒ + + ≥ + + Ví dụ 13. Cho điểm M(1; 4;9). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0),B(0; b;0)) và C(0; 0; c) phân biệt (a, b, c >0) sao cho: 1. Thể tích khối chóp OABC nhỏ nhất. 3. d(M; (P) lớn nhất. 2. 2 2 2 1 1 1 OA OB OC + + nhỏ nhất. HD. 16. Cho mặt cầu 2 2 2 2 (C) : (x a) (y b) (z c) R− + − + − = và điểm M nằm bên trong mặt cầu. Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và Cắt (S) theo một đường tròn (C) thỏa mãn: 1. Bán kính r nhỏ nhất. 2. d(I, (P)) lớn nhất. Phương pháp. Gọi H la hình chiếu vuông góc của tâm I trên (d), khi đó: d(I, (d)) = IH ≤ IM. Đồng thời có: 2 2 min max r R IH r IH IM= − ⇒ ⇔ = Vậy cả hai trường hợp đều xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ví dụ 11. Cho mặt cầu 2 2 1 (S) :(x 1) (y 2) (z 1) 4− + − + − = và điểm M( 2; 3; 0). 1. CMR đường thẳng (P) bất kỳ đi qua M luôn cắt (S) theo một đường tròn (C). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho bán kính của (C) nhỏ nhất. 3. Viết phương trình (P) sao cho d(I, (P)) lớn nhất. HD. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv . Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Một số dạng toán thường gặp 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên. d(B,(P)).≥ ≥ min d(M,(P)) d(B,(P)) M B.⇒ = ⇔ ≡ TH2. Khi (S) và (P) có điểm chung (1 điểm hoặc đường trong chung). - Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) 0.≥ ≥ min d(M,(P)) 0 M⇒ = ⇔ là điểm chung. nhỏ nhất. HD. 16. Cho mặt cầu 2 2 2 2 (C) : (x a) (y b) (z c) R− + − + − = và điểm M nằm bên trong mặt cầu. Nguy ễn Minh H ải- THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH. Viết phương trình mặt phẳng (P)