On thi TNTHPT So Phuc

Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT TÓM TẮT LÝ THUYẾT: §1. SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC : Số phức là một biểu thức có dạng a bi+ , trong đó 2 , ; 1a b i∈ = −¡ . Số phức z a bi= + có a là phần thực, b là phần ảo. Số phức z a bi= + được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b hay bởi ( ) ;u a b= r trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Hai số phức bằng nhau : a c a bi c di b d =  + = + ⇔  =  . Modun của số phức z a bi= + chính là độ dài của OM uuuur . Vậy : 2 2 z OM a b= = + uuuur . Số phức liên hợp của số phức z a bi= + là số phức z a bi= − . Chú ý rằng : các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục hoành. Do đó z là số thực khi và chỉ khi z z= , z là số ảo khi và chỉ khi z z= − §2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ − + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + + Chú ý : Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý rằng 2 1i = − . Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức. 1 2 3 4 , 1, , 1i i i i i i= = − = − = . Tổng quát : 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, n n n n i i i i i i + + + = = = − = − . ( ) 2 1 2i i+ = ; ( ) 2 1 2i i− = − . b. Phép chia hai số phức : 1 Chuyên đề : Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a bi c di a bi c di a bi c di c di c di c d + − + − + = = + + − + . Như vậy : . . z z z z z z ′ ′ = Chú ý : 1 1 i i i + = − . c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun : z z= ; z z z z ′ ′ + = + ; .zz z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′   =  ÷   . 0z ≥ với mọi z ∈£ , 0 0z z= ⇔ = . z z= ; zz z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ + ≤ + §3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : a. Căn bậc hai của số phức : Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức nếu : 2 z w= . Như vậy để tìm Số phức z x yi= + ( ) ,x y∈¡ là căn bậc hai của số phức w a bi= + ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau : 2 2 2 x y a xy b  − =  =  Chú ý : Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. Số thực 0a > có đúng hai căn bậc hai là : a± Số thực 0a < có hai căn bậc hai là i a i a ± = ± − . Đặc biệt , số 1 − có hai căn bậc hai là i± . b. Phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai 2 0az bz c+ + = ( , , , 0a b c a∈ ≠£ ). • Nếu 0∆ = , phương trình có một nghiệm kép 2 b z a = − . • Nếu 0∆ ≠ , phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1,2 2 b z a δ − ± = , trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ . c. Định lý Viet : 2 Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Nếu phương trình bậc hai 2 0az bz c+ + = ( , , , 0a b c a∈ ≠£ ) có hai nghiệm 1 2 ,z z thì : 1 2 b z z a + = − và 1 2 c z z a = . d. Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số 1 2 ,z z có tổng 1 2 z z S+ = và 1 2 z z P= thì 1 2 ,z z là nghiệm của phương trình : 2 0z Sz P− + = . §4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC : a. Dạng lượng giác của số phức : Số phức 0z a bi= + ≠ có dạng lượng giác là : ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + ; trong đó : 0r z= > , cos a r ϕ = , sin a r ϕ = , ( ) ,Ox OM ϕ = là một acgumen của z . Các tính chất của acgumen : Nếu ϕ là một acgumen của z thì ϕ − là một acgumen của z . Nếu ϕ là một acgumen của z thì π ϕ + là một acgumen của z− . b. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác : Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + và ( ) cos sinz r i ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ = + thì : ( ) ( ) cos sinzz rr i ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ = + + +    , ( ) ( ) cos sin z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ = − + −    ′ ′ . c. Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác : Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + thì ( ) cos sin n n z r n i n ϕ ϕ = + 1n ≥ và n∈¥ . d. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + thì các căn bậc hai của z là : 2 2 cos sin 2 2 k k r i ϕ π ϕ π + +   +  ÷   , với 0k = hay 1k = . BÀI TẬP 1. Tìm các số thực ,x y , biết rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3 4 15 5 6x y x y i x y x y i− + + + − = − + + + − − + . 2. Thực hiện các phép tính sau đây : a. ( ) ( ) 1 2 3 5i i− + ; b. 3 2 3 4 i i − − ; c. ( ) ( ) 4 3 2 5 1 i i i i + − + + − ; d. ( ) ( ) 2 2 1 2 3i i+ + − ; e. ( ) 10 1 i+ ; f. 45 1 1 i i +    ÷ −   ; 3 Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT g. ( ) 20 1 z− . 3. Tìm modun của số phức ( ) ( ) 2 3 1z i i= + − . 4. Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau : 3 4 2 1 i i i i − + − + . 5. Tìm số phức liên hợp của số phức sau đây : ( ) ( ) 2 2 3 1i i+ + . 6. Chứng minh rằng số phức sau đây là một số thực : ( ) 3 3 2 i i i − + + + 7. Chứng minh rằng số phức sau đây là một số ảo : ( ) ( ) 2 3 2 5 6i i− − − . 8. Chứng minh rằng số sau đây là số thực : 2 2 1 z z zz + + . 9. Cho số phức 2 3z i= + . Tìm phần thực, phần ảo của số phức 7 5 z i iz + + 10. Giải các phương trình sau : a. ( ) 3 3 2 6 7x i i+ − = + ; b. ( ) ( ) 5 2 2 7 3i x i i+ + − + = − . c. ( ) 2 4 2 1 0i i z− − − = . 11. Tìm số phức z , biết rằng : a. 2 2z i= ; b. 2 6 2z z i+ = + . c. 3 7 5iz z i+ = + ; d. 3 2 5 2z z i+ = + . 12. Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây : a. 2z i= + ; b. ( ) ( ) 4 2 3z i i= + − . 13. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau : a. 3 4i− ; b. 5 12i− − . 14. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a. 2 9 0x + = ; b. 2 4 5 0x x+ + = ; c. 2 2 5 4 0x x− + = ; d. 2 2 3 5 0x z− + − = ; e. 4 2 5 4 0x x+ + = ; f. 3 2 2 10 0x x x− + = ; g. 3 1 0x + = ; h. ( ) ( ) 2 2 4 2 5 0x x x− + + = . 15. Giải các phương trình sau : a. 2 2 0z iz+ + = ; b. ( ) ( ) 2 3 2 1 0z i z i− + + + = . 16. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a. 2 2 3i− ; b. 1 i+ ; c. 3 i+ . 17. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau : a. 3i ; b. 5 ; c. 5− ; d. 2i− . 4 Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT 18 . Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau đây : 3 i+ ; b. 2 2 2 2 i− + ; c. cos sin 8 8 i π π − . 19. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau : a. ( ) 2 cos sini ϕ ϕ − + ; b. ( ) 3 cos sini ϕ ϕ − − . 20. Tìm dạng lượng giác của số phức : 1 cos sin 8 8 z i π π = + + . 21. Cho số phức 11 11 cos sin 12 12 z i π π = − . a. Viết dạng lượng giác của z . b. Tính 6 z . 22. Cho số phức 1z i= + . a. Viết dạng lượng giác của z . b. Tìm các căn bậc hai của z . 23. Cho số phức 1 3 2 2 z i= − . a. Viết dạng lượng giác của z . b. Tìm các căn bậc hai của z . 24. Cho số phức ( ) ( ) cos sin 0z r i r ϕ ϕ = + > . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau đây : a. iz ; b. i z ; c. z z . 5 . dạng a bi+ , trong đó 2 , ; 1a b i∈ = −¡ . Số phức z a bi= + có a là phần thực, b là phần ảo. Số phức z a bi= + được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b hay bởi ( ) ;u a b= r trong mặt phẳng. kép 2 b z a = − . • Nếu 0∆ ≠ , phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1,2 2 b z a δ − ± = , trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ . c. Định lý Viet : 2 Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Nếu. giác của số phức : Số phức 0z a bi= + ≠ có dạng lượng giác là : ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + ; trong đó : 0r z= > , cos a r ϕ = , sin a r ϕ = , ( ) ,Ox OM ϕ = là một acgumen của z . Các