de thi HSG toan lop 7

Đề thi học sinh giỏi trường THCS Nguyễn Hoàn

Năm 2009-2010

Thời gian:120 phút

Bài 1: Chứng minh rằng

a)222333+333222 chia hết cho 13

b)7.52n+12.6nchia hết cho 19

c)33n+5.23n+1 chia hết 19 Với mọi n thuộc số nguyên dương

Bài 2:

a) Chứng minh rằng có thể tìm được số có dạng :

200320032003…200300…0(2003 số 2003) mà số đó chia hết cho 2004

b)Tìm số hữu tỉ x,y với x,y khác 0:

x+y = x.y = x:y

Bài 3:Tìm x biết

a)/2x -3/ +/x + 4/ = 6

b)/3x – 1/ - /2x + 5/ = 4

Bài 4: Cho hình vẽ sau chứng minh rằng:

AB+BC+CD+DE+EA <AC+CE+EB+BD+DA

Bài 5**: Cho Tam giác ABC Dựng phía ngoài của tam giác đó các tam giác đều BCA1 và ABC1 Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AC,BC1,BA1.Chứng minh rằng :tam giác MNP đều

Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) 222333+333222 =111333.2333+111222.3222

=111222[(111.23)111+(32)111]=111222(888111+9111)

Vì 888111+9111=(888+9).(888110-888109.9+…-888.9109+9110)

=13.69.( 888110-888109.9+…-888.9109+9110)là số chia hết cho 13 Vậy 222333+333222 chia hết cho 13

b) 7.52n+12.6n=7.25n+19.6n-7.6n

=19.6n+7.(25n- 6n)

=19.6n+7.(25-6)(25n-1+25n-2.6+…+25.6n-2+6n-1)

Cả hai đều chia hết cho 19 nên tổng chia hết cho 19

c) 33n+5.23n+1=9.27n+10.8n=9.(27n-8n)+19.8n

Vì 19.8nchia hết cho 19

Vì 9.(27n-8n)chia hết cho 19 ,từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 2:

a) Xét 2004 số có dạng sau:

2003;20032003;…20032003…2003(2004 số 2003)

Không có số nào trong các số trên chia hết cho 2004 Vì thế khi chia các số này cho 2004

ta được 2003 số dư là các số từ 1 đến 2003,do đó phải có ít nhất hai số khi chia cho 2004 có cùng số dư,nên hiệu của chúng chia hết cho 2004 và đó là số thoả mãn đề bài

b)Xét x+y = x.y

x = x.y – y

x = y.(x - 1)

Ta có x+y=x:y

x+y=y(x-1):y

x+y=x-1

y=-1

vì x = y.(x - 1)

x = (-1)(x -1)

x = -x+1

2x= 1

x=1/2

Bài 4,3:Dễ tự chứng minh

Bài 5:

B P

C1

H I

Gọi I,H thứ tự là trung điểm của AB và BC Khi đó:

MI=BH=BP(tính chất đường trung bình của tam giác)

C/m tương tự ta có: NI=NB=MH

Mặt khác: góc MIB=góc MHB (vì cùng bù với góc ABC)

Do đó: góc MIN=Góc MIB+600=góc MHB +600=góc MHP

Suy ra:MIN=PHM(c.g.c)MN=MP (1)

Lại có góc PBN =360o-(1200-góc ABC)=2400-góc ABC

=600+góc MIB = góc MIN

Do đó MIN = PBN(c.g.c)  MN=NP (2)

Từ (1),(2) suy ra MNP đều