co hoc luong tu nang cao

Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao Mở đầu Lý thuyết nhiễu loạn là cở sở ý nghĩ rằng, giải chính xác nghiệm của các phương trình trong cơ học lượng tử. Nó cũng dùng để nghiên cứu cấu trúc của hệ phân tử và nguyên tử, chúng ta cần biết bức xạ điện từ tương tác của hệ. Bản chất của phổ phân tử và nguyên tử là sự hấp thụ và phát xạ bức xạ điện từ bởi phân tử và nguyên tử, ngoài ra nó còn chịu sự chuyển dời từ trạng thái này sang trạng thái khác. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian là sử dụng để nghiên cứu quá trình hấp thụ và bức xạ bởi nguyên tử. Tổng quát hơn là xét chuyển dời của hệ lượng tử từ mức năng lượng này đến mức năng lượng khác. Trong quá trình chuyển dời các mức năng lượng, xuất hiện sự hấp thụ và phát xạ photon. Để làm sáng tỏa hơn chung ta nghiên cứu các nội dung sau. 1. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. 2. Xác suất chuyển dời. 3. Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số. 4. Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa. Học viên: Nguyễn Văn Hùng 1 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao A. PHẦN LÝ THUYẾT 1. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Ở đây ta chỉ xét hiện tượng mà được mô tả bởi hàm Hamilton và hàm Hamilton có thể tách thành hai phần, một phần 0 H không phụ thuộc vào thời gian và một phần V(t) phụ thuộc thời gian mà V(t) rất bé so với 0 H . )()( 0 tVHtH ∧∧∧ += (1) Trong đó ∧ 0 H được mô tả bởi hệ không nhiễu và giả sử nghiệm chính xác là đã biết. Xét hệ khi không có nhiễu loạn nó được mô tả bởi hàm Hamiton độc lập với thời gian ∧ 0 H và có trị riêng n E , hàm riêng n Ψ là biết. nnn E H Ψ=Ψ ∧ 0 (2) Vector trạng thái tổng quát được cho bởi trạng thái dừng. n tiE n tHi n n eet Ψ=Ψ=Ψ −− ∧  0 )( (3) Trong khoảng thời gian τ ≤≤ t0 thì hệ phụ thuộc thời gian, V(t) rất bé so với ∧ 0 H .      >< ≤≤ = ∧ ∧ τ τ tt ttV t V ,00 0)( )( (4) Trong khoảng τ ≤≤ t0 thì Hamilton của hệ là )()( 0 tVHtH ∧∧∧ += và phương trình Schrodinger tương ứng là. )())(( )( 0 ttVH dt td i Ψ+= Ψ ∧∧  (5) Trong đó )(tV ∧ là tương tác đặc trưng của hệ với nhiễu loạn bên ngoài. Ảnh hưởng của )(tV ∧ tới hệ như thế nào? Khi hệ tương tác với )(tV ∧ thì nó cũng hấp thụ hoặc bức xạ năng lượng. Quá trình này không thể đánh giá được vì hệ chuyển dời từ một trạng thái không nhiễu đến trạng thái khác. Ý chính của lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian là trả lời câu hỏi: Nếu hệ là không nhiễu trong trạng thái riêng i Ψ của ∧ 0 H thì Học viên: Nguyễn Văn Hùng 2 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao xác suất mà hệ sẽ được tìm thấy tại thời điểm sau đó trong trạng thái riêng không nhiễu khác j Ψ là gì? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình Schodinger (5). Phương pháp chuẩn để giải (5) là tìm )(tΨ trong các số hạng của hệ số khai triển )(tC n . n tiE n n n etCt Ψ∑=Ψ −  )()( (6) Sau đó thay vào (5) để tìm các )(tC n khác nhau bằng phương pháp gần đúng. Thay vì tính tích này, chúng ta kết hợp với thế độc lập thời gian, nó sẽ thích hợp với nghiệm (5) trong bức tranh tương tác. I I I ttV dt td ih )()( )( Ψ= Ψ ∧ (7) Trong đó )()( 0 tet tiH I Ψ=Ψ  và  tiHtiH I etVetV 00 )()( − ∧∧ = phương trình tiến triển theo thời gian là )(),()( ii tttUt Ψ=Ψ ∧ có thể viết lại như trong bức tranh tương tác là. (8) Hoặc I ii I I tttUt )(),()( Ψ=Ψ ∧ (9) Trong đó toán tử tiến triển phụ thuộc thời gian được cho trong bức tranh tương tác là.   i tHi i tHi i I ettUettU 0 0 ),(),( ∧ ∧ − ∧∧ = (10) Thay (9) vào (7) ta thu được. ),()( ),( i I I iI ttUtV dt ttUd ih ∧∧ ∧ = (11) Nghiệm của phương trình này, với điều kiện ban đầu ∧∧ = IttU iiI ),( , là cho bởi phương trình tích phân. ∫ ∧∧∧ −= t t iIIi I I dtttUtV i ttU ,,, ),()(1),(  (12) Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian đưa ra nghiệm gần đúng của phương trình tích phân này. Điều này bao gồm giả sử rằng )(tV I ∧ là nhỏ sau mỗi lần lặp. Gần đúng bậc nhất là thu được bằng cách đặt Học viên: Nguyễn Văn Hùng 3 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao 1),( ' = ∧ i I ttU trong tích phân (12), dẫn đến ∫ ∧∧ −= t t Ii I I dttV i ttU ,, )1( )(1),(  . Thay ),(),( , )1( ' iIi I ttUttU ∧∧ = vào (12) ta thu được gần đúng bậc hai là. (13) Thay ),( )2( i I ttU ∧ vào (12) ta thu được gần đúng bậc ba, cứ lặp lại nhiều lần như vậy ta được. (14) Chuỗi này như là chuỗi Dyson Bây giờ chúng ta tính xác suất chuyển dời. Nó có thể được cho bởi các yếu tố ma trận của (14) với trạng thái riêng của ∧ 0 H . 1.1 xác suất chuyển dời. Xác suất chuyển dời tương ứng với sự chuyển dời từ trạng thái không nhiễu ban đầu i Ψ đến trạng thái không nhiễu khác j Ψ được cho từ (14) và do 1=ΨΨ ∑ n n n ta được. (15) Trong đó ta sử dụng. (16) Trong đó fi ω tần số chuyển dời giữa mức đầu i và mức cuối f , được xác định là. iiff if fi HH EE ΨΨ−ΨΨ= − = ∧∧ 00 ( 1  ω (17) Học viên: Nguyễn Văn Hùng 4 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao Xác suất chuyển dời ở (15) có thể viết theo khai triển hằng số )(tC n như giới thiệu ở (6) là. 2 )2()1()0( )( +++= ffffi CCCtP (18) Trong đó: ififf C , )0( δ =ΨΨ= ; ∫ ΨΨ−= ∧ t tfi iff dtetV i C 0 ,,)1( , )( , 1 ω  (19) Xác suất chuyển dời bậc nhất cho fi Ψ→Ψ với fi ≠ ( ở đây 0=ΨΨ if ) là thu được ở (15) tại bậc thứ nhất trong )(tV I . 2 0 , , 1 )()( ∫ ΨΨ−= ∧ t tfi ifìf dtetV i tp ω  (20) Theo nguyên tắc chúng ta có thể sử dụng (15) để tính xác suất chuyển dời cho vài bậc trong )(tV I ∧ . Tuy nhiên, các số hạng cao hơn bậc thứ nhất trở nên giảm nhanh. Vấn đề lớn nhất của vật lý nguyên tử và hạt nhân, bậc thứ nhất (16) là đủ dùng. Chúng ta sẽ áp dụng (16) để tính xác suất chuyển dời cho hai trường hợp: Nhiễu loạn hằng số và nhiễu loạn điều hòa. 1.2 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số. Trong trường hợp ∧ V độc lập với thời gian, từ (20) dẫn đến. 2 2 2 2 0 , 2 111 )( , fi ti if t ti ifìf fi fi e VdteVtp ω ω ω − ΨΨ=ΨΨ= ∧∧ ∫  (21) Sử dụng       =− 2 sin41 2 2 θ θ i e (với t fi ωθ = ) thay vào (21) ta được.         ΨΨ = ∧ 2 sin 4 )( 2 22 2 t V tp fi fi if ìf ω ω  (22) Vì hàm phụ thuộc thời gian, xác suất chuyển dời này dao động hình sin với tần số fi ω π 2 như hàm fi ω , tuy nhiên xác suất chuyển dời cho ở (hình.1) la hình ảnh giao thoa: Nó đáng kể khi 0≈ fi ω và giảm rất nhanh khi xa 0 ( ở đây, t xác định, chúng ta giả sử rằng  if fi EE − = ω thay đổi liên tục) Học viên: Nguyễn Văn Hùng 5 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao  6   4   2  0 2  4  6  x y Hình.1 ( ( ) [ ] 22 2sin,,1 fififi yxt ωωω === ) Nghĩa là xác suất chuyển dời của hệ tìm thấy trong trạng thái f Ψ và năng lượng f E là lớn khi fi EE ≈ hoặc khi 0≈ fi ω . Chiều cao và rộng của đỉnh, xung quanh tâm 0= fi ω là tỉ lệ với 2 t và t 1 . Riêng, diện tích giới hạn tỉ lệ với t; vì diện tích ở dưới đỉnh tâm, xác suất chuyển dời tỉ lệ với t. vì thế xác suất chuyển dời cùng đường với thời gian. Đỉnh tâm hẹp và rộng khi thời gian tăng, nó thuộc hàm Delta. Do đó, khi ∞→ lim thì xác suất chuyển dời như hình dáng của hàm Delta. Vì ∞→t ta sử dụng hệ thức tiệm cận. )( )(sin 2 2 lim y ty yt t δ π = ∞→ (23) Ta viết biểu thức sau. ( ) fi fi fi t t ωδπ ω ω 2 2 sin 2 1 1 2 2 =               (24) Bởi vì )(2 2 fi fi ωδ ω δ =         . Vì iffi EE −= ω  , ở đây ( ) )( iffi EE −= δωδ  ,ta thay vào (22) thu được. ( ) ififìf EEV t tp −ΨΨ= ∧ δ π 2 2 )(  (25) Tốc độ chuyển dời, được định nghĩa như là xác suất chuyển dời trên một đươn vị thời gian, là cho bởi. Học viên: Nguyễn Văn Hùng 6 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao ( ) ifif if if EEV t tP −ΨΨ==Γ ∧ δ π 2 2 )(  (26) Số hạng Delta )( if EE − δ bảo đảm định luật bảo toàn năng lượng. Khi ∞→lim thì tốc độ chuyển dời chỉ khác không giữa các trạng thái có năng lượng bằng nhau. Do đó hằng số nhiễu loạn (độc lập với thời gian) cũng không làm mất năng lượng và cũng không bổ sung năng lượng cho nó. Chuyển dời trở nên liên tục của trạng thái cuối. Bây giờ tính tốc độ chuyển dời toàn phần ứng với chuyển dời từ trạng thái ban đầu i Ψ liên tục cho đến trạng thái cuối f Ψ . Nếu ( ) f E ρ là mật độ cho trạng thái cuối, số mỗi trạng thái cho khoảng năng lượng, số trạng thái cuối với khoảng năng lượng f E và ff dEE + là bằng ( ) ff dEE ρ . Tốc độ chuyển dời toàn phần có thể thu được từ (26) là. ( ) ( ) ( ) fiffifff if if dEEEEVdEE t tP W −ΨΨ== ∫∫ ∧ δρ π ρ 2 2 )(  (27) Hoặc ( ) ififif EEVW −ΨΨ= ∧ δ π 2 2  (28) Mối quan hệ này gọi là quy tắc Fermi golden rule. Nó hàm ý rằng, trong trường hợp nhiễu loạn hằng số, nếu ta đợi đủ lâu thì tốc độ chuyển dời toàn phần trở thành hằng số. 1.3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa. Bây giờ xét nhiễu loạn điều hòa phụ thuộc thời gian. titi evevtV ωω − + ∧∧∧ += )( (29) Với ∧ v toán tử độc lập với thời gian. Vì nhiễu loạn là va chạm, chẳng hạn như khi hạt tích điện tương tác với trường điện từ. Nhiều loạn này gây ra chuyển dời của hệ từ trạng thái dừng đến trạng thái khác. Xác suất chuyển dời tương ứng với nhiễu loạn này có thể thu được từ (20) là. Học viên: Nguyễn Văn Hùng 7 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao 2 0 , )( 0 , )( 2 , , , 1 1 )( ∫∫ − + ∧ + ∧ ΨΨ+ΨΨ= t ti if t tfi ifìf dtevdtevtp fi ωω ωω  (30) Bỏ qua số hạng chéo, vì nó không đáng kể so với hai số hạng khác, ta có thể viết biểu thức như sau. 2 )( 2 2 2 )( 2 2 1111 )( ωωωω ωωωω − − ΨΨ+ + − ΨΨ= − + ∧ + ∧ fi ti if fi ti ifif fifi e v e vtP  (31) Sử dụng       =− 2 sin41 2 2 θ θ i e thay vào (31) ta được. ( )     − − ΨΨ+ + + ΨΨ= + ∧∧ 2 2 2 22 2 2 2 )( )((sin 1 2/)((sin 1 )( ωω ωω ωω ωω fi fi if fi fi ifif v t vtP  (32) Trong (hình.2), tại đỉnh ωω −= fi giá trị xác suất chuyển dời lớn nhất 2 2 2 4 )( ifif v t tP ΨΨ= ∧  , hoặc tại ωω = fi giá trị xác suất chuyển dời lớn nhất 2 2 2 4 )( ifif v t tP ΨΨ= + ∧  . Đây là điều kiện cộng hưởng, nghĩa là xác suất của chuyển dời là lớn nhất khi tấn số của trường nhiễu loạn là fi ω ± . Còn ω ra xa fi ω ± thì )(tP if giảm.  1  6   1  4   1  2   1 1  2  1  4  1  6  x y , 1  6  1  4  1  2  1 1  2  1  4  1  6  x y Hình.2 Chú ý rằng (32) tương tự (22). Nghĩa là Học viên: Nguyễn Văn Hùng 8 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao )( 2 )( 2 )( 2 2 ϖδ π ϖδ π     −−ΨΨ++−ΨΨ= + ∧∧ ififififif EEv t EEv t tP (33) Tốc độ chuyển dời là. )( 2 )( 2 2 2 ϖδ π ϖδ π     −−ΨΨ++−ΨΨ=Γ + ∧∧ ififififif EEvEEv (34) Tốc độ chuyển dời này chỉ khác không khi thỏa mãn hai điều kiện. ω −= if EE ω += if EE . Hai điều kiện này không thể đồng thời thỏa mãn; nó có thể hiểu ngầm là. Điều kiện thứ nhất ω −= if EE hệ kích thích, vì thế năng lượng cuối nhỏ hơn năng lượng ban đầu. khi nhiễu loạn hệ hồi phục cho photon ở trên có năng lượng ω  cho thế )(tV ∧ thấy ở hình.3. Quá này gọi là phát xạ cưỡng bức, hệ dễ dàng phát xạ photon với năng lượng ω  . Điều kiện thứ hai, ω += if EE năng lượng cuối lớn hơn năng lượng ban đầu, hệ hấp thụ photon với năng lượng ω  từ thế )(tV ∧ . Như vậy ta có thể thấy số hạng ti e ω và ti e ω − trong thế )(tV ∧ tương ứng với phát xạ và hấp thụ photon có năng lượng ω  . Cuối cùng, hiệu ứng nhiễu loạn điều hòa là truyền cho hệ hoặc nhận từ hệ một photon có năng lượng ω  . Ngược lại, nhiễu loạn hằng số không truyền cho hệ cũng không lấy năng lượng của hệ. i E f E fi EE −= ω  if EE −= ω  f E i E Phát xạ cưỡng bức photon Hấp thụ photon Hình 3 Chú ý: Vì trạng thái cuối trở nên liên tục, chúng ta có thể thấy, bằng cách tương tự từ biểu thức (28) và (34) dẫn đến tốc độ chuyển dời hấp thụ và phát xạ là. ( ) ω ρ π   −= ∧ + ΨΨ= if EE fif abs if EVW 2 2 (35) Học viên: Nguyễn Văn Hùng 9 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao ( ) ω ρ π   −= ∧ ΨΨ= if EE fif emi if EVW 2 2 (34) Từ (29) là Hermitian, ∗ + ∧∧ ΨΨ=ΨΨ fiif VV , ta có 22 ifif vv ΨΨ=ΨΨ ∧∧ ở đây. ωω ρρ  −=+= = ifif EE f emi if EE f abs if E W E W )()( (36) Biểu thức này biết như điều kiện của cân bằng chi tiết. Học viên: Nguyễn Văn Hùng 10 [...]...     = i [cos(ω 1 ) cos(ω 2 ) +sin(ω 1 ) sin(ω 2 )] t t t t (2.1) Hoặc ∧ ∧  X H (t1 ), P H (t 2 ) = i cos[ω ( t1 − t 2 ) ]    (2.2) Tính toán tương tự ∧ ∧ 1 ∧ 1 ∧    ∧ X H (t1 ), X H (t 2 ) =  X cos(ωt1 ) + P sin(ωt1 ), X cos(ωt 2 ) + P sin(ωt 2 )  mω mω     ∧ ∧ ∧ ∧ 1  1    =  X , P  cos(ωt1 ) sin(ωt 2 ) + mω  P, X  sin(ωt1 ) cos(ωt 2 ) mω     i = [cos(ω 1 ) sin(ω... cơ học lượng tử nâng cao 1 ∧ ∧ ∧ ∧ P sin(ωt ) và P (t ) = P cos(ωt ) − mω X sin(ωt ) theo H mω  ∧ ∧  ∧ ∧  ∧ ∧ hệ thức giao hoán  X , P  = i và  X , X  =  P, P  = 0 , ta có       ∧ ∧ X H (t ) = X cos(ωt ) + ∧ ∧ ∧ 1 ∧  ∧  ∧ X H (t1 ), P H (t 2 ) =  X cos(ωt1 ) + P sin(ωt1 ), P cos(ωt 2 ) − mω X sin(ωt 2 )  mω     ∧ ∧ ∧ ∧     =  X , P  cos(ωt1 ) cos(ωt 2 ) −  P, X... sin(ω 2 ) −sin(ω 1 ) cos(ω 2 )] t t t t mω ∧ (2.3) Hoặc ∧ i ∧  X H (t1 ), X H (t 2 ) = − sin[ω (t1 − t 2 )]  mω   (2.4) Tượng tự, ta có ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  ∧  P H (t1 ), P H (t 2 ) =  P cos(ωt1 ) − mω X sin(ωt1 ), P cos(ωt 2 ) − mω X sin(ωt 2 )      ∧ ∧ ∧ ∧     = −mω  P, X  cos(ωt1 ) sin(ωt 2 ) − mω  X , P  sin(ωt1 ) cos(ωt 2 )     = −i mω [ sin(ωt1 ) cos(ωt 2 ) − cos(ωt1 ) sin(ωt... + A, A , B +  A,  A,  A, B    +   3!      2!       ∧ (1.4) Ta có thể viết: (1.5) Hoặc ∧ ∧ X H (t ) = X cos(ωt ) + Học viên: Nguyễn Văn Hùng 11 1 ∧ P sin(ωt ) mω (1.6) Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao Tương tự ta tính được (1.7) Hoặc ∧ ∧ ∧ PH (t ) = P cos(ωt ) − mω X sin(ωt ) ∧ (1.8) ∧ b) Để tìm phương trình chuyển động của X H (t ) và PH (t ) chúng ta cần sử ∧ ∧ ∧ dụng phương... Hùng 13 (2.6) Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao ∧ ∧ Bài 3 Tính lượng n X H (t ) X n cho trạng thái thứ n của dao động tử điều ∧ ∧ hòa một chiều, trong đó X H (t ) và X là các toán tử vị trí trong bức tranh Heisenberg và bức tranh Schrodinger Bài giải ∧ ∧ Sử dụng biểu thức của X H (t ) = X cos(ωt ) + ∧ ∧ 2 ∧ ∧ ∧ 1 n p X n sin ( ωt ) mω n X H (t ) X n = n X n cos(ωt ) + ∧ 1 ∧ P sin(ωt ) chúng ta có mω... Hùng 15 (4.5) Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Trong đó: S ± (t ) = S x (t ) ± i S y (t ) Nghiệm của (4.5) là S ± (t ) = S ± (0)e iωt , ∧ ∧ ∧ ∧ 1 ∧ 1 ∧   với S x (t ) =  S + (t ) + S − (t ) và S y (t ) =  S + (t ) − S − (t ) dẫn đến 2  ∧ 2i  ∧  ∧ S x (t ) = S x (0) cos(ωt ) − S y (0) sin(ωt ) ∧ ∧ (4.6) ∧ (4.7) S y (t ) = S y (0) cos(ωt ) + S x (0) sin(ωt ) Giải (4.4) ta thu... + − (e + e −i ( E2 − E1 )t  ) 2 2  2 2 9π  =  3π 2  t  a 8a − 2 cos  2ma 2   2 9π   (5.9) 3π 2  t (Vì E 2 − E1 = ) 2ma 2 ∧ ∧ Tương tự: tính Ψ ( x, t ) P Ψ ( x, t ) ta có Φ n P Φ n = 0 và Học viên: Nguyễn Văn Hùng 17 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao ∧ ∧ Ψ ( x, t ) P Ψ ( x, t ) = 4 i8  πx   2πx  ∫ x sin a  cos a dx = 3a , Dẫn đến a0     a ∧ Φ 1 P Φ 2 = − Φ 2 P Φ 1 = −i ... , n a + a n = n , n a a + n = n + 1 nên (3.2) và (3.3) là ∧ 2  ( 2n + 1) 2mω ∧ ∧ i n PX n =− 2 n X n = (3.4) (3.5) Vậy ∧ ∧ n X H (t ) X n =  [ (2n + 1) cos(ωt ) − í sin(ωt )] 2 mω Học viên: Nguyễn Văn Hùng 14 (3.6 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao Bài 4 Hàm Hamilton tương tác của một hạt có khối lượng m, điện tích q và   spin S trong trường điện từ dọc theo trục z là H = −  S z Viết phương... H = P chúng ta có 2m ∧ ∧    H , P  = 0 và:   1 ∧ 2 ∧  i ∧ ∧ ∧ H, X  = P ,X = − P (5.1)   m   2m   ∧ Sử dụng biểu thức này Học viên: Nguyễn Văn Hùng 16 Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao ∧ A ∧ e Be ∧ −A     ∧ ∧  1  ∧  ∧ ∧  1  ∧  ∧  ∧ ∧  = B +  A, B  + A, A , B +  A,  A,  A, B    + , ta thu được   3!      2!       ∧ ∧ X H (t ) = e ∧ ∧ it H ...Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao B PHẦN BÀI TẬP Bài 1: ∧ ∧ a Tính vị trí và toán tử xung lượng X H (t ) và PH (t ) trong bức tranh Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều ∧ ∧ b Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho X H . có.       −+=       ∧∧∧∧∧∧ )sin()cos(),sin( 1 )cos()(),( 221121 tXmtPtP m tXtPtX HH ωωωω ω ω )sin()sin(,)cos()cos(, 2121 ttXPttPX ωωωω       −       = ∧∧∧∧ )]sin()sin()cos()[cos( 2121 tttti ωωωω +=  . có.       −−=       ∧∧∧∧∧∧ )sin()cos(),sin()cos()(),( 221121 tXmtPtXmtPtPtP HH ωωωωωω )cos()sin(,)sin()cos(, 2121 ttPXmttXPm ωωωωωω       −       −= ∧∧∧∧ [ ] )sin()cos()cos()sin( 2121 ttttmi ωωωωω −−=.   i tHi i tHi i I ettUettU 0 0 ),(),( ∧ ∧ − ∧∧ = (10) Thay (9) vào (7) ta thu được. ),()( ),( i I I iI ttUtV dt ttUd ih ∧∧ ∧ = (11) Nghiệm của phương trình này, với điều kiện ban đầu ∧∧ = IttU iiI ),( ,