Ðề thi va ÐA HSG T8

Phòng gd – đt Lập Thạch Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 (vòng I) Môn: Toán Năm học 2009 – 2010 Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 3 1 ( )( ) ( ) 4 4 3 1 ( )(1 ) x y y x y y A x y x y y + + + + + = + + − − a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ? Câu 2: a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho 192 b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1) 2 + x(x+1) 2 = 8xy Câu 3: a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 3 +b 3 + c 3 – 3abc b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn: 1 1 1 0x y z x y z + + = + + = Chứng minh rằng 6 6 6 3 3 3 x y z xyz x y z + + = + + Câu 4: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. N là trung điểm của AM a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh. b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng quy. Câu 5: M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD. Đặt S MAB =S 1 , S MCD = S 2 , S ABCD = S. Chứng minh rằng: 2 1 2 1 . 16 S S S≤ ĐÁP ÁN Câu 1: Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 3 1 ( )( ) ( ) 4 4 3 1 ( )(1 ) x y y x y y A x y x y y + + + + + = + + − − a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x 2 2 2 2 2 2 1 3 1 ( )( ) ( ) 4 4 3 1 ( )(1 ) x y y x y y A x y x y y + + + + + = + + − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1 ( )( ) ( ) 4 4 3 4 4 4 4 1 ( )(1 ) 1 x y y x y y x y x y y x y y x y x y y x y x x y y y + + + + + + + + + + + = + + − − + + − − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 4 4 ( ) (1 ) x y x x y y y x y x x y y y + + + + + + − + − + = 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 4 4 ( 1 ) (1 ) x y y y y x y y y y + + + + + + − + − + = 2 2 2 2 1 ( 1)( ) 4 ( 1)(1 ) x y y x y y + + + + − + = 2 2 1 ( ) 4 (1 ) y y y y + + − + Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào x. b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ? A = 2 2 1 ( ) 4 (1 ) y y y y + + − + = 2 2 1 ( ) 2 1 3 ( ) 2 4 y y + + + Có tử số ≥ 0, mãu số dương. A ≥ 0. A nhỏ nhất khi A= 0. Khi đó 1 2 y = − Câu 2: a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho 192 Vì a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên đặt a = m 2 , b = n 2 (m,n lẻ), Giả sử a>b thì m +1 = n – 1, n +1 = m + 3. 192 = 2 6 .3 Ta xét A = ab – a – b + 1 = (a - 1)(b -1) = (m - 1)(m + 1) 2 (m + 3) Vì m lẻ, đặt m = 2k + 1 ta có: A = 2k.(2k+2) 2 (2k+4) = 2 4 .k(k+1) 2 (k+2) Vì k(k+1)(k+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. Nếu k chẵn ⇒ k + 2 chẵn ⇒ k (k+2) M 4 ⇒ A M 192 Nếu k lẻ ⇒ k + 1 chẵn ⇒ (k+1) 2 M 4 ⇒ A M 192 Vậy A = ab – a – b + 1 luôn chia hết cho 192 b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1) 2 + x(x+1) 2 = 8xy Cách 1: (x + 1) 2 ≥ 4x; (y + 1) 2 ≥ 4y. Do đó y(y+1) 2 + x(x+1) 2 ≥ 4x 2 + 4y 2 ⇒ 8xy ≥ 4x 2 + 4y 2 ⇒ 2xy ≥ x 2 + y 2 ⇒ (x - y) 2 ≤ 0 ⇒ x = y Thay x = y vào biểu thức y(y+1) 2 + x(x+1) 2 = 8xy ta có 2 x(x+1) 2 = 8x 2 ⇒ (x+1) 2 = 4x ⇒ (x-1) 2 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ x= y = 1. Câu 3: a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 3 +b 3 + c 3 – 3abc a 3 +b 3 + c 3 – 3abc = (a + b) 3 – 3ab(a + b) + c 3 – 3abc = (a + b + c)[(a + b) 2 - (a + b)c + c 2 ] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac - bc) b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn: 1 1 1 0x y z x y z + + = + + = Chứng minh rằng 6 6 6 3 3 3 x y z xyz x y z + + = + + Giải: Theo câu a ta có x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y 2 + x 2 – xy – yz - xz). Vì x + y + z = 0 nên x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz Vì 1 1 1 0 x y z + + = ⇒ xy + yz + zx =0 x + y + z = 0 ⇔ (x + y + z) 2 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + x 2 + 2(xy + yz + xz) =0 ⇔ x 2 + y 2 + x 2 = 0 ⇒ x 2 + y 2 + x 2 = 3x 2 y 2 z 2 ⇒ 6 6 6 2 2 2 3 3 3 3x y z 3xyz x y z xyz x y z + + = = + + Câu 4: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. N là trung điểm của AM a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh. b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng quy. Giải: a/ + ΔAFM là tam giác vuông tại F nên FN = ½.AM ΔAEM là tam giác vuông tại E nên EN = ½.AM Do đó EN = FN.(1) Ta sẽ chứng minh ΔFNH, ΔENH đều Thật vậy: Xét góc ngoài ΔANF có ∠ FNM = 2 ∠ FAM M H F E C B A N Tương tự ∠ MNH = 2 ∠ MAH. Do đó ∠ FNH = 2 ∠ FAH = 60 0 suy ra ΔFNH đều suy ra FN = FH (2) Tương tự ΔENH đều suy ra EN = EH (3). Từ (1), (2), (3) suy ra FNEH là hình thoi. Câu 5: M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD. Đặt S MAB =S 1 , S MCD = S 2 , S ABCD = S. Chứng minh rằng: 2 1 2 1 . 16 S S S≤ Giải: Ta có: S 1 = ½.MP.AB S 2 = ½.MQ.CD = ½.MQ.AB S 1 .S 2 = ¼.AB 2 .MP.MQ Lại có PQ 2 = (MP + MQ) 2 ≥ 4MP.MQ ⇒ MP.MQ ≤ 1/4. PQ 2 ⇒ S 1 .S 2 ≤ 1/16.AB 2 .PQ 2 = 1/16.S 2 D C B A M Q P . Phòng gd – đt Lập Thạch Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 (vòng I) Môn: Toán Năm học 2009 – 2010 Thời gian 150 phút(Không