bất đẳng thức becnuli [môn toán] bất đẳng thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x. Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau: với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0. Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng. Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần chứng minh: Thật vậy, (vì theo giả thiết ) (v ì ) => Bất đẳng thức đúng với r=k+1. Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì với r ≤ 0 or r ≥ 1, và với 0 ≤ r ≤ 1. Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm. Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên. Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có với e = 2.718 Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e. Bất đẳng thức Bernoulli Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x. Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau: với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0. Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng. Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần chứng minh: Thật vậy, (vì theo giả thiết ) (v ì ) => Bất đẳng thức đúng với r=k+1. Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì với r ≤ 0 or r ≥ 1, và với 0 ≤ r ≤ 1. Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm. Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên. Bất đẳng thức cộng Chebyshev Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho và thì Tương tự, nếu và thì [sửa]Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức hoán vị. Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau và Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên. Cộng vế theo vế, ta có: chia cả hai vế cho n 2 , ta nhận được: (điều phải chứng minh) Bất đẳng thức Holder Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Holder, đặt theo tên của nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L p : giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc L p (S) và g thuộc L q (S). Khi đó fg thuộc L 1 (S) và Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau. Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian L p , bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh L p là đối ngẫu với L q . [sửa]Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1, ,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, ytrong R n (C n ) Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder cho các dãy từ không gian lp . Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có Trong trường hợp không gian xác suất , là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với momentphữu hạn, , trong đó là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành . [sửa]Trường hợp tổng quát Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp Giả sử sao cho Giả sử . Khi đó ta có và Bất đẳng thức Minkows Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các không gian L p là các không gian vector định chuẩn. Giả sử S là một không gian đo, giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, đồng thời f và g là các phần tử của L p (S). Khi đó f + g cũng thuộc L p (S), và chúng ta có dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi f và g phụ thuộc tuyến tính. Bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác trong L p (S). Có thể chứng minh nó bằng cách dùng bất đẳng thức Holder. Cũng như bất đẳng thức Holder, có thể đưa bất đẳng thức Minkowski về các trường hợp đặc biệt cho các dãy và cácvector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được: với mọi số thực (hay số phức) x 1 , , x n , y 1 , , y n và n là số chiều của S.