C4 DS BATDANGTHUC BATPHUONGTRINH

NGUYỄN BẢO VƯƠNG TOÁN 10 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM BẤT ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Cho a , b hai số thực Các mệnh đề " a b ", " a b ", " a b ", " a b " đƣợc gọi bất đẳng thức  Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng)  Với A, B mệnh đề biến " A B " mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A B (với điều kiện n|o đó) nghĩa l| chứng minh mệnh đề chứa biến " A B " với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A B m| không nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất : * a b b * a b * a b c a * Nếu c Nếu c c a c b c d a a a c b c b ac * a b a * a b a2 b2 *a b an bn b d ac bc bc b Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối * a a * x a * x a a với số thực a a x x x a a a ( Với a ( Với a 0) 0) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Cho a 0, b , ta có a b ab Dấu '=' xảy a b Hệ : * Hai số dƣơng có tổng không đổi tích lớn hai số * Hai số dƣơng có tích không đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số không âm Cho a 0, b 0, c , ta có a b c abc Dấu '=' xảy a b c B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phƣơng pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A B ta sử dụng c{c c{ch sau: Ta chứng minh A B Để chứng minh ta thƣờng sử dụng đẳng thức để phân tích A B thành tổng tích biểu thức không âm Xuất ph{t từ BĐT đúng, biến đổi tƣơng đƣơng BĐT cần chứng minh Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tƣơng đƣơng bất đẳng thức Ví dụ : Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau a) ab c) a2 a2 b2 b) ab b2 c2 a a b c d) a b 2 b c ab bc ca Lời giải: a) Ta có a2 b2 2ab (a b)2 b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với a2 2ab b2 Đẳng thức xảy 4ab a a b a2 a b2 b 2ab Đẳng thức a b ab 0 (đúng) ĐPCM b GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM c) BĐT tƣơng đƣơng a2 a b b c c Đẳng thức xảy a b2 c2 b ab Đẳng thức xảy a a c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (đúng) ĐPCM c d) BĐT tƣơng đƣơng a2 a2 b2 b2 c2 bc ca b 2ab 2bc 2ca a b ab b c bc c ca a (đúng) ĐPCM c Nhận xét: C{c BĐT đƣợc vận dụng nhiều, v| đƣợc xem nhƣ l| "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ : Cho năm số thực a, b, c , d, e Chứng minh a2 b2 c2 d2 e2 a(b c e) d Lời giải: Ta có : a2 a2 ( ab a b)2 ( b2 c2 d2 a2 b ) ( ( a c )2 Đẳng thức xảy e2 ac ( b Ví dụ : Cho ab a a(b c d a2 c ) ( d) c d ad a e )2 e a ( e) a2 d ) ( e2 ) ae đpcm Chứng minh : a 1 b 2 ab Lời giải: Ta có a 1 b 2 1 ab ( a 1 ab ) ( b 2 1 ab ) GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM ab a2 ( a2 1)(1 ab) ab b2 (b2 1)(1 ab) a a2 ( a b)2 ( ab 1) (1 ab)(1 b2 )(1 a2 ) a b ( a b)( ab 1) ab (1 b2 )(1 a2 ) Nhận xét : Nếu a b b ( ab b2 ) a b b a a 2b b a ab (1 b2 )(1 a2 ) (Do ab 1) BĐT có chiều ngƣợc lại : b a 1 b 2 1 ab Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x4 b) x4 4x x2 c) x12 4x x4 x9 x Lời giải: a) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x4 x x3 x x2 x x 2 x Ta có x2 x2 x2 2x b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x4 x2 (đúng với số thực x ) Đẳng thức xảy x x4 4x 4x x2 0, x x2 x2 2 4x x x 2 0 x2 Đẳng thức xảy (không xảy ra) x Suy x2 x 2 ĐPCM c) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x12 + Với x Vì x : Ta có x12 nên x + Với x x9 0, x5 : Ta có x12 x9 x4 x x9 x12 x12 x4 x x4 x x4 x5 x9 x9 x x4 1 x x x x3 1 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM nên x3 Vì x Vậy ta có x12 x12 x4 x9 x9 x4 x x Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a4 b4 4ab b) a4 b2 c) a2 b2 ab 2 ab a b2 b a2 1 Lời giải: a) BĐT tƣơng đƣơng với a4 a2 b2 2 ab b4 2a2b2 b) BĐT tƣơng đƣơng với a4 ( a2 b4 2a b b )2 2a 2(a b)2 ( a2 a b2 b2 b a2 b4 2b2 4ab 1)2 c) BĐT tƣơng đƣơng với a2 4a b2 b 2b2 a4 b2 b2 b 4a 2ab 0 a b2 2ab 4b a2 2 a b2 (đúng) Đẳng thức xảy a a2 4ab (đúng) Đẳng thức xảy a a4 2a2b2 a b a2 1 b a2 a2 2ab b2 0 (đúng) Đẳng thức không xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x a) x3 y3 x y y Chứng minh rằng; GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM b) x3 3x y3 3y Lời giải: y x2 a) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng x y x2 x x y y2 xy y x x 3y2 y y b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng x3 y3 Theo câu a) ta có x3 x y x x y x y 2 y 12 x x y x y x 3xy y y2 0 y ) ĐPCM 3x y y , ta cần chứng minh (*), Thật vậy, 3x y BĐT (*) x y3 y 3x x (đúng với x Đẳng thức xảy x y2 xy y x 16 y 0 (đúng với x y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại n|y thƣờng cho lời giải không đƣợc tự nhiên v| ta thƣờng sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thƣờng dùng a a , b, c ; a ; a a b * c a b c ** GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Ví dụ : Cho a,b,c l| độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 b2 c2 2(ab bc ca) Lời giải: Vì a,b,c l| độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a bc b c ba ac c Tƣơng tự bc b2 ; ca c cộng ba BĐT n|y lại với ta có đpcm cb Nhận xét : * Ở b|i to{n ta xuất phát từ BĐT l| tính chất độ dài ba cạnh tam gi{c Sau cần xuất bình phƣơng nên ta nh}n hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT |a b| c bình phƣơng hai vế ta có đƣợc kết Ví dụ : Cho a, b, c [0;1] Chứng minh : a2 b2 c2 a2 b b2 c c2a Lời giải: (1 a2 )(1 b2 )(1 c ) Cách 1: Vì a, b, c [0;1] a b2 b2 c Ta có : a2 b2 c a2 b2 c2 c a2 a b2 c 0; a2 b2 a b2 b2 c b2 c a2 c a2 c a2 b2 c (*) a2 b b2 c a2 b c a nên từ (*) ta suy b2 c c a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tƣơng đƣơng với a b Mà a, b, c a2 b 0;1 a2 b2 c a , b2 b, c c2 a Thật vậy: a, b, c c2 a c a b Ta cần chứng minh a b b2 c b c b c c a c a 0;1 nên theo nhận xét * * ta có abc a b c a c b ab bc ca GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM a b b c c a BĐT ban đầu đƣợc chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2 minh : 2(1 a b c ab bc ca) abc b2 c2 Chứng Lời giải: Vì a2 b2 c2 a, b, c [ 1;1] nên ta có : (1 a)(1 b)(1 c) (1 a Mặt khác : b a c )2 Cộng (*) v| (**) ta có đpcm b c ab bc a b c Ví dụ 10: Chứng minh a a b c ca ab 4, b abc bc ca (*) (**) a2 5, c b2 c2 90 16 Lời giải: Từ giả thiết ta suy a a a 9, b 8, c 0, b b {p dụng * ta có 0, c c nhân cộng c{c BĐT chiều lại ta đƣợc: a2 a b2 b c2 c a b 13(a a 13 c b b2 c) 118 c2 118 suy 16 a2 16 dấu ‚=‛ xảy a Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc b2 4, b c2 5, c 90 1;1 v| không đồng thời không Chứng minh a4 b2 b4 c c a2 a2012 b2012 c 2012 Lời giải: GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Vì ba số a, b, c thuộc Suy (1 b2 )(1 b2 Mặt khác a4 Suy a4 a4 ) a2012 , b4 b4 a b2 a2012 a Cộng vế với ta đƣợc Hay b4 b b2012 b2012 b4 c 2012 a4 a4 b2 (*) b2012 với a , b thuộc Từ (*) (**) ta có a2012 Tƣơng tự ta có a2 , b2 , c 1;1 nên 2012 2012 c a b2 a4b2 (**) a4 b2 a2012 hay a a4 b2 a 2012 c a2 b4 c a4 b2 b4 c c a2 a2012 b2012 c 2012 1;1 a 2012 b 2012 c 2012 2012 a2012 b2012 2012 2012 201 c 2012 b2012 c a2 b b c 2012 c c2012 1 3 ĐPCM Bài tập luyện tập Bài 4.0 Cho số thực a, b, c số thực Khẳng định n|o sau đ}y a) A a b c ab bc ca B 2a 2b 2c C a b c ab bc ca D a b 2b B a2 b2 ab a b D a2 b2 ab a b B a2 b2 c2 2(a b c ab ab bc bc ca ca b) A a2 b2 ab 3a C a2 b2 2ab a A a2 b2 c2 2( a b c) b c) c) GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Vậy nghiệm Bpt cho l|: T b) ĐK: x ( ta thấy Bpt * Với x x2 (1 Nhận lƣợng liên hợp VT Bpt ta đƣợc x 1)2 x x 1) (1 x 1) x (1 Vậy nghiệm Bpt cho l|: T c) Bất phƣơng trình (x x2 3)( x x2 x x2 x Do x2 (*) Vậy ) * Với x (1 ] {2} [3; ; 2 x( x x2 1 1)2 x x x2 x x 3) x2 x2 1 0 (*) x2 x [ 1; 8) 3) ( x 1) ( x2 1)2 x x 2 2 x 2 nghiệm bất phƣơng trình cho x Bài 4.122: Giải bpt sau : a) x c) e) x x2 6x x b) x x 2x d) x x 6x x 2x 2x2 f) x x’ 21 2x Lời giải: Bài 4.122: a) bpt x x 2x x 2x (8 x) x2 18 x 65 x GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 280 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 2x2 b) bpt 6x x x 2x x x 2x2 6x 6x x x c) ĐS: x x x x2 x 2x x 3 2 x d) ĐKXĐ: x x x bpt x x2 2x 2x 11x 30 x x 2x2 x x bpt x x x 0 2 (x x x x x 1)x x 22 x 56 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt x e) ĐKXĐ : x x 2x x x x x 0 2x ( x 1)x x x x( x 1) 3 3 x Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt x 3 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 281 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 2x 2x 2x2 2x f) ĐKXĐ : x x bpt 4x x 21 2x Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt x x x Bài 4.123: Giải bất phƣơng trình sau : 3x a) c) x2 x x 8x 15 2 x2 x2 b) 4x2 x 15 x2 18 x 18 3x 4x x2 d) x 5x x x2 Lời giải: Bài 4.123: a) ĐKXĐ : x Với x 2x 3x 3x2 : BPT 3: x x x x x 2x 2 7x 2 9x Suy nghiệm bất phƣơng trình l| Với x 3x 2 x 2x x x : bpt Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt x x GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 282 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM x2 3x b) ĐKXĐ: x 4x x2 5x bpt x x Dễ thấy x + Với x x x x x nghiệm bpt : Bpt x x x x Ta có : x Suy x x x x x x x x x x bpt vô nghiệm +) Với x Ta có : x x : bpt x Suy : x x x x x x x c) ĐS: x x 17 x 5, x 1 x2 3, x x Khi : bpt x2 x x , x, x 4 bất pt Vậy nghiệm bpt : d) ĐKXĐ: x x x2 x4 16 x 1: x x4 16 x x4 16 0 (luôn đúng) Vậy nghiệm bpt : x GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 283 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Bài 4.124: Giải bất phƣơng trình sau: a) 4( x 1)2 c) (2x 10)(1 25 x2 3x e) g) x2 h) 9x2 x x x2 7x 16 2x b) d) 2x f) x2 2x 15 x 2x x2 8x 15 x )2 x x x 2x 1 x2 x x2 x 18x 18 2 x >12x Lời giải: Bài 4.124: a) bpt ĐS: x b) e) 1, x x h) bpt c) 0, 1)2 d) 2x x 10 x 4( x 9x2 x x f) x 16 3x 45 x 17 g) x 3x 2x Chia hai trƣờng hợp giải ta đƣợc 2 x) , 3 x x Bài 4.125: Giải bất phƣơng trình sau: a) x 6x 2x c) 3x 5x 3x e) x x 2x 2x x2 5x f) b) x 4x d) x x 1 x x x x 3 2x x2 x x x g) x x 35 12 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 284 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Lời giải: 3x Bài 4.125: a) Đặt : t 6x Bất phƣơng trình trở thành t t2 Ta có 3x 3t 10 3x 6x 6x 2 Vậy nghiệm bpt b) ĐKXĐ: t x t2 Ta có 3t 2x 0) 3x 6x x 3x 5x c) ĐKXĐ: Đặt t t2 t 4 2x x2 0) x Ta có 3x t t2 25 x 3x t2 5x 2 t t2 5x t t 3x 5x 2 5x 3x x2 2x t2 x2 3t 2x x ,t (dot Bất phƣơng trình trở thành t2 x 2 Vậy nghiệm bpt x x t2 2x Bất phƣơng trình trở thành t 2t x2 2x x2 , t Đặt : t 2(t x ,t x GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 285 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM x x x d) ĐKXĐ: x x x 1 bpt x x Đặt t x 1 x 1 x 1, t 2 Bất phƣơng trình trở thành t t t +) Với t ta có (*) 2t Suy nghiệm bpt(*) t +) Với t Do ta có (*) x 1 Vậy nghiệm bpt x e) ĐKXĐ : x bpt Đặt t x x x x (*) x 1 x t 2 1 2x x x x 2x x Bất phƣơng trình trở thành 5t ,t t 2 1 4x x 2t t2 5t t t 2 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 286 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Vì t 2 ta có t x 2 x Vậy nghiệm bpt f) ĐKXĐ: x x Đặt: t t2 2t (vì t t x Ta có x x x4 x Đặt : t 3t 4 Vậy nghiệm bpt +) Với x 2 t2 2t x +) Với x t 2t t 0) g) ĐKXĐ: x ,t x Ta đƣợc : 2 x x 1, x 2x x x x 2 x 2 2 2 x 1 x x x x 1 : bpt VN x2 : bpt x2 x2 x2 x2 ,t x2 x 1225 144 x2 x2 1225 144 0 , bất phƣơng trình trở thành GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 287 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM t2 1225 144 2t t 25 12 x2 Do ta có x 25 (dot 12 144 x4 625x 625 625x2 x 625 25 16 x2 144 x 0) 25 x x 5 (dox 1) Bài 4.126: Giải c{c phƣơng trình sau: a) x x x2 x b) 2x c) 10x d) x ( x 1)2 8x (2 x 1)2 2x 3x 9x 2x x3 Lời giải: Bài 4.26: a) ĐKXĐ: Ta có: PT x x x x x x x x x x x b) ĐKXĐ: x x x x x x x x 0 2 Phƣơng trình cho 2x 2x (4 x2 x 1)2 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 288 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 16 4x2 4x 3= (2x 1)2 (4 t )2 8t 2)(t t(t x 1)2 4x 4x Đặt t (4 x2 t4 2t 8t 4) 8t 0 t(t t (n) t (l) t Ta có phƣơng trình : 8t 8) x t 4x2 4x 4x2 4x x ;x Vậy x nghiệm phƣơng trình cho c) ĐKXĐ: x 10x Phƣơng trình 9x x 10 x Vây x 3x x 9x 3x 10 x 1 9x 3x 2x 0 2x ( x 3) 2 2x x (thỏa điều kiện) nghiệm phƣơng trình cho x3 x d) PT x x ( x 2) x2 ( x 2)( x2 x 1 x2 2x x 4) x x Bài 4.127: Giải c{c phƣơng trình sau GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 289 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM a) x2 b) 2x x2 14 x3 x2 c) 3x 3x 3x x 2x x x x Lời giải: Bài 4.127: a) Theo côsi ta có: x2 x ; 3x 3x 2x x Suy Mà x2 x2 2x x2 3x 3x x 3x 3x 2 2x Dấu xảy x=1 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy pt cho có nghiệm x=1 b) ĐKXĐ: x2 Do x2 14 x3 2x 2x nên 14 x3 x2 12x x3 x2 x 2x Suy phƣơng trình có nghiệm x2 2x x Thử lại ta thấy phƣơng trình cso nghiệm x c) ĐK: x 1 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có: 3x Suy 3x x x Đẳng thức xảy x 3x x x x x v| l| nghiệm phƣơng trình Bài 4.128: Giải phƣơng trình 2x x x2 11x 33 3x Lời giải: GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 290 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 2x x Bài 4.128: ĐKXĐ: x 11x 33 3x 5 x Phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2x 2x 2x 11x 24 x x2 11x 3x 40 x 149 x x x 2x 11x x x 11x 24 x2 11x 168 11x 11x 11x x2 11x 24 x2 11x 24 33 3x 3x x x x 24 33 3x 11x 24 33 3x x2 33 3x 24 2x x2 x2 3x x2 x2 x 1 x 11x 33 3x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phƣơng trình có nghiệm l| x Bài 4.129: Cho phƣơng trình: x 2x2 m x m2 m x 1 a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm Lời giải: Bài 4.129: Phƣơng trình (1) Đặt t x , x phƣơng trình: t x x2 m x m2 nên ta có điều kiện t m 1t m2 m m x 2 , thay v|o phƣơng trình (2) ta đƣợc a) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phƣơng trình (3) có nghiệm t GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 291 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM TH1: Phƣơng trình (3) có nghiệm t1 t2 P m2 ' TH2: Phƣơng trình (3) có nghiệm Kết luận: Với m t1 t2 m m m m P m m S m 0 0;1 phƣơng trình (1) có nghiệm b) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt phƣơng trình (3) có nghiệm t1 t2 m P 0 S m m 0 (vô nghiệm) m Kết luận: Không tồn m để phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phƣơng trình (3) có nghiệm t TH1: Phƣơng trình (3) có nghiệm t1 TH2: Phƣơng trình (3) có nghiệm t1 TH3: Phƣơng trình (3) có nghiệm Kết luận: Với m 0 t1 t2 t2 t2 P m2 m m P 0 S m 1 m m 0 S m m 0 m m m 1 0;1 phƣơng trình (1) có nghiệm Bài 4.130: Cho phƣơng trình x2 m x2 3m a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm Lời giải: GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 292 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Bài 4.130 ĐK x x2 R Đặt t (1) ta đƣợc phƣơng trình: t 1 t m t 3m suy x2 t , thay v|o phƣơng trình a) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phƣơng trình (2) có nghiệm t TH1: Phƣơng trình (2) có nghiệm t1 m TH2: Phƣơng trình (2) có nghiệm Kết luận: với m ; t1 t2 P t2 3m 0 m2 16m P 3m S m 2 0 m 68 phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt 68; b) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt phƣơng trình (2) có nghiệm thỏa: t1 t2 Kết luận: Với m P 0 m2 16m 3m S m 68; m 68 phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để pt (1) có nghiệm ta xét trƣờng hợp sau: TH1: Phƣơng trình (2) có nghiệm t1 TH2: Phƣơng trình (2) có nghiệm Kết luận: với m t1 t2 t2 P 0 m2 16m 3m S m S m2 m m 16m 0 (vô nghiệm) pt (1) có nghiệm GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 293 NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 294 ... BĐT côsi ta có a4 b4 a b2 , b4 Cộng vế với vế lại ta đƣợc a4 b4 Từ (1) (2) ta có a2b2 c a2 b2 c c4 c4 a b2 2b2 c , c b2 c a4 2c a2 c a2 (2) (3) Áp dụng BĐT côsi ta có a2 a b2 a2 a2b2 2a2 b , tƣơng... mãn a2 a) a2b b) b2 c ab c2 c2a bc a2 b2 c2 Chứng minh ca b2 Lời giải: a) Ta có a2 b2 c2 a4 b4 c4 2a2 b2 2b2 c 2c 2b2 (1) GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 a) NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN